CÁC PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ TRONG THUỶ VĂN - CHƯƠNG 2 doc

Chương 2 Các qui luật cơ bản của phân bố xác suất ứng dụng trong thuỷ văn 2.1 Tổng quan Khi dựa trên lý thuyết đường cong phân bố mật độ xác suất đã xét trong chương 1, các thủ thuật đơ

Chương 2 Các qui luật cơ bản của phân bố xác suất ứng dụng

trong thuỷ văn

2.1 Tổng quan

Khi dựa trên lý thuyết đường cong phân bố mật độ xác suất đã xét trong chương 1, các thủ thuật đơn giản nhất của việc sơ đồ hoá và khái quát các tập thống

kê có thể thực hiện hoàn chỉnh và thể hiện dưới dạng chung nhất

Đường cong phân bố nhận được đối với các sơ đồ thống kê khác nhau tạo thành một hệ thống phát triển của khái quát toán học có lợi cho việc mô tả các tónh chất hạng rộng của hiện tượng ngẫu nhiên

Các dạng đường cong phân bố khác nhau hoặc dựa trên các sơ đồ xác suất tập trung được xác định về mặt lý thuyết , hoặc tự thể hiện sự khái quát hoá các qui luật thống kê đặc trưng cho các phạm trù xác định của tập thực nghiệm

Tuy nhiên, trong bất kỳ trường hợp nào các đường cong phân bố xác suất trong thể trừu tượng đều phản ánh qui luật thống kê thực đặc trưng bởi các hiện tượng ngẫu nhiên đại chúng

Hình thức biểu diễn các qui luật phân bố liên quan chặt chẽ với việc chia đại lượng ngẫu nhiên ra các dạng liên tục và rời rạc

Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc là biến của tệp (tập hợp) có thể thể hiện ở dạng liệt xác định bằng số x1, x2, , xn, Khi giải các bài toán thực hành khác thường

có vấn đề với đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận các giá trị nguyên Để lấy ví dụ về tập thuỷ văn đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể chỉ ra số khô hạn sông ngòi vào mỗi năm trong mùa hè nhận được từ N năm trên phân bố xê -ri các năm ít và nhiều nước

Khi nghiên cứu các tập thống kê các hiện tượng thiên nhiên thường có vấn đề với các đại lượng ngẫu nhiên liên tục, có nghĩa là với các hiện tượng mà kết quả thử

có thể nhận mọi giá trị trong giới hạn khoảng đang xét Các đại lượng như vậy là sai

số đo đạc và giá trị thành phần tập các đặc trưng khác nhau của chế độ thuỷ văn (lưu lượng nước và phù sa, mực nước, vận tốc dòng chảy v.v ) Rõ ràng khi mô tả phân

bố các đại lượng như vậy về nguyên tắc không thể viết và đánh số tất cả chúng vào một liệt xác định, thậm chí trong giới hạn khoảng đủ hẹp Các đại lượng này tạo nên

một tập vô hạn Nếu khi xét tập các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể gắn mỗi giá trị của nó x1, x2, , xn, với một xác suất đặc trưng xác định bởi nó p(xi) thì trong trường hợp liệt liên tục các đại lượng ngẫu nhiên chỉ có thể nói về xác suất rơi vào khoảng cho trước của nó (bù là rất nhỏ)

Thực tiễn, khi nghiên cứu các tập thống kê các đại lượng ngẫu nhiên liên tục chặt chẽ dùng phép tính bởi các thủ thuật nhóm và mô tả đồ thị các tập thống kê đã trình bày trong chương 1

Khi phân tích lý thuyết các đại lượng ngẫu nhiên liên tục thay tần số thực nghiệm bởi mật độ phân bố xác suất và tương ứng là thay mômen thực nghiệm bằng biểu thức tích phân của chúng

áp dụng cho việc nghiên cứu các qui luật phân bố tập các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc sẽ trình bày qui luật phân bố nhị thức và phân bố Piecson III, khi xét

nó như trường hợp riêng của qui luật phân bố nhị thức Tiếp theo trên cơ sở ngoại suy phổ biến qui luật phân bố nhị thức khởi điểm trong trường hợp các đại lượng liên tục và như vậy đã chuyển tới phân bố gamma hoặc đường cong Piecson III và dẫn tới hệ quả do S N Krixki và M Ph Menkel cũng như G N Brocovits thực hiện Khi có sự ứng dụng rộng rãi trong thuỷ văn qui luật phân bố nhị thức ta coi nó

là cơ sở khi trình bày qui luật phân bố chuẩn

Từ các đường cong phân bố khác nhau xét các phương trình Gudrits và Gumbel được sử dụng ưu thế trong thực tiễn thuỷ văn ở nước ngoài

Từ số các biến đổi đa dạng biến ngẫu nhiên dừng một cách chi tiết ở biến đổi logarit thỉnh thoảng vẫn được sử dụng khi tính toán dòng chảy trong nước và nước ngoài

Khảo cứu các đường cong đảm bảo thực nghiệm đặc thù khái quát của các

đặc trưng thuỷ văn khác nhau xét ví dụ nghiên cứu của G P Kalinhin và L M Konarevski Một số phân bố có các giá trị bổ sung khi tính toán thuỷ văn có thể trình bày theo mức độ cần thiết trong các chương khác Các phân bố đó là phân bố Student, Phiser, χ2 và các phân bố khác sử dụng khi phân tích mẫu các biến ngẫu nhiên

Biểu thức giải tích của đường cong phân bố mô tả tốt nhất tập thực nghiệm các đại lượng ngẫu nhiên có thể thu được bằng nhiều phương pháp , về số lượng tuy rằng hạn chế khi thực hiện các điều kiện chung sau đây

1 Hiển nhiên, đường cong phân bố cần dựa trên một sơ đồ thống kê xác định

mà dưới tác động của nó tạo nên hiện tượng ngẫu nhiên này hoặc kia Vậy, ví dụ qui luật phân bố chuẩn xuất hiện trong các trường hợp khi mà đại lượng ngẫu nhiên

đang nghiên cứu có thể thể hiện dưới dạng tổng (hoặc hàm tuyến tính) một số lớn các số hạng thành phần (nhân tố) độc lập với nhau, mỗi số ảnh hưởng nhỏ tới tổng Nếu điều kiện cuối cùng được thoả mãn và ảnh hưởng của một số trong các số hạng hình thành đại lượng ngẫu nhiên chiếm ưu thế thì đặc điểm của phân bố số hạng đó

