Chương 1: Ngôn ngữ Logic ppt

Một Mệnh đề là một câu phát biểu đối tượng Toán học mà ta có thể nói ngay rằng câu đó đúng hoặc sai... Tổng quát nếu có n mệnh đề cần xét cùng lúc thì bảng chân trị gồm 2n trường hợp.. P

1 NGÔN NGỮ LOGIC

1.1 Mệnh đề - Bảng chân trị

1.1.1 Định nghĩa

Một Mệnh đề là một câu phát biểu (đối tượng Toán học) mà ta có thể nói ngay rằng câu đó đúng hoặc sai

Thí dụ “8 là một số chẳn” là một Mệnh đề đúng

“3 < 2 “ là một Mệnh đề sai

“x là một số nguyên, x<10” không phải là Mệnh đề

“Anh có khỏe không” không phải là Mệnh đề

Hai mệnh đề p và q được gọi là tương đồng nếu chúng cùng ĐÚNG hoặc cùng SAI, ký hiệu p = q

1.1.2 Bảng chân trị

Để biểu diễn giá trị ĐÚNG hoặc SAI của một mệnh đề p người ta dùng Bảng chân trị

p

T

F

Hoặc

p

0

1

Các ký hiệu:

T,1 chỉ giá trị ĐÚNG,

F, 0 chỉ giá trị SAI

Nếu cần phải xét hai mệnh đề p và q cùng lúc thì ta có bảng chân trị với 4 trường hợp

Tổng quát nếu có n mệnh đề cần xét cùng lúc thì bảng chân trị gồm 2n trường hợp

1.2 Phủ định của một Mệnh đề

Phủ định của Mệnh đề p là một mệnh đề, ký hiệu p có giá trị SAI nếu

p ĐÚNG và có giá trị ĐÚNG nếu p SAI

Thí dụ Nếu p : “2 + 2 = 4” thì phủ định của p là mệnh đề

p :” 2 + 2 ≠ 4”

1.3 Các phép nối logic

Các mệnh đề có thể được kết hợp lại để được một Mệnh đề hợp bằng cách sử dụng các phép nối logic Các phép nối logic gồm có:

q Phép nối liền (tuyển) (“và”)

q Phép hợp có loại trừ

1.3.1 Phép Nối liền (tuyển)

Tuyển hai mệnh đề p và q ký hiệu p ∧ q (đọc là “p và q”) hoặc p.q chỉ có giá trị ĐÚNG khi cả hai cùng ĐÚNG

Bảng chân trị của p ∧ q như sau :

p q p ∧ q

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

Thí dụ: p :”3 < 5”; q : “4 ≠ 2 + 2” Ta có :

p ∧ q :”3 < 5” và “4 ≠ 2 + 2” là Mệnh đề sai

1.3.2 Phép hợp

Hợp của hai mệnh đề p và q là mệnh đề p∨q (đọc là “p hay q”) hoặc p+q, có giá trị ĐÚNG nếu ít nhất một trong hai mệnh đề trên ĐÚNG và có giá trị SAI nếu cả hai cùng SAI

Bảng chân trị của p ∨ q như sau :

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

Thí dụ: p :”3 < 5”; q : “4 ≠ 2 + 2” Ta có :

p∨q :”3 < 5” và q : “4 ≠ 2 + 2” là Mệnh đề ĐÚNG

1.3.3 Các tính chất của phép tuyển, phép hợp

a Lũy đẳng p ∧ p = p p ∨ p = p

Đối xứng p ∧ q = q ∧ p p ∨ q = q ∨ p

Kết hợp p ∧ (q∧ r) = (p∧q)∧ r p ∨(q ∨ r)= (p∨ q) ∨r

p ∧ p = ∅ p ∨ p = I

p ∧ I = p p ∨ I = I

p ∧ ∅ = ∅ p ∨ ∅ = p

∅ ký hiệu mệnh đề luôn luôn có giá trị SAI gọi là NGHỊCH ĐỀ

I ký hiệu mệnh đề luôn luôn có giá trị ĐÚNG gọi là CHÂN ĐỀ

b Tính phân phối

p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)

p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ q)

c Qui luật DE MORGAN

(p∧q) = p ∨ q

(p∨q) = p ∧ q

Chú ý Tập hợp các mệnh đề với các phép nối ∧, ∨ và phép phủ định thỏa các tính chất nêu trên gọi là một hệ đại số BOOLE

