Các hệ thống điện thoại di động
Trang 1CHƯƠNG 3BIẾN ĐỔI Z
Trang 2 Một cách biểu diễn tín hiệu khác về mặt toán học: biến đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền Z
X ( ) ( )
Biểu thức trên gọi là biến đổi Z hai phía
Biến đổi Z của dãy x(n):
Biến đổi Z một phía dãy x(n):
X ( ) ( )
Biến đổi Z
Trang 3Biến z: Điểm thuộc mặt phẳng z
Trang 4 Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence)
là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z) hội tụ.
1 ( )
0 ( )
(0
x x
x n
x
n
1 )
Miền hội tụ (ROC) {z │ |X(z)| < ∞}
Chúng ta chỉ quan tâm X(z) tại những
điểm z thuộc ROC
Tiêu chuẩn Cauchy:
Trang 5Tìm biến đổi Z & ROC của:
a z
) ( )
1 )
Ví dụ 1:
Trang 6) 1 (
) ( n a u n
m
m
z a
1 lim
z a z
Tìm biến đổi Z & ROC của:
Theo tiêu chuẩn Cauchy,
X(z) sẽ hội tụ:
Nếu:
Ví dụ 2:
Trang 7Miền hội tụ của biến đổi Z
a Dãy không nhân quả b Dãy nhân quả c Dãy phản nhân quả
Trang 8Tuyến tính
R ROC
: ) ( )
R ROC
: ) ( )
) ( )
( )
( )
Trang 9Ví dụ 3:
) 1 (
) ( )
R1 :
Ta có:
Trang 10a R
Trang 11R ROC
: ) ( )
R' ROC
: ) ( )
Trang 12Ví dụ 4:
a az
n u
) 1 (
) ( n a u n
) 1 (
) ( n a u n
Trang 13Nhân với hàm mũ an
) ( )
az X
n u a n
( )
( )
(
R ROC
: ) ( )
R ROC
: ) (
) ( n X a 1z a x
) ( )
( )
( )
; 1
Trang 14Đạo hàm X(z) theo z
) ( )
( n na u n
a az
z X n
u a n
( )
( )
R ROC
: ) ( )
( n X z
R ROC
: )
dz
dX(z) z
n x
dz
z
dX z
z G n
nx n
Trang 15a az
z X n
u a n
( )
( )
R ROC
: ) ( )
( n X z
R X
n
x ( ) Z (z-1) : ROC 1
1 ( ) ( ) ( ) )
a 1
1 )
z ( X )
Trang 16Liên hiệp phức
R ROC
: ) ( )
( n X z
R X
n
x * ( ) Z * (z*) : ROC
Tích 2 dãy
R R
ROC :
d )
( 2
1 )
( )
n x n x
R ROC
: ) ( )
2 n X z
R ROC
: ) ( )
Trang 17Ví dụ 8 : Tìm ìm x(0), biết X(z)=e 1/z và x(n) nhân quả
X(z) lim
: ) ( )
2 n X z
R ROC
: ) ( )
1 n X z
) ( )
( )
(
* )
x Z ;ROC có chứa R1 R2
1 e
Trang 185 0 :
; 5
0 1
1 )
( )
( )
5 0 ( )
u n
2 :
; 2
1
1 )
( )
1 (
2 )
u n
2 5
, 0 :
; ) 2
1 (
1
) 5
0 1
(
1 )
( ) ( )
z H z X z
Y
2 5
, 0 :
; ) 2
1 (
1
3
4 )
5 0 1
(
1
) 1 (
2 3
4 )
( )
5 0
( 3
1 )
(
* ) ( )
5 0 ( )
x n h ( n ) 2nu ( n 1 )
Trang 19z X
v
X
j C
1 2
1 ( ) 2
Trang 20BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
cos(on)u(n) (1-z-1coso)/(1-2z-1coso+z-2) /z/ >1 sin(on)u(n) (z-1sino)/(1-2z-1coso+z-2) /z/ >1
1
) 1
az az
Trang 21Biến đổi Z hữu tỉ – zero & pole
Zero của Biến đổi Z: các giá trị z sao cho X(z) = 0
Pole của Biến đổi Z: các giá trị của z sao cho X(z) = ∞
ROC không chứa bất kỳ pole nào
Ký hiệu trên mặt phẳng Z: zero – vòng tròn (o) và pole – chữ thập (x)
1
9 0 1
1 )
z z
X
Trang 22Biến đổi Z hữu tỉ
2 1
1
2 1
1 )
z z
X
nào đó → chỉ cần quan tâm trên vị trí của các điểm zero-pole
Trang 23Các cách biểu diễn
Trang 24Biến đổi Z hữu tỉ
Tính chất của tín hiệu ở miền thời gian, trong