ảnh hưởng tới qui luật phân bố của đại lượng ngẫu nhiên đang nghiên cứu Khi nhận làm cơ sở sơ đồ lý thuyết mối liên hệ của sự xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên không phải là tổng mà là tích một số đủ lớn các tác động thành phần hay nói cách khác vào tổng của các logarit của chúng ta thu đươcj qui luật phân bố logarit chuẩn Khi giới hạn bằng các ví dụ này ta thấy ý nghĩa thống kê khác, khi xét các qui luật phân bố

sẽ được làm sáng tỏ khi trình bày chúng

2 Trong phương trình đường cong phân bố cần phải giảm các tham số, xác

định bằng số theo số liệu thực nghiệm Điều kiện này rất quan trọng khi phân tích thống kê các dao động nhiều năm của các đại lượng thuỷ văn vì tập thống kê của chúng thường hạn chế bởi vài chục số hạng (năm quan trắc)

Cùng với nó ta còn biết rằng các tham số phương trình đường cong phân bố

được xác định với sai số càng lớn thì tệp thống kê càng nhỏ và đại lượng mômen thống kê càng cao dùng để tính toán các tham số đường cong phân bố Thật vậy, nếu như giá trị trung bình số học và hệ số biến đổi nằm trong tham số phương trình

đường cong phân bố có thể xác định theo các tập thống kê một cách thông thường theo cách của các nhà thuỷ văn có độ tin cậy tương đối, thì tính toán hệ số bất đối xứng theo chuỗi nhân tạo, tức là gắn với tuyến đo thuỷ văn xác định với sai số lớn; xác định độ nhọn trong các trường hợp như vậy hoàn toàn mất ý nghĩa do sai số quá lớn

Liên quan tơí điều đang bàn trên tham số này với tính toán thuỷ văn hầu như không sử dụng Cho nên khi giải các bài toán thuỷ văn người ta chỉ sử dụng các phương trình đường cong phân bố chỉ có hai hoặc cùng lắm là ba tham số xác định theo tập thống kê ban đầu ( trung bình số học, hệ số biến đổi, hệ số bất đối xứng)

Có thể nhận thấy rằng hầu như với các tính toán thống kê người ta sử dụng không quá 4 tham số để xác định dạng đường cong phân bố

Ngoài các yêu cầu chung đã nêu trên trong quan hệ của phương trình đường cong phân bố , khi phân tích thống kê dao động nhiều năm của dòng chảy sông ngòi xuất hiện cả các điều kiện phụ Do vậy, đại lượng dòng chảy sông ngòi là thực

dương, đường cong phân bố mô tả dao động của chúng không được cắt vào phần giá trị âm, vì nó mâu thuẫn với bản chất vật lý của hiện tượng đang xét

Sự hạn chế của các đường cong phân bố bởi giới hạn trên không thực hiện

được vì không có các thủ thuật tương xứng căn bản điều chỉnh nó Có những tìm tòi xác định giá trị khả năng lớn nhất của đặc trưng dòng chảy đang xét thường dẫn tới không phải là cực đại tuyệt đối mà là đại lượng được xem như là một giá trị nào đó

có xác suất vượt bé Ngoài ra, trong thực tiễn tính toán thuỷ văn người ta không sử dụng giá trị xác suất vượt hàng năm, tiến tới 0 mà nhận một xác suất hữu hạn đủ thực, chặn bởi các giá trị đảm bảo trên nguyên tắc 1; 0,1% và đôi khi trong các trường hợp hiếm 0,01%

Như vậy, thiếu hạn chế đường cong phân bố từ phía các đại lượng lưu lượng nước lớn trong khoảng ngoại suy không mâu thuẫn với bản chất vật lý của dao động dòng chảy sông ngòi và không đi tới lời giải không thực tế, tức là vơí việc nhận các giá trị dòng chảy tính toán lệch nhiều các đại lượng lấy từ tài liệu đo đạc thuỷ văn

Có thể nhận thấy rằng các tìm kiếm ứng dụng đường cong phân bố giới hạn

từ phía các đại lượng dòng chảy lớn bởi một giới hạn cố định nào đó trong nhiều trường hợp dẫn tới nhận được các đại lượng dòng chảy tính toán thậm chí vượt quá các đường cong tương ứng với việc xoá không hạn chế trong vùng các đại lượng dương Tất nhiên điều đó liên quan với tính không xác định của việc thành lập giới hạn trên Thêm vào đó có thể nói rằng nhiều ví dụ sử dụng các đường cong phân bố không giới hạn trong khoa học và trong kỹ thuật để mô tả chuỗi thống kê không thể vô cùng lớn với suất đảm bảo tiến tới 0 Ví dụ như sai số kích thước khi chuẩn bị chi tiết này hay chi tiết kia thường được mô tả bởi qui luật phân bố chuẩn traỉ dài từ - ∞

đến ∞, mặc dù biết rằng sai số chuẩn bị chi tiết không thể lớn vô hạn do đại lượng của chi tiết hạn chế bởi kích thước chuẩn bị sử dụng khi xử lý

Các hình ảnh nêu trên, cũng như ước lượng sự tương ứng của sơ đồ lý thuyết phân bố xác suất với tài liệu quan trắc thuỷ văn chứng tỏ rằng việc sử dụng các

đường cong phân bố không hạn chế bởi các giá trị lớn không dẫn tới mâu thuẫn với bản chất vật lý của tập các đại lượng thuỷ văn và có thể được xét như là phương tiện hoàn toàn chấp nhận của mô tả toán học các qui luật thống kê trong giới hạn suất

đảm bảo sử dụng thực tế

Như vậy, đối với đường cong phân bố sử dụng để mô tả dao động dòng chảy sông ngòi nhiều năm và chuỗi các tham số khác của chế độ thuỷ văn (x), có thể đặt các điều kiện biên sau: 0 ≤ x < ∞

Thường các đường cong phân bố lý thuyết sử dụng trong thuỷ văn thoả mãn

điều kiện đơn đỉnh Nó sinh ra như là hậu quả của yêu cầu đồng nhất và độc lập ngẫu nhiên của các đại lượng thuỷ văn đang xét Thật vậy, tính đa đỉnh của phân bố

là hậu quả của việc thống nhất một vài tệp với các phân bố rất khác nhau Nhưng do khi giải các bài toán thuỷ văn thường dùng phép với các đại lượng đồng pha, tất nhiên dự đoán rằng phân bố của chúng sẽ đơn đỉnh Do đường cong phân bố sử dụng khi giải các bài toán tính toán dòng chảy sông ngòi ở dạng vi phân cần có dạng chung như sau: bắt đầu từ một giá trị dương nào đó (hoặc 0), sau đó khi tăng đạt tới giá trị cực đại (đỉnh) và khi hạ đi vào vùng đại lượng vô cùng lớn

Sử dụng các đường cong phân bố giải tích cho phép thực hiện việc làm trơn các phân bố thực nghiệm, nhấn mạnh khi đó các nét qui luật nhất của tệp thống kê