1.3.4 Phép kéo theo logic

Phép kéo theo logic của mệnh đề p và mệnh đề q ký hiệu p ⇒ q (đọc là

“nếu p thì q”) chỉ SAI khi p ĐÚNG và q SAI

Bảng chân trị của p ⇒ q như sau :

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

Thí dụ:

”3 < 5” ⇒ “3 < 7” là Mệnh đề ĐÚNG

“4:số nguyên tố”⇒ø “TP.HCM là thủ đô của VN” là Mệnh đề ĐÚNG

“5:số nguyên tố” và “TP.HCM là thủ đô của VN” là Mệnh đề SAI

Chú ý

a Phép kéo theo logic không có ý nghĩa gì về nguyên nhân và hậu quả đối với

p và q

b Nếu (p ⇒ q) ĐÚNG và p ĐÚNG thì q phải ĐÚNG

Nếu (p ⇒ q) ĐÚNG và q SAI thì p phải SAI

c Nếu p ĐÚNG, muốn chứng minh (p ⇒ q) ĐÚNG thì ta phải chứng minh

q ĐÚNG

CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP KÉO THEO LOGIC

(p⇒ p) = I

(p ⇒q) = (q ⇒p)

[(p⇒q) và (q⇒r)] ⇒ (p⇒r) là một chân đề

(p⇒q) = (p ∨ q)

1.3.5 Phép tương đương Logic

Phép tương đương của hai mệnh đề p và q là mệnh đề ký hiệu p⇔q (đọc là

“p tương đương q” hoặc “p nếu và chỉ nếu q” xác định bởi (p⇒q) và (q⇒p)

Bảng chân trị của p ⇔ q như sau :

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1 Như vậy:

+ Nếu p = q thì (p ⇔q) ĐÚNG và ngược lại

+ Nếu (p ⇔ q) ĐÚNG thì p = q

Tính chất:

+ p ⇔ p là một chân đề

+ p ⇔ q = q ⇔ p

+ (p⇔q) và (q⇔r) ⇒ (p⇔r) là một chân đề

1.3.6 Phép hợp có loại trừ

Ta gọi phép hợp có loại trừ của hai mệnh đề p và q là mệnh đề p⊕q (đọc là

“p chỉ hoặc q”) có giá trị ĐÚNG nếu chỉ một trong hai mệnh đề đó ĐÚNG và có giá trị sai nếu cả hai cùng SAI hoặc cùng ĐÚNG

Bảng chân trị của p ⊕ q như sau :

p P p q p ⊕ q

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

Tính chất:

p⊕p = I

p⊕q = q⊕p

p⊕q =  ⊕q = (p⊕q) = (p⇔q)

p⊕(q⊕r) = (p⊕q)⊕r = p⊕q⊕r

1.4 Xác định một mệnh đề hợp có bảng chân trị cho trước

Giả sử ta có hai mệnh đề p, q cho sẳn Ta muốn tìm một mệnh đề R do p,

q (và cả p, q) hợp thành bằng các từ nối ∨, ∧ sao cho giá trị ĐÚNG,

SAI của R được cho bởi bảng:

p P p q R

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

Phương Pháp

1 Chú ý trường hợp R có giá trị ĐÚNG (hàng 2 và 3)

2 Trong mỗi trường hợp ở bước 1, ta tìm Mệnh đề (M.Đ) Tuyển ĐÚNG trong mỗi trường hợp đó và SAI trong các trường hợp khác