trường hợp pole nằm ngoài hay trong hay trên
vòng tròn đơn vị
Trang 25Hàm hệ thống của hệ LTI
Xác định y(n)
Tính X(z) và H(z)
Xác định Y(z)
Tìm y(n) bằng cách tính biến đổi
Z ngược của Y(z)
Hàm hệ thống trong miền Z
Trang 26N k
a n
y
1 1
) (
) (
M k
k k
z a
z b z
X
z
Y z
H
0
01
) (
)
( )
(
Trang 27CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
C
n dz z
) z (
X j
) n (
2
1
Với C đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong mặt
phẳng phức, nằm trong miền hội tụ ROC của X(z), theo chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ
Các phương pháp biến đổi Z ngược:
Tính tích phân trực tiếp
Khai triển thành chuỗi theo biến z và z–1
Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
Biến đổi Z ngược
Trang 28Phương pháp tích phân trực tiếp
Trang 29k Z
Z F z z z
dz
d k
z F
1 )
(
) 1 (
Thặng dư tại điểm cực đơn Z ci của F(z) được định nghĩa:
Trang 30
C
n dz z
z
X j
n
2
1 )
(
Z ci – các điểm cực của X(z)zn-1 nằm trong đường cong C
Res[X(z)z n-1]z=z ci - thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực zci
Trong đó:
Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta được x(n)
Khái niệm thặng dư tại điểm cực (tiếp)
Trang 31Ví dụ:
Tìm biến đổi Z ngược của:
) 2 (
z
X j
n
x ( ) 1
2
1 )
z j
1
) 2 (
2
1
Thay X(z) vào ta được
Chọn C là đường cong khép kín nằm bên ngoài vòng tròn có bán kính là 2
Trang 32 n0:
) 2 (
z X
( ) 2
z z
) 2 (
1 )
1 Res
( )
2 (
Trang 33( )!
1 (
1 Res
1 )!
1 (
m
z z z
dz
d m
Ví dụ (tiếp)
Trang 34Dựa vào tính duy nhất của Biến đổi Z, nếu X(z) được khai triển thành
X ( ) ( )
Nếu X(z) hữu tỉ, phép khai triển được thực hiện bằng phép chia
Phương pháp này chỉ được dùng để xác định giá trị vài mẫu đầu của tín hiệu
n a n
Khai triển thành chuỗi
Trang 35Khai triển X(z) ta được:
z ROC 0 :
2 1
)
(
n
nz n x
Suy ra:
Trang 36Tìm x(n) biết: : 2
2 1
1 )
Do ROC của X(z) là /z/>2, nên x(n) sẽ là dãy nhân quả và sẽ
được khai triển thành chuỗi có dạng:
(
n
n
n z z
X
) ( 2
0 :
2 )
Ví dụ:
Trang 37Tìm x(n) biết: : 2
2 1
1 )
Do ROC của X(z) là /z/<2, nên x(n) sẽ là dãy phản nhân quả và
sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:
X a1z1 a 2z2 a 3z3
Để có dạng trên, thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
2 2
(
n
n
n z z
X
) 1 (
2 0
: 2 )
(
x n n n nu n
Ví dụ:
Trang 38Xét X(z) là phân thức hữu tỉ có dạng:
) (
)
( )
(
z B
z
D z
0 1
1 1
0 1
1 1
b z
b z
b z
b
d z
d z
d z
d
N N
N N
K K
K K
)
( )
(
z B
z
D z
) (
)
( )
(
z B
z
A z
C
0 1
1 1
0 1
1 1
b z
b z
b
a z
a z
a z
a z
N
N N
M M
M M
Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc MN
Nếu KN, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z)
Phân tích thành tổng các phân thức tối
giản
Trang 39Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn đề phức tạp là tìm biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc MN