đang xét và loại trừ các áp đặt ngẫu nhiên của số liệu thực nghiệm chỉ đặc trưng cho mẫu được chọn và không mang tính qui luật theo toàn bộ tập tổng thể Sử dụng các

đường cong phân bố giải tích cho khả năng thành lập các qui luật thống kê dặc thù cho dãy các đại lượng ngẫu nhiên đặc trưng cho một và chỉ một hiện tượng nhưng

được hình thành trong các điều kiện bản chất khác nhau Cụ thể, sự thành lập tương

tự được ứng dụng rộng rãi trong các nghiên cứu thuỷ văn với mục đích làm sáng tỏ các qui luật thống kê đặc thù cho chuỗi dòng chảy năm và dòng chảy cực đại Với

sự mô tả phân tích nhờ đường cong phân bố chuỗi tạo ra trên cơ sở tài liệu quan trắc nảy sinh các bài toán cơ bản sau:

1 Chọn các đường cong phân bố phù hợp nhất với tập thống kê đang xét Trong điều kiện sử dụng chọn lọc hạn chế theo số lượng các số liệu thuỷ văn dạng hàm phân bố thường ban đầu được chọn trên cơ sở tính đến các luận điểm chung, cụ thể là sự phù hợp của qui luật phân bố ứng dụng bởi các điều kiện biên thay đổi các

đặc trưng thuỷ văn đang xét Tiếp theo tiến hành sự kiểm tra rộng rãi (ứng dụng cho các điều kiện khác nhau của sông ngòi ) tiính phù hợp của qui luật phân bố xác suất

đang nhận với tài liệu thực nghiệm Sự kiểm tra này ở giai đoạn đầu sử dụng đường cong phân bố để tính toán các đặc trưng thuỷ văn được hoàn thành trên cơ sở so sánh trực tiếp các đường cong đảm bảo giải tích và thực nghiệm Tiếp theo là thử các thủ thuật ước lượng khách quan như chỉ tiêu thống kê χ2, chỉ tiêu Kolmogorov - Smirnov và v.v

2 Sau khi chọn dạng hàm phân bố nảy sinh bài toán xác định giá trị số của các tham số hàm đó, chúng được tính theo số liệu quan trắc cho đặc trưng dòng chảy này hoặc kia của thành phần nào đó thuộc chế độ thuỷ văn sông ngòi Sự lựa chọn

đúng hàm phân bố và các tham số bằng số của nó xác định theo số liệu thực nghiệm

( trung bình số học, hệ số biến đổi, hệ số bất đối xứng), đảm bảo từ quan điểm nguyên tắc bình phương tối thiểu, sự làm trơn tốt nhất phân bố thực nghiệm

3 Khi xét các sai số có thể của việc xác định tham số phân bố bị chi phối bởi tính hạn chế của lựa chọn đang xét trong tính toán quan trọng là đánh giá định lượng các sai số đó Sự đánh giá như vậy được thực hiện hoặc nhờ sử dụng công thức lý thuyết rút ra một vài hạn chế, hoặc với ứng dụng phương pháp thực nghiệm thống

kê

2.2 Qui luật phân bố nhị thức rời rạc

Trong thực tiễn tính toán thuỷ văn đường cong Piecson III được phổ biến rộng rãi nhất khi thể hiện khái quát đường cong phân bố nhị thức đối với trường hợp

đại lượng ngẫu nhiên liên tục Qui luật phân bố nhị thức tương ứng với việc lặp một thí ngjiệm duy nhất với các điều kiện không đổi và chỉ có hai kết quả xuất hiện (xác suất p) và không xuất hiện (xác suất q = 1- p) của biến cố ngẫu nhiên Mỗi giá trị của đại lượng ngẫu nhiên phân bố theo qui luật phân bố nhị thức thể hiện số trường hợp (m) thực hiện được biến cố ngẫu nhiên nào đó từ n trường hợp có thể

Trình bày sơ đồ qui luật phân bố nhị thức có thể thực hiện được nhờ các định

lý cộng và nhân xác suất

Theo định lý cộng xác suất suy ra rằng xác suất xuất hiện một biến cố độc lập không báo trước bằng tổng xác suất của các biến cố đó, hoặc nói cách khác là nếu biến cố ngẫu nhiên A có thể xuất hiện ở một số dạng A1, A2, A3, , An, có các xác suất khác nhau - p1, p2, , pn, thì xác suất xuất hiện đại lượng A ở dạng A1, A2,

A3, , Ak, (k<n) sẽ bằng tổng xác suất các biến cố A1, A2, A3, , Ak, tức là:

P = p1 + p2 + + Pk

Có khi người ta viết định lý này dưới dạng:

),K(p

)B(p)A(p)K

BA

(

Các biến cố A, B, , K là độc lập Ký hiệu ∪có nghĩa là "hoặc"

Theo định lý nhân xác suất suy ra rằng xác suất trùng của một vài biến cố ngẫu nhiên độc lập bằng tích xác suất của chúng

Biến cố ngẫu nhiên độc lập được hiểu là các biến cố mà kết quả thử nghiệm lần sau không phụ thuộc vào lần trước, và do vậy lần thử sau không thể đoán trên cơ

sở thực hiện những lần thử trước

Định lý nhân xác suất thường được viết dưới dạng:

P(AB K) = p(A)p(B) p(K)

Khi đó cũng giả thiết rằng biến cố A, B, , K là độc lập với nhau

Tương ứng với nhứng điều nêu trên qui luật phân bố nhị thức nhận được khi giải quyết bài toán sau:

Tiến hành n lần thử độc lập, mà kết quả thử biến cố có thể nhận các giá trị dương 0, 1, 2, , n với các xác suất p0, p1, p2, , pn Xác suất xuất hiện biến cố A duy nhất bằng p, còn xác suất xuất hiện biến cố ngược B (không xuất hiện A) bằng

q Yêu cầu xác định xác suất Pm xuất hiện biến cố A m lần với n lần thử

Trong các phụ lục kỹ thuật biến cố A được hiểu là lượng sản phẩm tốt trong dung lượng nào đó của tập, còn biến cố ngược là sản phẩm có lỗi Đã có lần thử [58] xét các tập thống kê đại lượng dòng chảy từ quan điểm của qui luật phân bố nhị thức Trong trường hợp đó biến cố A coi là thời đoạn mưa, trong thời gian đó dòng chảy

được hình thành, và biến cố ngược là thời đoạn không mưa Khi đó người ta coi rằng bắt đầu thời đoạn mưa và không mưa là các biến cố độc lập, do vậy xác suất thời

đoạn mưa (p) và không mưa (q) là không đổi trong mọi lần thử Trong các xây dựng

lý thuyết xác suất kinh điển coi mô hình qui luật phân bố nhị thức thường xét sơ đồ cuốn hút (với vòng quay tiếp theo) các quả cầu trong lồng chứa p cầu đên và q cầu trắng Rõ ràng các ví dụ trên đều dẫn tới một sơ đồ toán học thống nhất Vì lẽ đó ta copi kết luận qui luật phân bố nhị thức là bối cảnh chung của bài toán

