Công thức đại số cấp 3

Công thức đại số cấp 3

|

pAI sO

1, Tam thức bậc hai :

Ít = @“+bX+( (az0;a'eR; œ<ƒ; §=-2)

‘A<O G<X, <x, A>0

A< alltt} <

{(x)s0,¥xeR li th X.<0<j<X, © co <0

‘al(a) <0

ci rghit cal(x) eo fa) =O) Ky<acK <P) eo

"—-.—— —_ —

af(w) > 0

Xạ<œ<%; € alla) <0 Sask an |af(g) < 0

' A >0

f

asx, <h<X,

2

—|

et

ãÍf) >0

X,<xX,<a © one A<X<xX <p 2 yt

2 Bất dang thc Cauchy (Co-si) :

sab>0 as , đấu "="” xằƒfa ‹+ a=b

ot > abe , dẫu “=” xảyfa ‹+ a=b=cC

3 Cấp số cộng :

a/, Định nghĩa : Day số U,, Us, tae »U,, ere

gọi là một cấp số công có công sai d nếu | _U, = u,., + d

b/ Số hạng thứn: | uạ= u; + (n - †)d

cí, Tổng n số hạng đấu tiên :

§„= Uy+ Uạ+,„, + Ủạ = 2(U,+U, =F [2u+ (n- 1)d]

4, Cấp số nhân :

a/ Định nghia: Dãy số Ủy, Úạ, ,Uạ,

gọi là một cấp số nhân có cộng bội q nếu |_U, = U, _;.q |

bí, Số hạng thứn: | uUạ= u.q””

cí, Tổng n số hạng đầu tiên :

1-q"

=U +U + ¢U, = U

Nếu 1<q<1 (@j<J thì lim§, ae

—:

5, Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối :

`

| ñA-BlsA-z | alc] o <8"

|A|=B =

|A| >B |

A<-B

|A|<B c An

A>-B

8 Phương trình, bất phương trình chứa căn :

A»0 4A =-/B BEB EY JA <B <> ‡B>0

A<B

whee = = đN»8S Nt Tae B<0 (B>0

>

WRB oo ht

A<B

7, Phương trình, bất phương trình logarit :

-

log, {(x) = log, g(x) ‡f&)>0 (hoặc g(x) >0)

O<ael

f(x) = g(x)

log f(x) > log g(x) = |

0<az1 {(x) >0

g(x) > O

(a —1)[ f(x) —g(x)] > 0

-

8 Phương trình, bất phương trình mũ :

(x) _ g(x) veers a = †

»

(a —1)[f(x) - g(x)] > 0

at i a9) sins ‘i >0

9,Lũy thừa: a,b>0

=i Í

(a°)"=a°" - |a*b*=(abj"| + a= 4 “

10, Logarit: O<N,,No.N và 0<a,bz1 ta có

BạN=M © N=ah | os|Š]-sgN~egN

log, N

vo = Nowe log, N log, a

log (N:.N;) = log N; + log, Ne log b = log, a

LƯỢNG BGIÁC

I, Công thức lượng giác :

1 Hệ thức cơ bản :

sin x 1 tax _ 1+f

COS X

sin x

colgx = 1 + cotg’x

sin’x

2, Các cung liên kết: Đối - Bò - Phụ - Hơn kém 7; Š

sin(——x) = COSX tg (— —x) = cotgx

2 2

Gost x) = sinx eolg (> —x) = tgx

Sin(x+z) = —sinx | tg (x + 7) = tgx

COS(X+x) = —cosx | cotg(xX +) = cotgx

sin(x + 3) = cosx tg(x 4 3) = — cotgx

cos(x +=) = -sinx cotg(x +=) = —tgx

sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny

COS(X + y)= cosx.cosy = sinx.siny

su cm

4, Công thức nhân đôi :

sin2x = 2sinx.cosx L tg2x = er |

cos2x = cos’x—sin*x | cos°x = —

: en sin’x = ee

§ Céng thife biéu dién sinx, cosx,tgx theot = to :

6, Công thức nhân ba :

3tgx - tg'x

sin3x = 3sinx - 4sia x lg3x = a

1— 3\gx

` 3cosx + cos3x C0§”X =

c0§3x = 4€0§ÌX - 3cosx 4

4 3sinx - sin3x | sin'x = 2

J

(7, Công thức biến đổi :

a/ Tích thành tổng :

« cosa,cosb = 2 [ees(a — b) + cost{a + b)]

se sina.sinb «= = [cos(a — b) — cos(a + b)]

s sina.cosb = J [sin(a —b) + sin(a + b)]

2

bí, Tổng thành tích :

x+y x-y

cos ——

+V sin ~—*

e sinx + siny = 2sin S=* cos —*

se COSx + cosy = 2cos

se sinx — siny = 2cos ety sin

sintx + y) i: sin(x + y)

cosx.cosy SR SOY sinx,siny

e tox +lgy =

Đặc biệt : §ÌnX + €O§X = f2 sin(x +2) = £2 cosx - =)

sinx — cosx = V2 sinix-=) = — f2 cos(x + 7)