Hàng 2 cho M.Đ tuyển p ∧ q Hàng 3 cho M.Đ tuyển p ∧ q

3 Hợp các mệnh đề tuyển ở Bước 2, ta được mệnh đề R phải tìm là:

R = (p ∧q) ∨ (p ∧ q)

Để kiểm tra lại, ta lập bảng chân trị:

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

Thí dụ Một người tù bị giam được cho một cơ hội để thoát Phòng giam có hai cửa: Một

cửa thoát và một cửa dẫn đến chuồng cọp Mỗi cửa có một người canh, nhưng người này chỉ trả lời câu hỏi bằng ĐÚNG hay SAI Một trong hai người đó thì luôn luôn nói thật, và người kia thì luôn luôn nói dối Người tù không biết ai là người nói thật, cửa nào là cửa thoát và anh chỉ đươc phép đặt một câu hỏi Vậy anh phải đặt câu hỏi như thế nào để thoát ra được?

Giải Ta xét hai mệnh đề sau:

p: “Cửa Anh giữ là cửa ra” q:”Anh là người nói thật”

Như vậy có 4 tình huống tóm tắt trong bảng sau:

1

1

0

0

1

0

1

0

Ta muốn rằng khi chọn một trong hai cửa và đặt câu hỏi cho người giữ cửa:

q Nếu trả lời ĐÚNG theo cửa đó ra

q Nếu trả lời SAI thì ra cửa kia

Gọi R là mệnh đề hợp từ p và q muốn tìm Câu trả lời và giá trị của R trong mỗi trường hợp sẽ như hình sau đây:

Ppp p q Trả lời R

1

1

0

0

1

0

1

0

ĐÚNG SAI SAI ĐÚNG

1

0

0

1

Như vậy mệnh đề R phải tìm có dạng R = (p∧q) ∨ ( ∧q) và được phát biểu như sau:

“Cửa anh giữ là cửa ra và anh nói thật”

Hay

“Cửa anh giữ không phải là cửa ra và anh nói dối”

Căn cứ trên bảng chân trị trên ta thấy R ĐÚNG khi p và q cùng ĐÚNG hoặc cùng SAI, do đó cũng có thể viết

R = (p ⇔ q)

và được phát biểu như sau:

“Cửa anh giữ là cửa ra nếu và chỉ nếu anh nói thật”

1.5 Ứng dụng của ngôn ngữ logic

1.5.1 Phép suy luận đúng

Một phép suy luận là một câu phát biểu trong đó một mệnh đề q được suy từ các mệnh đề p1 ,p2,…, pn

Các mệnh đề p1 ,p2,…, pn gọi là giả thiết, Mệnh đề q gọi là kết luận

Phép suy luận được ký hiệu:

p1

p2 Ký hiệu KL đọc là “vậy”, “do đó”, “suy ra”

pn

KL q

Một phép suy luận trên gọi là ĐÚNG nếu mệnh đề:

(p1 ,p2,…, pn ⇒ q) là một chân đề

Thí dụ 1 Ta xem suy luận sau:

Nếu bạn trúng số thì bạn sẽ giàu có

Nếu bạn giàu có thì bạn sẽ hạnh phúc

KL Nếu bạn trúng số thì bạn có hạnh phúc

Suy luận trên có dạng:

p ⇒ q

q ⇒ r

KL p ⇒ r

Mà ta biết mệnh đề:

{(p ⇒ q) ∧(q ⇒ r)} ⇒ (p ⇒ r) là một chân đề

Vậy suy luận trên là suy luận đúng

Thí dụ 2 Ta xem suy luận sau:

Hút thuốc có lợi cho sức khỏe

Nếu Hút thuốc có lợi cho sức khỏe thì thầy thuốc khuyên nên hút thuốc

KL Thầy thuốc khuyên nên hút thuốc

Suy luận trên có dạng:

p

p ⇒ q

KL q

Suy luận trên là một suy luận đúng vì mệnh đề:

{p ∧(p ⇒ q)} ⇒ q là một chân đề

Vậy suy luận trên là suy luận đúng, mặc dù kết luận sai

Thí dụ 3 Suy luận sau đây có đúng không?