Trong trường hợp khi thực hiện thí nghiệm cần xuất hiện một trong hai biến

cố A hoặc B có xác suất p hoặc q và tổng xác suất của chúng p + q = 1, vì biết chắc chắn rằng hoặc A, hoặc B trong thí nghiệm sẽ được thực hiện

Xét tuần tự các trường hợp với 2, 3, 4 lần thử, sau đó khái quát cho n lần thử Nếu xác suất biến cố với 1 lần thử bằng p, thì với 2 lần thử khả năng xảy ra biến cố

A 0 lần (tức là không xảy ra biến cố A, cả hai lần đều xuất hiện biến cố B), 1, 2 lần Trên cơ sở lý thuyết nhân và cộng xác suất tương ứng sẽ bằng:

P0 = qq; P1 = pq+qp; P2= pp

Như vậy, xác suất P(m) xuất hiện biến cố m lần (0; 1; 2) trong hai lần thử (n=2) có phân bố như sau:

m 0 1 2 P(

P(m)

q3

Phân bố xác suất này tương ứng với phân bố số hạng của nhị thức:

(p+q)2 = p2 + 2pq + q2

(p+q)3=p3+3p2q+3pq2+p3

Thấy rằng số trường hợp xuất hiện (hay không xuất hiện ) đại lượng A trong mỗi phân bố bằng n+1 Qui luật phân bố xác suất trên dễ dàng mở rộng cho số lần thử không hạn chế Giả sử thí nghiệm n lần Không cần xét tới trật tự xuất hiện biến

cố ngẫu nhiên có thể thực hiện cho lần n+1 tiếp theo:

1) không xuất hiện n lần biến cố A

2) xuất hiện (n-1) lần biến cố B và 1 lần biến cố A

3) xuất hiện (n-2) lần biến cố B và 2 lần biến cố A

m+1) xuất hiện (n-m) lần biến cố B và m lần biến cố A, v.v

n) xuất hiện 1 lần biến cố B và ( n-1) lần biến cố A

n+1) xuất hiện n lần biến cố A

Xác suất trường hợp thứ nhất là qn Trường hợp thứ hai có thể xảy ra một trong các dạng: hoặc là xuất hiện biến cố A trong lần thử thứ nhất, hoặc lần thứ hai,

hoặc lần thứ ba, v.v cho đến lần cuối cùng, hơn nữa trong mọi trường hợp còn lại

đều xuất hiện biến cố B; xác suất mỗi biến cố trong các dạng này bằng nhau và bằng

qn-1p, vì số lượng các dạng này bằng n, nên xác suất trường hợp thứ hai sẽ bằng:

P2 = nqn-1p

Trong trường hợp thứ ba xác suất mỗi dạng bằng qn-2p, còn số dạng khi thực hiện trường hợp thứ ba, tất nhiên, bằng số kết hợp từ n thành tố theo 2, tức là:

n

) 1 n ( n

C2n ư

=

Suy ra xác suất trường hợp thứ ba bằng:

p q C

P3 = 2n nư2 2

Bằng cách tương tự có thể tìm thấy xác suất mọi trường hợp còn lại

Phù hợp với qui luật phân bố nhị thức đã trình bày, khái quát cho n thành viên, có thể viết dưới dạng sau:

.1pnqp

pq

!m

)1mn) (

1n

(

n

pq

!3

)2n)(

1n(npq

!2

)1n(npnqq)

p

q

(

n 1 n m

m n

3 3 n 2

2 n 1

n n n

=++

++

ư

ư+

+

ư

ư+

ư++

=+

mn(m

!np

q)!

mn(m

)1mn) (

1n(n)

Dạng chung của qui luật phân bố nhị thức với n và p khác nhau thể hiện trên h.2.1 Khi p=0,5 qui luật phân bố nhị thức đối xứng, Nó tiến tới đối xứng với n tăng

và ngay cả khi p ≠ 0,5, hơn thế còn đạt tới giới hạn nhanh hơn khi p càng gần giá trị 0,5 Với p < 0,5 qui luật phân bố nhị thức lệch trái (dương), khi p > 0,5 - lệch phải (âm)

Kỳ vọng toán học [E(m)] đại lượng ngẫu nhiên rời rạc m, phân bố theo qui

f) e)

d)

c) b)

a)

Hình 2.1 Phân bố nhị thức rời rạc với các tham số n và p khác nhau

a) n=10, p=0,8; b) n=10, p=0,5; c) n=10, p=0,2; d) n=5, p=0,2; e) n=20, p=0,2; f)n=15, p=0,2

luật nhị thức, bằng

np)m(E

m n m

n 0 m

m n m

m n n

0 m n

)!

mn(m

!nm)

p1(pmC)

m(mP)

m(Em

Với m=0, số hạng thứ nhất bằng không Vì thế lấy tổng bắt đầu từ m=1 Đưa

m n 1

m

.)p1(p)!

mn()!

1m(

)!

1n(np

)m(E

m

Trong đẳng thức cuối cùng dùng phép thế y = m-1 và z = n-1; kết quả nhận

y z y

,)p1(p)!

yz(y

!znp

)m(E

mm2mm

n

mm2mm

n

)mm()

m

(

2 n

0 m 2 n

0 m 2

0 m 2 n

0 m 2 n

0 m

2 2

−

=

−+

=

=

−+

=

−

=σ

n 0 m n

0 m 2 n

0 m

2 2

),m(mP)

m(P)1m(m)

m(Pmm

.)p1(p)!

mn(m

!n)

1m(m

)p1(pC)1m(m)

m(P)1m(m

m n m

n

0 m

n

0 m

n

0 m

m n m

m n

mn()!

2m(

)!