1 = sin2x = (sinx + cosxy

H, Phương trình lượng giác :

1 Phương trình cơ bản :

X= %-a + K2n

(keZ) Đặc biệt: sinx=1 <= k= 2 +KeR ; sinx=-1 & x=—2 + kêt

sinx=0 = x=kKa

X-u +k2%

X=—a +Kên

Đặc biệt: cosx s1 <> x = k2n ¡ ©OSX = =Í $> Xe nñ+ Kk2x

CO0SX =0 {+ x= 5 +kn bí(, CO§X= CoSữ = | (keZ)

cl, tox = tga c; x=d+kx (keZ)

dí cotgx = cotga ‹+ Xxz=a+kx (kcZ)

2 Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác :

Cách giải : Đăt t= sinx (hoặc cosx, tgx, co!gx) ta có phương trình

a,t” + an ¿t°Ì+ + ao = OD

Nếu † = coax hoặc ! - sinx thi có điếu kện -1< t <1

3 Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx :

a.sinx + b,CosSX = € a.bz0

Điều kiện có nghiệm: aŸ+b? >zc?

Cách giải - Chia 2 vế phương trình cho da” +b® va sau đó

đưa về phương trình lượng giác cơ bản

4, Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx :

a.sinx + b.sinx.cosx + c.cos°x = 0

Cách giải :

Xét cosx =0 <> x = + kx có phải là nghiệm không?

Xét cosx £ 0 chia 2 vẽ cho cosx vả đặt † = tgx

5, Phương trình dạng : | a.(sinx + cosx) + b.sinx.cosx = ¢

Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = ¥2sin(x 4) ‘ ~f2<1</2

=> SỈnX.COSX ~= (hoặc sinx.cosx = "`

và giải phương trình bậc hai theo t

Í HII, Hệ thức lượng trong tam giác :

1 Dinh ly ham sé cosin: | a? = b* + co? — 2becosA

b* = a* + c* — 2ac cosB

c* = a*® + b* — 2ab cosC

sinA sinBR sinC

3 Công thức tính độ dài trung tuyến :

_JP+cC 4* |aá+c b fateh? c

1 1 1

1 1

S= a0c.sinA =<

abc

S= pr S =

S = /p(p — a)(p —_b)(p—c)

ac,sinB = 2 ab.sinC

BAO HAM VA Tich PHAN

i1, Đạo hàm :

ey Sees 1) u'

(simx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu

=—wu’,sinu

= u’

cos*u

(e* )*

(tog, x)'= x.Iina (Ieg,u) u.Ina

II Bảng các nguyễn hàm :

Jox=x+C fatax=4_+¢ |

Ina

Íx“dx == 4G (m # =1) Ícosxdx = gBinx + ©

œ + Ì

sin* x

Chú ý : Nếu [!@)dx =F(x)+© thì Ífax~b)dx = —F(ax + b) +C

HH, Điện tich hình phang ~ I he tich vat the tron xoay :

s Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng

® Chọn công thúc để !ính diện tích

b

S = fly.—veldx | "eee | S= Ïx, —x,h

3

® Chọn công thúc dé tinh thể tích :

- Hình phẳng quay quanh Ox : | = “Ì|y? —yi|dx

®

- Hình phang quay quanh Oy: | y — ~Í|x? - xã|dy

e

« Biến x th\ cận là xa; x«b cho trong giả thiết hoặc

hoành đệ các giao điểm

Biến y thì cân lâ y=c; y=d cho trong giả thiết hoặc

tung độ các giao điểm

I Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng :

AB = (a,; 82), AC =(b,;b,) > Shane = s|ab; ~ a;b,

1 Đường thẳng :

a Phương trình đường thắng Á :

- Phương trình tổng quát : Ax + By+© =0

( vectơø pháp luyến fï = (A;B) ; A?+B”z0)

si : X =X, eat

(t<R)

(vectd chỉ phướng Ứ = (a;b) và qua điểm M(x¿ yạ) )

- Phương trình chính tắc : 7 = chức

=1

- Phương trình đoạn chắn : = +

(A qua A(a ; 0) ; B(0:b)) o|<

b,„ Góc 2 (0° = 0 < 90°) giữa hai đường thẳng :

Ax + By + C =0 và Ax + By + C'=0

rin |AA' + B|

In||n| ýA?:8?.VA?:8”

c„ Khoảng cách từ điểm Mạ(x¿;y;) đến đường thẳng Â:

da) = Bvt

A°+B?

d, Phương trình đường phân giắc của góc tạo bởi hai đường thẳng :

COS® =

VA? + 8? 4A" + B®

© Hai diém M(x),¥:), M'(Xe, ye) nam cùng phía so với A

=> t;.te >O

Hai điểm M(x:,y:} M'(x;¿.y;) nằm khác phía so với A

c^ t:.t; <0

(: _ Âx+By+C t< AM th ĐÓ) m—— an „ah

2 Đường tròn :

- Phương trinh đường tròn :

Dạng 1 : Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R

(x — a) + (y —by’ = AR?