Phân tích thành tổng các phân thức tối giản (tiếp)
Xét X(z)/z là phân thức hữu tỉ có bậc MN :
) (
) ( )
(
z B
z
A z
z
X
Xét đén các điểm cực của X(z)/z, hay nghiệm của B(z) là
đơn, bội và phức liên hiệp
0 1
1 1
0 1
1 1
b z
b z
b z
b
a z
a z
a z
a
N N
N N
M M
M M
Trang 40) (
) ( )
(
z B
z
A z
z
X
) (
) )(
(
) (
2
c
N z z z z z z b
) ( )
(
z B
z
A z
z
X
) (
) (
)
2 1
1
cN
N c
K z
z
K z
i
z B
z
A K
) ( '
) (
Xét X(z)/z có các điểm cực đơn:
zc1, zc2, zc3,… zcN,
Trang 41Suy ra X(z) có biểu thức:
) 1
( )
1 ( )
1 (
)
2
2 1
K z
z
K z
z
K z
X
cN
N c
K
) 1
K z
X
ci
i i
x
1
) ( )
(
Xét:
Xét X(z)/z có các điểm cực đơn (tiếp)
Trang 42Tìm x(n) biết:
6 5
5
2 )
z
z z
X
với các miền hội tụ: a) /z/>3, b) /z/<2, c) 2</z/<3
) 3 )(
2 (
z
) 3 (
) 2 (
2 1
K
6 5
5 2
z z
z X
Với các hệ số được tính bởi:
z
X
) 3 (
5 2
z
X
) 2 (
5 2
Ví dụ
Trang 43Với các miền hội tụ:
) 3
1 (
1 )
2 1
(
1 )
z X
a) /z/ > 3 : x ( n ) 2nu ( n ) 3nu ( n )
b) /z/ < 2 : x ( n ) 2nu ( n 1 ) 3nu ( n 1 )
c) 2</z/<3 : x ( n ) 2n u ( n ) 3n u ( n 1 )
) 3 (
1 )
2 (
1 )
z
z
X
) 3
1 (
1 )
2 1
(
1 )
z X
Ví dụ (tiếp)
Trang 44) (
) ( )
(
z B
z
A z
z
X
) (
) (
) (
) (
) 1 (
1 c r cN
r c
N z z z z z z b
K z
z
K z
z
K z
z
X
) (
) (
) (
)
(
1
2 1
2 1
i
z z
K z
c
r
z z
K z
Trang 45Vậy ta có biểu thức biến đổi Z ngược là:
Với giả thiết ROC của X(z): /z/ > max{ /z ci / }: i=1N,
biến đổi Z ngược của thành phần K i /(z-z ci ) r sẽ là:
) 2 ) (
a i
n n
n a
)
( )!
1 (
) 2 ) (
1
( )
K n
u i
a i
n n
n K n
r l
n cl l
i n r
Z Z
r 1 c )
i r (
) i r (
z
) z (
X dz
d )!
i r
(
1 K
Trang 46Ví dụ
Tìm x(n) biết:
) 1 (
) 2 (
4 5
2 )
2 3
z z
z z
) 1 (
) 2 (
4 5
2 )
z
z z
z
X
) 1 (
) 2 (
) 2 (
3 2
2 1
K z
K
Với các hệ số được tính bởi:
1 )
1 (
4 5
d
2
2 )
1 2 (
) 1 2 (
1 ( ) ( 2)
)!
12
z
X dz
d K
Trang 47Vậy X(z)/z có biểu thức là:
) 1 (
1 )
2 (
2 )
2 (
1 )
z z
z
X
2)
1(
45
2
2 )
2 2 (
) 2 2 (
2 ( ) ( 2)
)!
22
z
X dz
d K
z
X
)2(
45
2
1 2
)1
(
1)
21(
2)
21(
1)
z z
z
) ( )
( 2
) ( 2
) ( n u n n u n u n
Ví dụ (tiếp)
Trang 48) (
) ( )
(
z B
z
A z
z
X
) (
) )(
)(
(
) (
3
* 1
c
N z z z z z z z z b
) (
) (
) (
2 1
1
cN
N c
c
K z
z
K z
z
K z
z
K z
K z
z
K z
z
K z
z
X
3
* 1
2 1
1
) (
) (
) (
)
(
Với các hệ số K 1 , K i được tính giống điểm cực đơn:
N i
: )
z z
( z
) z (
X
K
ci
Z Z
Trang 49Xét :
Do các hệ số A(z), B(z) là thực, nên K 2 =K 1*
) (
* )
(
)
(
* 1
1 1
1 1
c
K z
z
K z
(
* )
1 (
)
1
1 1
K z
z
K z
X
c c
Nếu gọi:
je K
j c
Và giả thiết ROC: /z/>max{/zci/}:
z u ( n ) K
) n
cos(
z K )
n (
i
n ci i
n c
Vậy:
Trang 50: ) 1 )(
2 2
z
z z
X
) 1 )(
2 2
(
1 )
z z
z j
z
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
3
* 1 1
z
K j
z
K
1 )
1 (
) 1
z j
z
) 2 2
K
1 )
1 ( 1
2 /
1 )
1 ( 1
2 /
1 )
j z
j z
Trang 51HẾT CHƯƠNG 3