2n(p

)1n(n)m(P)1m(

n 2 m 2 n

0 m

Trong biểu thức ban đầu đối với phương sai thay các số hạng vừa nhận được:

, npq ) p 1 ( np ) np 1 p np

(

np

] np 1 ) 1 n ( p [ np p n np p ) 1 n

(

n

m ) m ( mP )

m ( P ) 1 m ( m m

m )

m

(

2 2 2

n 0 m

2 n

0 m 2 n

0 m

2 2

=

ư

=

ư +

ư

=

=

ư +

ư

=

ư +

ư

=

=

ư +

n

0

m

pnm

npm)m(mP

Biểu diễn các tham số của phân bố đang xét thông qua các đại lượng thường ứng dụng trong thuỷ văn - hệ số biến đổi và hệ số bất đối xứng Tính đến (1.22), (1.27), (2.4)-(2.6), ta được:

,np

qnp

npqm

q

) np ( q

p n q

p npqn q

) np ( npq

np q

) p q ( npq

C

C

5 2

/ 3

2 / 5 2 / 5 2

/ 3

2 / 3 2 / 3 3

3

3 3

Để áp dụng qui luật nhị thức ở dạng (2.2) cần biết giá trị tham số P, mà nó trong đa số các trường hợp phụ lục thuỷ văn không biết trước Cho nên xác định nó

được thực hiện xấp xỉ trên cơ sở các số liệu thực nghiệm.Khi giải các bài toán tương

tự coi ước lượng P là tỷ số:

, n

95 và 99% đối với P trong trường hợp phân bố nhị thứccó thể nhận được khi sử dụng tuỳ thuộc trên hình 2.2 và 2.3 Trên các hình này thấy rằng đối với P nhận được P = 0,2 và n = 20 giới hạn tin cậy 99% của P là 0,02 và 0,39 Rõ ràng khi tăng thời gian quan trắc (n) giới hạn tin cậy sẽ nhỏ hơn.Theo biểu thức (2.2) ta tính xác suất cho 20 năm sẽ là tuần tự 1, 2, , 10 trường hợp với sông khô cạn trong mùa hè:

000086 , 0 8 , 0 2 , 0 C ) 12

(

P

, 0005 , 0 8 , 0 2 , 0 C ) 11

(

P

, 002 , 0 8 , 0 2 , 0 C ) 10

(

P

, 0074 , 0 8 , 0 2 , 0 C )

9

(

P

, 0221 , 0 8 , 0 2 , 0 C )

8

(

P

, 0540 , 0 8 , 0 2 , 0 C )

7

(

P

, 1090 , 0 8 , 0 2 , 0 C )

6

(

P

, 1746 , 0 8 , 0 2 , 0 C )

5

(

P

, 2180 , 0 8 , 0 2 , 0 C )

4

(

P

, 2050 , 0 8 , 0 2 , 0 C )

3

(

P

, 137 , 0 8 , 0 2 , 0 C )

2

(

P

, 0576 , 0 8 , 0 2 , 0 C )

1

(

P

, 0115 , 0 8 , 0 2 , 0 C )

0

(

P

8 12 12 20 20

9 11 11 20 20

10 10 10 20 20

11 9 9 20 20

12 8 8 20 20

13 7 7 20 20

14 6 6 20 20

15 5 5 20 20

16 4 4 20 20

17 3 3 20 20

18 2 2 20 20

19 1 1 20 20

20 0 0 20 20

Hệ số nhị thức với n nhỏ có thể được xác định khá đơn giản từ tam giác Pascal:

m nC

nC

Giá trị số của các hệ số mỗi dòng ngang tiếp theo trong giới hạn tam giác Pascal được nhận bằng tổng hai số phân bố ở dòng trước đó về hai phía trái và phải của hệ số đó

Đồ thị phân bố với n = 20 và p = 0,2 thể hiện trên h 2.1 d: giá trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên m phù hợp với công thức (2.4) trong trường hợp đang xét

92,1C

,92,1)2,08,0(8,0.2,0.20)pq(npq

447,04

789,1mC

789,12,3

2 3

3 s

3

vm

=

=σ

H 2.2 Giới hạn tin cậy 95% đối với xác suất thực nghiệm theo phân

bố nhị thức (theo số liệu công trình [140])

Trong tính toán thuỷ văn thường yêu cầu xác định xác suất xuất hiện không quá r đầu ra thuận lợi trong n lần thử độc lập Xác suất này được xác định theo hàm tích phân phân bố nhị thức rời rạc

.qpC)

m

(

P

r 0 m

m n m n m

2,01(2,0C)

m 20 m

Thường trong tính toán thuỷ văn người ta sử dụng xác suất thiên lớn của số r

đã cho Trong trường hợp này ta có:

Phân bố nhị thức rời rạc có thể ứng dụng trong tính toán thuỷ văn và cả khi giải các bài toán tương tự ứng dụng lớn nhất trong tính toán thuỷ văn là phân bố nhị thức các đại lượng ngẫu nhiên liên tục sẽ xét trong Đ 4 của chương này Khi giải một số bài toán tính toán thuỷ văn người ta sử dụng qui luật phân bố Poatxông, cũng mô tả phân bố các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

2 3 Qui luật phân bố Poatxông

Phân bố Poatxông đưa ra từ phân bố nhị thức rời rạc với n → ∞ và khi np = λ giữ giá trị hằng số hữu hạn

Có thể nhận thấy rằng, nếu nh− trong phân bố nhị thức rời rạc xác suất Pm

đ−ợc xác định theo biểu thức (2.2), không có giá trị tiến đến 0 và 1, thì trong phân

bố Poatxông P → 0

Phân bố Poatxông có dạng:

.e

!m),

m

(

m λλ

!m

)1mn) (

2n)(

1n

(

n

)p1(pC)p,n

,

m

(

m n m

m n m

m n

−

−

−+

!mn

)1mn) (

2n)(

1n(n)p,n

)p1(

!mn

1m1

n

21n

11)p,n

−

−λ

p

1 n

)p1()

p1()

p1(im

p1(

n

1m1

n

21n

11lim

m 0

n 1 m

r

n

1mn

2m)(

1m(me

!m

f

1 m

=

1 m

m e

m r

r

)!

r m (

r

CÇn lưu ý r»ng luü thõa nguyªn dư¬ng cña mäi sè cã thÓ thÓ hiÖn dưíi d¹ng:

,CAC

r 1 i

i ri

=

Với Ari - số Stirling, xác định theo công thức xoáy đảo:

AC

r 1 i

i ri r

1 i

i ri

= r 11 i

1 1 , 1

=λ

=r 21 i

2 i

1 i

i i 3

f = ∑= λ = λ + λ + λ

=

Giá trị của hệ số Ari lấy theo bảng 2.1

Các mômen cao hơn bậc ba trong tính toán thuỷ văn người ta không dùng nên

ta không xét

Theo các công thức (1.38) biểu hiện mômen trung tâm à qua mômen gốc (fr), ta nhận được

2 3 3 3

) ( ) ( 3

0

3 3 2 3 2 3

2 3

2 3

2 2 2

1

λ

= λ + λ

ư λ

ư λ + λ + λ

= λ + λ λ + λ

ư λ + λ + λ

=

à

λ

= λ

ư λ + λ

2 mδ

à3) trong phân phối Poatxông đều bằng:

λ

= à

= σ

λ

λ

=σ

=

1 s v

rvà

Vì vậy, nếu chuỗi đại lượng ngẫu nhiên rời rạc m được đặc trưng bởi đẳng thức ≈ σ 2 ≈ à3 = λ

nhiên của các tham số mẫu với tổng thể của chúng

Những quan hệ giữa các tham số vừa chứng minh trên ít được dùng đối với các chuỗi thống kê của đại lượng thuỷ văn, vì vậy phân phối này trong thuỷ văn người ta ít sử dụng Tuy vậy, trong một số trường hợp việc sử dụng nó có thể là cần thiết như một số thí dụ sau:

