Đề thi dự bị môn toán khối A 2006

Đề thi dự bị môn toán khối A 2006

ĐỀà DỰ BỊ 2 –TOÁN KHỐI A –năm 2006 Phần Chung Cho Tất Cả Các Thí Sinh

Câu I (2 đ)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

y = x4 − (x2− )

2

2) Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(0, 2) và tiếp xúc với (C)

Câu II (2 đ)

1) Giải phương trình: 2sin 2x - ⎛ π

⎜

⎞

⎟ + 4sinx + 1 = 0

x y R

⎨

⎪⎩

Câu III (2 đ)

Trong không gian với hệ trục Oxyz Cho mp

(α): 3x + 2y – z + 4 = 0 và hai điểm A(4, 0, 0) ; B(0, 4, 0) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB 1) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mp (α)

2) Xác định tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mp (α) đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và mp (α)

Câu IV (2 đ)

1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 – x + 3 và

đường thẳng d: y = 2x + 1 2) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 3−x+3−y+3−z=1 Chứng minh rằng:

x y z+ y z+x z x+y

z

3

Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu Va hoặc câu Vb

Câu Va (2đ)

1) Trong mp với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0, cạnh BC song song với d Phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1, 1) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó

Câu Vb (2 đ)

1) Giải phương trình: logx log x log

x

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho

AM = a 3

3 Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N

Tính thể tích khối chóp S.BCNM

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu I

1/ KS: y= x4 − x2+

2

y’=2x3-4x=2x(x2-2); y’= 0⇔ x=0 hay x=± 2

x −∞ − 2 0 2 +∞

y' − 0 + 0 − 0 +

y +∞ 2 +∞

0 CĐ 0

CT CT

y”=6x2-4;

y”=0=>x= ± 2± 6

Đồ thị hàm số: Học sinh tự vẽ

2/ pt tiếp tuyến d qua A(0,2) có dạng d:y=kx+2

d là tiếp tuyến của (C)

có nghiệm

( )

( )

x x k

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

⇔

− =

4

2

3

Thay (2) vào (1) ta có phương trình hòanh độ tiếp điểm là

3x4-8x2=0 ⇔x=0 hay x=± 8

3

• x=0 thì k=0 ta có tiếp tuyến d1: y=2

3 thì k= ±8 2

3 3 ta có hai tiếp tuyến d2,3:y= ±8 2

3 3x+2

Câu II 1/ Giải phương trình: sin⎛ x π⎞ sinx

(1) ⇔ 3 sin2x-cos2x+4sinx+1=0 <=>2 3 sinxcosx+4sinx+2sin2x=0

⇔ sinx( 3 cosx+sinx+2)=0

⇔

⇔

7

2/ Giải hệ phương trình

y

x

x

− = +

⎧⎪

⎨

⎩

(I)

(I)

( )

y

x

x

⎪

⇔ ⎨

⎩

3 3

2 2

)

) Thế (2) vào (1) ta có: ( x3−y3)= ( x+y)=( x2− y3)( x+y

3

— x= 0 ⇒ -3y2 = 6 vô nghiệm

— x=3y thay vào (2) có hai nghiệm (3,1) và (-3,-1)

— x=-4y thay vào (2)có nghiệm ⎛ , ⎞hay⎛ ,

⎞

⎟⎟

⎠

Câu III 1/ Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với mp(α)

pt AB: x y Toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với mp(

z

+ =

⎧

⎩

4

)

2 16 0

2/Vì I là trung điểm của AB ⇒ I(2,2,0) Gọi K (x; y; z )

cùng phương

KI

uur

( )

nuur α và KO = d(K,(α))

K

x y z

x y z

14

Câu IV

1/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi P:y=x2-x+3 và d:y=2x+1

Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: x2-x+3 = 2x+1

x=1 hay x=2

⇔

S =∫2⎡⎣ x+ − x2− +x dx=

1

1

6

⎤⎦ ( vì 2x + 1 ≥x2− + ∀ ∈x , x [ ;2])