Nếu thuế giảm thì lợi tức tăng

Lợi tức tăng

KL Thuế giảm

Suy luận trên có dạng:

p ⇒ q

q

KL p

Lập bảng chân trị mệnh đề trên và {(p ⇒ q) ∧q} ⇒ p

p q p⇒q (p⇒q)∧q {(p⇒q)∧q}⇒ p

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1 Vậy suy luận trên không đúng

1.5.2 Mạch (Đóng/ mở) Điện

A L

Một nút ngắt có thể được biểu diễn bằng một mệnh đề và ngược lại Sự tương ứng 1-1 như vậy được áp dụng để thiết kế các mạch điện mở trong mạch điện mở trong mạch điện cũng như trong điện thoại

Các phép nối logic AND, OR, NOT được biểu diễn bằng các mạch đóng mở như sau:

AND

•

•

•

•

B

•

•

A‘

A NOT

Thí dụ 1 Thiết kế một mạch đóng mở có 2 công tắc để điều khiển một bóng đèn

Giả sử P và Q được thiết kế :

Các công tắc P và Q được biểu diễn bằng các mệnh đề :

p : nút P ở vị trí 1 ‘’ q : nút Q ở vị trí 1 ‘’

Ta sẽ tìm mệnh đề S sao cho bảng chân trị của S cho bởi :

Theo phương pháp ở đoạn 4 ta tìm được S :

S = (p∧q) ∨( ∧q)

Mạch điện đươc thiết kế như sau:

Thí dụ 2: Ba người bạn A, B, C cùng biểu quyết mua một món quà giá trị 80000, A có

5000 đ, B có 4000 đ và C có 3000 đ Mỗi người sẽ biểu quyết có hoặc không Biểu quyết có sẽ đóng số tiền mình có Nếu tổng số tiền đạt được trong cuộc biểu quyết bằng hay vượt 8000 đ thì họ sẽ mua món quà đó Hãy tìm một mệnh đề cho biết trong trường hợp

•

•

•

•

•

•

1

0

1

1

1

1

0 0

0 P

P

Q

Q

•

•• ••

•

A B C S

nào thì biểu quyết thành công Nếu cuộc biểu quyết được thực hiện bằng cách mỗi người ấn một nút điện nếu đồng ý, thì mạch điện sẽ đựơc thiết kế như thế nào?

Ta có bảng các trường hợp của cuộc biểu quyết có thể xảy ra như sau:

Như vậy mệnh đề S sẽ là:

S= (A∧B∧C) ∨ (A∧B∧C) ∨ (A∧B∧C) Mệnh đề S có thể được rút gọn:

S=(A∧B∧C) ∨ (A∧B∧C) ∨ (A∧B∧C) ∨ (A∧B∧C) = [A ∧C ∧(B ∨ B) ] ∨ [A ∧ B ∧(C ∨ C)]

= (A∧ C ) ∨ (A ∧B) S= A ∧ (C ∨ B) Vậy cuộc biểu quyết sẽ thành công nếu A biểu quyết có và B hay C biểu quyết có

1.5.3 Mạch logic (Logic Circuits)

Thí dụ 1 – Thiết kế mạch logic để so sánh 2 bít với nhau

- Nếu 2 bit giống nhau kết quả là 0

- Nếu 2 bit khác nhau kết quả là 1

Ta có bảng chân trị cho mạch so sánh 2 bit :

OR AND

NOT

Như vậy K = (A B) + (A B)

B

Và mạch logic thực hiện việc so sánh như sau:

Thí dụ 2 Mạch logic để thực hiện phép cộng và nhân 2 bit

Ta có bảng cộng và nhân như sau :

Mạch logic để thực hiện phép cộng và nhân như sau :

B

A B + A B

•

B

A B

B

Comparator

Như vậy S = A B + A B

P = A B

S =A B+ A B

B

A.B

B

A B

B

P = A B