Trước hết ta làn lượt so sánh luật phân phối nhị thức rời rạc với luật phân phối Poatxông

So sánh được tiến hành với những giá trị sau đây của các tham số phân phối Poatxông 1)λ=5,0; 2)λ=1,3) λ=0,1 ứng với điều kiện λ = 5,0 (vì λ= np) ta nhận

được những tham số của phân phối nhị thức rời rạc như sau:

Những kết luận nhận được theo tài liệu của bảng 2.2 là quan trọng hơn vì chúng cho phép ta ước lượng được dung lượng mẫu, mà trong đó những khác nhau ở lược đồ phân phối được nghiên cứu của đại lượng ngẫu nhiên thực tế có thể coi là không cơ bản Những tính toán cho thấy rằng phân phối Poatxông khá trùng với phân phối nhị thức ngay cả khi dung lượng mẫu tương đối nhỏ (n>10), đặc biệt với

sự giảm tham số λ

Kết luận rất quan trọng theo quan điểm ứng dụng luật phân phối này vào giải những bài toán thuỷ văn, vì trong trường hợp này dung lượng thường dùng cho các chuỗi thường hạn chế bởi một vài chục số hạng

B¶ng 2.2

Hình 2.5 So sánh qui luật phân bố tích phân nhị thức và qui luật Poatxông

1-qui luật nhị thức p=0,2, n=25; 2- qui luật nhị thức p=0,1, n=50; 3- phân bố Poatxông λ=5

Việc ứng dụng luật Poatxông chúng ta sẽ xét ở thí dụ đánh giá sự lặp lại của những nhóm năm ít nước và nhiều nước trên một số sông ở Liên Xô Các tài liệu cơ bản gốc đã được trình bày ở bảng 2.3

Bảng 2.3 Tài liệu về thời gian dài nhất của thời kỳ ít nước và về số năm quan trắc trên một số sông ở Liên Xô

Sông Trạm Thời gian dài nhất của thời kỳ ít nước Số năm quan trắcVolga

Unza

Bêlaia

Iarôxlavl Makariiev Ufa

Nếu coi những thời kỳ ít nước hoặc nhiều nước của sông kéo dài là hiện tượng rất hiếm và giả thiết rằng mối quan hệ ngẫu nhiên giữa các giá trị của dòng chảy năm là không có thì có thể dùng luật phân phối Poatxông dưới dạng :

λ ν

R

(

Để làm sáng tỏ xác suất P(R=ν) gặp số lượng nhóm năm (v) ít nước hoặc nhiều nước có độ dài lớn không ít hơn k năm

Trong trường hợp này, tham số phân phối là trị bình quân của số lượng thời

kỳ ít nước hoặc nhiều nước có độ dài lớn hơn k năm trong chuỗi tài liệu n năm quan trắc được

Đối với bài toán này tham số của phân phối Poatxông có thể được tính theo công thức gần đúng:

1 k

Khi sử dụng các biểu thức (2.19) và (2.20) dễ dàng có thể tính được xác suất xuất hiện trong n năm quan trắc có số lượng nhóm nước (ν) với độ dài lớn hơn k năm.Lưu ý khi đó k khá lớn và vì thế cho nên nhóm nước quan trắc được, chẳng hạn như nhóm năm ít nước là hiện tượng rất hiếm, tương ứng có xác suất xuất hiện nhóm nước đó là rất nhỏ Cũng như trên ở đây người ta giả thiết là không tồn tại quan hệ trong chuỗi tổng lượng năm của dòng chảy sông ngòi

Sự xuất hiện hai nhóm nước ít với độ dài của mỗi nhóm lớn hơn 7 năm, trong mẫu có 85 năm quan trắc (sông Bêlai - trạm Ufa) có thể dự đoán với xác suất là bao nhiêu ? Do có n = 85, ν = 2, k = 7 Theo công thức (2.17) chúng ta nhận được:

332,0256

852

% 4 04 , 0 e

! 1

332 , 0 ) 2 R

Sự suất hiện một nhóm năm ít nước dài hơn 7 năm trong mẫu có lượng bằng

85 năm với xác suất bằng bao nhiêu? Theo công thức (2.19) chúng ta nhận được

% 24 24 , 0 e

% 1

332 , 0 ) 1 R

1 k

2 n K

!01)0R

(P1)1R

(

ư λ

Sử dụng biểu thức (2.21) ta tính xác suất lý luận sự xuất hiện các nhóm năm

ít nước có trong bảng 2.3

Đối với nhóm năm ít nước có độ dài bằng 11 năm của sông Volga trạm Iarôxlav ta có

%202,0e

1)1R

1 1)

68 -

15≥ = + = =

Cuối cùng đối với nhóm năm ít nước của sông Bêlaia - trạm ufa

% 2 018 , 0 e

1 ) 1 R

021,0)1R

(

Việc xác định thời gian dài nhất của các nhóm năm ít nước hoặc nhiều nước khi cho trước giá trị xác suất và dung lượng mẫu có tầm quan trọng rất to lớn trong khoa học và trong thực tiễn Bài toán này có thể giải gần đúng trên cơ sở luật Poatxông Nếu biểu thức (2.19) được biểu diễn dưới dạng

12

lg

)p1ln(

nlg

,912

lg

)05,01ln(

78lg

,912

lg

)05,01ln(

68lg

,912

lg

)05,01ln(

l

85lg

Kết luận trên tất nhiên là đúng ở chừng mực nào đó khi lược đồ phân phối Poatxông được dùng để tính toán phù hợp với hiện tượng nghiên cứu

Trong trường hợp riêng, điều kiện rất quan trọng của việc ứng dụng luật Poatxông là yêu cầu các giá trị của chuỗi nghiên cứu phải độc lập lập với nhau về mặt thống kê Bên cạnh đó ta biết rằng có nhiều hiện thuỷ văn hiếm thấy có thể kế tiếp nhau vì điều kiện hình thành chúng được bảo tồn trong thời gian dài Điều đó thực chất đã phá vỡ điều kiện ứng dụng luật phân phối Poatxông vì vậy trước khi

đánh giá chuỗi có mối quan hệ nội tại lớn thì những tính toán có sử dụng luật phân phối Poatxông nên xem như là có giá trị minh hoạ

Sự nghiên cứu đầy đủ nhất vấn đề ở những dao động có tính chất chu kỳ của dòng chảy sẽ được trình bày ở chương VII Việc ứng dụng luật phân phối Poatxông trong thuỷ văn tất nhiên không hạn chế bởi thí dụ trên

