Thặng dư

Thặng dư

Chương IV: Lý thuyết thặng dư và ứng dụng Định nghĩa :

Điểm zạ gọi là điểm bất thường cô lập của

#(z) nếu hàm ƒ(z) không có đạo hàm tại

Zọ nhưng có đạo hàm trong lân cận của zọ

Sin Z e~ —]

Nếu zạ là điểm bất thường cô lập của f(z) thi ƒ(z) có đạo hàm trong lân cận 0<| Z—Z0 <£

Phan loai :

Nếu trong chuỗi Laurent có vô hạn các số hạng

với lăy thừa âm của (z - zọ) thì zo gọi là điểm

Nếu chuỗi Laurent của #(z) chỉ chứa một số hữu

han các số hạng với lấy thừa âm của (z - zọ) thì Zo_ gọ1 là một cực điểm của ƒ(z)

Nếu trong chuỗi Laurent không có các số hạng

với lũy thừa âm của (z - zọ) thì zo gọi là điểm

bất thường khử được

/Œ)=

ay +a(z—zạ)] +a2(z—z0)ˆ +

Cách nhận biết các loại điểm bất thường qua

9101 han

Cực điểm khử được

ƒ(z)= aạ + đ(Z- Z0)+ a2(Z-— zy)? +

lim f(z)=aqg Hữu hạn

Z—Z()

|

z(z-l)

(1 P

Ví dụ :Hàm f(z) =sin{ * nhan diém

Z

Định nghĩa : Hệ số à_q của số hang

(Z—Z0) | trong khai triển Laurent của hàm

ƒ(2) tại điểm zạ_ trên miễn| 0< |z— zọ | <e| gọi là

thặng dư của hàm f(z) tai zg va

ký hiệu là a_¡ = Res(ƒ/(Z).Z0 )

z—

ay + ay (

Ví dụ : Tính thặng dư của hàm f(z) = :

z(z—2)*

tại Z= 2 và tại z=0

` 4 7A a’ `

Tại z = 2 hàm có cực điềm cap 4 vì lim (#(zXz-2)` )= 5 +0

Z—> 2

Nếu dùng công thức tính thặng dư theo giới hạn:

Ll d? Zz

2!z_»0 gp*|z-sinz

Z—SInz

Ví dụ : Tính thặng dư của hàm f(z) = l‡Z

l—-cosz

tai z=0

Chú ý : Trong trường hợp Zp là cực điểm cấp 1

giới hạn khi kiểm tra cực điểm cấp 1 chính là giá

tri thang du’ cua ham tai Z¢

Chú ý : Trong trường hợp zo là cực điểm cấp 1

P(Z)

QŒ)

zọ thỏa điều kiện @(zog)#0.@'(zo)#0 P(zo)#0

Ví dụ : Tinh thang du ham ƒ(z) = fø z = tan z tại

Dinh l¥ Thang dư : Nếu C là một đường cong kín, lấy theo chiều dương quy ước

(2z) là một hàm giải tích trong miễn D giới hạn bởi C, ƒ(z) liên tục trên C trừ ra tại một số hữu hạn các điểm bất thudng zp (k =1,2.n) nằm

trong D

Giả sử có một điểm bất thường z¡ trong miễn D

[ ƒ(z)& = Ị ƒ(z)& (Cy :/z-q\=¢ )

JO

⁄⁄

Ï —4=2zi[Res(/(z).i)+ Res(/(z).—0]

Cz +i

l Vidu :Tinhtich phan | dz véiCla

Cz7(z+2)

đường tròn Zz =4, lấy theo chiều dương

r Z7(z+2) dz = 2xi[Re s( ƒ(z),0) +

+ Re s( f(z),-2)]

Vidu :Tinhtich phan | dz với

ao 2(z* +62 +4)

C là đường tròn | z| = 4, lấy theo chiều dương

dz

Œ Z(Z“ +6z+4)

= 2zi Re s(ƒ(z).0) + Re s(ƒ(z).—3+ ^/5)|=

Ung dung thang du

Chi ¥ : Néu dat z=(cos@+isin @) thi

z" =(cosnm+t+isin ng) ;

21 d

Ví dụ : Tính tích phân +

0 cos @m+2sin p+ 3

:

Nhận Loại

Hàm lấy tích phân có 3 cực điểm là Z¡ =0 (cực

điểm cấp 2) ,Z2 = = ( cực điểm cấp l),Z43 = —2

( cực điểm cấp 1 nằm ngoài hình tròn đơn vị )

271 do

Vidu:

0 2 cos @ +3sIn ( + 7

27

Ví dụ :Tính Í ap

0 1-2asnop+a

—i dz

Πaiz +(a2 +1)z-ai

Ung dung thane dư tính tích phân suy rộng

POX) và

x)dx =

1 f(x) 1 Ou)

Dùng công thức tính tích phân bằng thặng dư

-œ X +

—|+i +Res/().4| 5 )

I (x)= > f=

+o dx

Ví dụ : Tính tíchphân | z

0 x +]

Ung dung thặng dư tính tích phân suy rộng có chứa hàm lượng giác :

Ung dung thang du dé tim phép bién déi

Laplace ngược :

ƒŒ)=E `‡ƑF()}= —— [| F(se*' ds=

27tỉ |

q—ïœo

l

(s + ])(s + 3)

Ví dụ : Tìm hàm ƒ() nếu #(s)=