2/ Chứng minh bất đẳng thức x

y z

x + 9 +

z x + +

9

x y

z+9 +

≥ 3 x + 3 y + 3 z

4

với 3-x + 3-y + 3-z = 1 Đặt a =3x, b =3y, c =3z

Theo giả thiết ta có:a,b,c > 0 và ab + bc + ca= abc (1)

+ +

4

+ +

4 c (2)

Thay abc vào (2) ta có:

+ +

4 Áp dụng BĐT côsi cho 3 số dương ta có:

3 3

4

3 3

4

c a c b

3 3

4 Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có ĐPCM

Câu Va

1/ Tìm toạ độ A,B,C

Vì AC BH có hệ số góc bằng -1 suy ra hệ số góc của AC là 1 ⊥

Vì M(1,1)∈AC ⇒pt AC:y-1=1(x-1) ⇔ y = x Tọa độ A là nghiệm của hệ:

,

x y

y x

⎧

⎪⎩

− − =

=

2 3

0

Vì M(1,1) là trung điểm của AC ⇒C⎛ , ⎞

8 8

3 3 Cạnh BC//d và qua C

⇒ pt BC: (x-8

3) – 4( y-8

3) = 0 hay x−4y− =8 0.Tọa độ B là nghiệm của hệ : x y B( , )

+ + =

⎧

⎨ − − =

⎩

4 1

2/ Gọi n a a a a a= =a 4+a 3+a 2+a 1+a

4 3 2 1 0 4 10 3 10 2 10 110 0 100 là số cần lập

Ta có 4 cách chọn a4

4 cách chọn a3

3 cách chọn a2

2 cách chon a1

1 cách chọn a0

Vậy có 4.4.3.2.1=96 số n

Cách 2 : Ta có 4 cách chọn a4 và 4! cách xếp 4 số còn lại

Vậy có 4.4!= 96 số n

* Tính tổng 96 số n lập được

Có 24 số n a a a a= 4 3 2 10;

Có 18 số n a a a a= 4 3 2 11;Có 18 số n a a a a= 4 3 2 12;

Có 18 số n= n a a a a= 4 3 2 13;Có 18 số n a a a a= 4 3 2 14

Tổng các chữ số hàng đơn vị là: 18(1+2+3+4)=180 Tương tự ; tổng các chữ số hàng chục là: 1800;tổng các chữ số hàng trăm là: 18000;tổng các chữ số hàng ngàn là: 180000

Có 24 số n a a a a=1 3 2 1 0; Có 24 số n=2a a a a3 2 1 0;Có 24 số n=3a a a a3 2 1 0; Có 24 số n=4a a a a3 2 1 0

Tổng các chữ số hàng chục ngàn 24(1+2+3+4)10000=2400000

Vậy tổng 96 số n là 180+1800+18000+180000+2400000=2599980

Cách 2 : Có 24 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4 ) đứng ở vị trí a4

Có 18 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4 ) đứng ở vị trí ai với i = 0, 1, 2, 3

Vậy tổng 96 số n là ( 1+2+3+4 ) [ 4+ ( 3+ 2 + 1+ ]

Câu Vb

1/ Giải pt:logx + log x =log

x (1) ( )

log

2

1

2

2/ Tính thể tích hình chóp SBCMN

(BCM)//AD nên nó cắt (SAD) theo giao tuyến MN//AD

BC SA

⎨

⎪⎩

⊥

⊥

Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao

Ta có SA=ABtg600= a 3

a a

−

3 3

2 3

⇒ MN =4a

3 ,

BM = a2+a2 = 2a

Diện tích hình thang BCMN là

a

S

+

=

2

2

4

3

SBCMN

3 MN Hạ SH BM.Ta có SH⊥ ⊥ BM và BC ⊥ (SAB) ≡ (SBM) ⇒BC SH ⊥

Vậy SH (BMCN) SH là đường cao của khối chóp SBCNM

Trong tam giác SBA ta có

Vậy BM là phân giác của góc SBH ⇒ SBH = 0

30

⇒ SH=SB.sin300=2a.1

2= a V=1

3a a =2 10 3a3

27

3 3

10

Hà Văn Chương - Phạm Hồng Danh - Lưu Nam Phát

(Trung Tâm Luyện Thi Vĩnh Viễn)