Chẳng hạn như G.A Alekxeev [4] đã sử dụng luật này trong chứng minh công thức xác định độ lặp lại của mưa theo tần suất của chúng trong chuỗi các trận mưa Đồng thời ta nhận thấy rằng trong côn g trình này có sử dụng luật phân phối nhị thức đang rời rạc IU.B.Vinôgrađôv [36] đã dùng luật phân phối Poatxông trong

đánh giá phân phối của độ dài các thời kỳ không mưa Việc mô tả phân phối năm ít nước và nhiều nước bằng luật Poatxông cũng được G.A.Grinêvich và các tác giả khác thực hiện trong công trình [44]

2 4 Khái quát luật phân phối nhị thức đối với chuỗi của

đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Đa số đại lượng thuỷ văn căn cứ vào các đặc điểm hình thành mà xét chúng như là các tập hợp thống kê liên tục Tính liên tục của phân phối đối với các chuỗi ngẫu nhiên như đã thấy ở trên là giá trị của đại lượng có thể biến thiên như thế nào tuỳ ý (với độ chính xác xác định nó), vì vậy hai giá trị kề nhau của chuỗi có thể khác nhau một giá trị rất nhỏ (tất nhiên nằm trong phạm vi độ chính xác đo đạc hoặc tính toán cho phép) Vì thế khi tăng vô hạn số lượng số hạng của chuỗi ta có thể hy vọng rằng, các giá trị của chuỗi thống kê lấp đầy một khoảng bất kỳ cho trước tạo nên một chuỗi liên tục

Chính vì thế cần phải khái quát luật phân phối nhận được ở trên của các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc bằng phân phối của đại lượng liên tục

Giải bài toán này ta sẽ tiến hành đối với luật phân phối nhị thức rời rạc Trường hợp trên cần phải có bước chuyển tiếp từ biểu thức (2.3) của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc (m) sang biểu thức đánh giá xác suất khi đối số (x) biến thiên liên tục, nghĩa là nhận luật biến thiên liên tục xác suất P(x) Thực chất của bài toán đưa về nội suy phân phối nhị thức rời rạc

Trên hình 2.6 phân phối nhị thức rời rạc với m và p khác nhau được biển hiện bằng các cột thẳng đứng Độ cao của các tung độ trên hình 2.6 được xác định bằng phương trình (2.2) Kích thước của khoảng phân phối rời rạc có thể lấy tuỳ ý Điều

Hình 2.6 Sơ đồ chuyển từ phân bố nhị thức rời rạc về liên tục

quan trọng là sao cho khoảng đó không đổi Khi tăng số lượng quan trắc n đồng thời giảm độ dài của rời rạc ε trong giới hạn n → ∞ và ε → 0 ta thấy được đường phân phối liên tục đi qua giá trị lớn nhất của các cột (hình 2.6)

Dưới dạng tổng tổng quát ta ký hiệu hoành độ của phân phối P(x) là m -1, m

và m+1, còn tung độ tại các hoành độ tương ứng là P(m-1), P(m) và P(m+1)

Giá trị hoành độ ở các điểm tiếp xúc giữa đường cong với các đoạn thẳng ABCDE (hình 2.6 ) bằng

2

1 m x hay 2

1 m

=

ư+

=

Trong trường hợp đó

)1m(p)1m(pP

)1m(p)m(pP

2

1

ư

ư+

)1m(p)m(pdx

dp

p

1

ư+

ư

ư

=

ư+

xppn2pxxppxpn

pxxppxpn2)p1(x)1xn(p

)p1(x)1xn(p2)p1(1xn

1p

p

1

)p1(1xn

1p

x

1

2

)p1(p)!

1xn()!

1x(

!n)

p1(p)!

xn(x

!n

)p1(p)!

1xn()!

1x(

!n)

p1(p)!

xn(x

!n2)1x(p)x(p

)1x(p)x(p2dx

dp

p

1

1 x n 1 x x

n x

1 x n 1 x x

n x

+

−+

−+

=

−++

−

+

−+

−

=

−++

−

−

−+

−

=

−+

−+

−+

−

−

=

−+

−

−+

x = + , điều đó phù hợp với sự chuyển dịch khoảng cách theo thang hoành độ một khoảng bằng một nửa khoảng rời rạc

' px 4

1 2

' x 2 pn

2

1 ' x p pn

) 2

1 ' x ( p 2

1 ' x p pn

2

1 ' x p pn 2

−

−

+

= +

− + + +

1 p ( ) 2

np 4

1 (

' x ) p pn 2

1 ( '

1

p

,b2

np4

1

,rppn

xrdx

Từ phương trình (2.23) rút ra khi x = -r dy/dx=0, nghĩa là tại điểm đó đường cong có cực đại, còn gốc toạ độ được chuyển đến tân của phân phối Khi

0

dx

dy

0

y = = nghĩa là ở đầu và cuối đường cong có tung độ bằng 0

Tách các biến số trong phương trình trên bằng cách nhân vào cả tử và mẫu

số với b1, cộng và trừ đi ở tử số với b0 sẽ nhận được:

dxxbb

xry

dy

1 0

dxb

brbb

xdxb)xbb

(

brb

dxb)xbb(

xbbdx

b)xbb(

bbxbrbylny

dy

1 1 0 1

0 1 1 1

1 0

0 1

1 1 0

1 0 1

1 0

0 0 1 1

=+

ư

++

ư

=+

ư++

=

=

Sau khi thay biến số b0+b1x=t ta có:

)xbbln(

b

1tlnb

1t

dtb

1xbb

dx

1 0 1 1

1 1 0

=Trở lại biểu thức ban đầu ta được:

cln)xbbln(

bb

br

b

xcln)xbbln(

b

1.b

brbb

xy

1 1 0

1 1

0 1 1

0 1 1

++

ư+

=++

ư+

=

Lấy đối số logarit biểu thức sau cùng ta có:

1

b x 1 1

0 re)xb0b

(

c

y

ư+

Ta sẽ biểu diễn các tham số của phương trình (2.25) qua mômen, để làm

được điều đó phương trình (2.23) ta biểu diễn dưới dạng:

b0dy+b1xdy = rydx + yxdx

Nhân cả hai vế của đẳng thức này với xn ( n - số nguyên dương) và lấy tích phân

dx yx dx yx r dy x b dy x

b0yxn=0

b1yxn+1=0

vì các tung độ y điểm đầu và cuối đường phân phối bằng không

Thay (2.27) và (2.28) vào (2.26) và biểu diễn các tích phân qua mômen, ta nhận được biểu thức truy toán đối với các mômen của đường phân phối nhị thức

n

n n

1 n 1

n

mdxyx

mdxyx

mdxyx

Biểu thức (2.29) liên kết các tham số r, b0 và b1 với mô men bất kỳ bậc nào Chúng ta chỉ quan tâm các quan hệ của các tham số đó với mômen bậc một, bậc hai

và bậc ba, vì nói chung trong tính toán thuỷ văn các mômen bậc cao hơn không dương dùng khi mô tả đường phân phối nhị thưcs Ta biết rằng m0=1 và m1=0:

Theo biểu thức tính toán (2.29) ta được:

Khi n = 0 -b1 = r

Khi n = 1 -b = r

Khi n = 2 3b1m2 = m3 + rm2

Từ đó:

2 3

2 0

2

3 1

3 2 2 1

2 1 3 2 1

m2

mb

m)mm3

(

b

m)b(mm

=

ư

(2.30)

Biểu diễn phương trình (2.25) qua các mômen của đường phân phối trong đó

có sử dụng đến các quan hệ của (2.30) ta có:

x m m 2 m

m 2 ).

m m 2 m 2

m (

2

3 2

3 2 3

2 3 2 2 3

e)

xm2

mm(

m4m

m4mm2

mm2m

m2)m

m2m

2

m

(

3 2

3 2 3

2

3 2 3

2

3 2 3

2 3

2 2 2

3

ư

=+

3

2 2

3 3

m

m2

2

3 1

3 3

m2

mc

Sau cùng ta nhận được phương trình của đường phân phối nhị thức liên tục

đối với trọng tâm của phân phối

1 m m 4 3 2 x

m m 2 1

2 3

2

3m

m2xe

Chuyển phương trình này đối với đầu đường phân phối 0 đầu đường phân

phối y=0, Khi 0

m

m2x3

2

2 =+ Thay biến số trong phương trình (2.32)

3

2 2m

m2x

3

2 1

2 3 3

2

' x m

m 2 e c

m m 4 1 3

2 2

;m

1 B

dz z e

z

1

= β

= β

ư α

∫

∫

Tích phân trong đẳng thức trên là hàm Gama, hay tích phân Eiler loại hai, các giá trị của nó có thể tìm được ở các bảng đặc biệt, chẳng hạn trong công trình [89]

=αΓ

, 1 )

(

B

= β

B

αΓ

ααΓ

β +

trong đó

y0 - tung độ số đông

;m

;m2

mm

m2rr

2m

2 3

3 2 2

3 3

để từ phương trình (2.32) nhận được phương trình (2.36), cần chú ý là khi chuyển gốc toạ độ từ trọng tâm của phân phối sang số đông, hoành độ x ở hệ toạ độ mới sẽ liên kết với hoành độ ở hệ toạ độ cũ bằng quan hệ

2

3m2

mx'

x = + , vì chúng ta

đã chuyển gốc toạ độ sang bên trái một đại lượng

2

3m2

m

Xét những quan hệ cơ bản giữa các tham số của đường phân phối nhị thức vừa nhận được ta thấy khoangr cách từ gốc toạ độ đến trọng tâm của đường phân phối bằng tổng của ba đại lượng sau (hình 2.7)

x0 - trị nhỏ nhất của đại lượng đang nghiên cứu:

a - Khoảng cách từ đầu đường phân phối đến số đông:

r - Khoảng cách từ số đông đến trọng tâm đường phân phối

Tổng các đại lượng đó bằng mômen gốc bậc một (trị bình quân của đại lượng ngẫu nhiên )

Hình 2.7 Đường phân bố xác suất không đối xứng

1 - tâm phân phối (trị bình quân số học)2 - Số giữa 3 - Số đông

4 - x0 - Giá trị đầu tiên của đại lượng ngẫu nhiên

Khoảng cách từ đầu đường phân phối đến trọng tâm bằng

3

2 2m

m2r

Cv =

3/2 3 s

2

m

m

C =

Các quan hệ này cùng với (2.37) và (2.38) cho ta:

,Cs

Cv2m

m2x1r

a

3

2 2

S

x1

1C

2

C

0xkhiC

2

C

0xkhiC

2

C

0 v

s

0 v

s

0 v

∫

∞

β

ư α α

αΓ

x

(

trong đó α và β được biểu diễn qua các mômen trung tâm như đã xét ở trên

Phương trình (2.41) được xác định bằng ba tham số (x,m1,m2) nên đôi khi

được gọi là phân phối gama hai tham số

Đối với biểu thức (2.41) ta nhận được

m2.m

m

2

0 3

2 0 3

2 3 2 2

=

0

ax 1dxex)()

ex)(

α

αΓ

α

Đường tích phân của phân phối nhị thức Cs = 2Cv dạng (2.42) khác với (2.41), đôi khi gọi là phân phối gama hai tham số, vì trong phương trình này chỉ có hai tham số (Cs và Cv) được xác định theo tài liệu quan trắc

Trong tính toán thuỷ văn đối với các tham số của đường phân phối phổ biến

là dùng hệ số biến đổi và hệ số không đối xứng, các hệ số này được xác định theo tài liệu thực nghiệm bằng các biểu thức (1.22) và (1.27) Vì thế các phương trình (2.41)

và (2.42) nên biểu diễn qua ba tham số đó Đồng thời ta biết rằng trị bình quân số học hay mômen gốc bậc một ở trong các phương trình đó bằng một, vì chính đại lượng ngẫu nhiên được xét dưới dạng hệ số môdul

Để thực hiện phép biến đổi đó, ta biểu diễn các tham số

3

2 2

3

3 2

m

m2m

m

4

=β

=

α

qua các hệ số biến đổi (Cv) và không đối xứng Cs Ta biết rằng

3 v s 3 2

v 2

/ 3 2

3 S

2

m

mC

m

Trên cơ sở các biểu thức vừa nhận được ta dễ dàng có:

V S 2

S

2C

ta tìm

x

x d e

x x

C 4

C C 2 )

0 2

S

C / 4

v

2 S

1

=β

C 1 C 1

0 2 v

C / 1

2

2 2

s 2

Các tham số của mômen bậc cao hơn 3 có mối liên kết hàm số với hệ số biến

đổi và hệ số không đổi xứng Ta sẽ sử dụng mối quan hệ này để xác định độ nhọn của phân phối các tham số Cv và Cs, muối vậy ta thay (2.30) vào biểu thức truy toán

đối với mômen (2.29)

2

2 3 4 2

2 2 2

2

m2

mmm

m2m

Từ phương trình trên mômen bậc bốn được xác định như sau:

2

2 3 2 2 2

2 3 2 3 3 2 4

m2

)mm2(3m

2

mm4m6

=

ư+

=

Từ đó biểu thức của độ nhọn có thể được biểu diến dưới dạng:

m 2

m 3 m

2

) m 2 m m 2 ( 3 3 m

m m 2 2

3 3 m

m

2

2 3 3

2

2 2 2 3 2 3 2

3

2 3 2 3 2