Dạng 2: Phương trình có dạng ( xỶ + y”— 2ax— 2by + 6 -0

với điểu kiện a” + b° —c > 0 là phương trình đường tròn (C) có

tâm I(a;b) va ban kinh R= va? +b? —c

- Phương tích của một điểm M.{xa;y;) đối với một đường trên :

Pưuc, =Xe” + Vo”— 2ãXs—2bys + €

' 3 Elip : x’?

* Phuong trinh chinh tac Elip (E) Tiên (a>b) ; cẪẪẰ= a”-b

sIiêuđểm : F(-c;0) F;(c:0)

® Đỉnh trục lớn: Ad-a;0) , A;(a:0)

ø Đỉnh trực bé : B,(0;-b) , B;(0;b) ; Tâm sai: e=—

e Phương trình đường chuẩn : xX = i

» Phuong trinh tiép tuyén ella Elip tal M{xo: yo) e(E) + + + -1

s Điểu kiện tiếp xúc của (E) vẻ (Á) : Ax + By + C©€ = 0

A*a* + B*b* = C*

4, Hypebol :

* Phương trình chính tắc Hypebol (HỊ - - 1| €=&ˆ+t'

* Tiêu điểm : Fi{-c; 0) - F;(c:0)

s Đỉnh :A(-a:0), A:s(a:0) : Tâm sai: e -

® Phương trình đường chuẩn: | x = eo

+ Phương trình tiệm cận ; ys tx

; |XX YXạuy _

se Phương trình tiếp tuyến của Hypebol tại M(x¿ ; yo}= (H): ae 1

s Điếu kiện tiếp xúc của (H) và (Â): Ax + By+ C=0

A’a’ — B’b’ = C* | (C#0)

5, Parabol :

® Phương trình chính tắc của Parabol : (P): y`= 2px

° Tiêu điểm : F( = ¡ 0) ¡ ® Phương trinh đường chuẩn : neat

® Phudng trinh tép tuyén voi (P} tai M (Xs Yole(P): | Yoy = P(x) + x)

® Điều kiện tiếp xúc của (P) và (Á): Áx + By+C =0 | 2AC = B’p

IL, Phuong pháp tọa độ trong không gian :

1 Tích có hướng hai veetở ;

wy

xs

x y

xy’

a Binh nghia; u = (x;y;z} và V = (x:y;Z)

yz|

(ú,VỊ -| y zÍ

| = Íy#—zy'; zX—X#'; xy yx’)

b, Các ứng dụng :

e ñÿ cùngphương <> |UV|

e ủVW đổngphẩng <> |Ú,V|.W =

nb |

<|

1

e ABCD [Alu dién = | AB, AC|.AD = mz0: Mines = sim

2 Mặt phẳng :

8 Phương trình mặt phẳng (0);

~- Phương trinh tổng quát : Ax + By+Cz+D=0

na(A:B;C) (A1+8?+C'!«0)

XỔ Ty

- Phương trình đoạn chắn : tpn

( (a) qua A{a;0;0) ; B(O;b;0) ; C(0;0;c))

b, Góc giữa hai mặt phẳng :

(a) : Ax +By +Cz +D =0 (B) : Ax+ By +Cz+DÐ'=0

fn AA' + BB + CC|

In{.|n| ị ýVA? :BẺ ,ỠC? 4A2 ¿ BẺ ¡ C#

c, Khoảng cách từ điểm M;(x;: V; : Z;} đến mặt phẳng (o) :

|Ax, + By, + Cz, - Dị A? +B* +C?

d(M,(a)) =

4, Mặt cấu :

a Phương trình mặt cấu :

- Dạng † : Phương trình mặt cấu (S) có tâm 1 (a :b ;c) và bán kính R

(x—a)Ÿ+(x—b)Ỷ+ (x—c)Ỷ = RỶ

- Dạng 2 : Phương trình có dạng :

x+y’ + z— 2ax — 2by — 2cz + d =0

với điều kiện a” + bf + c°Ằ—d > 0 là phương trình mặt cầu (S)

có tâm l (a;b; e) và bán kính 8 ~(a! +b° + c7—d

b, Sự tương giao giữa mặt cấu và mật phẳng :

® d{(ø)<R ‹z (ø) giao (S) theo đường tròn (C)

i‘ —a)’ + (x—b)’ + (x—c)? = RẺ

- Phương trinh (C) :

NGYRỀU" |ÍayspysQ+Ð<0

- Tâm H của (C) là hình chiếu của tắm L(a ;b;c) lên mắt phẳng (o)

- Bán kính của (C) : r= jRÊ ~ IHÊ

se đ(L(2))=f (ø) tiếp xúc với (S)

sđ(L(ø)>R + (ø) ¬ (9) = Ó

(a+bj"= C?a" + CJa~b + C?a”'b? + + C?Ð" = Ÿ`CƑa”*b

ko

k=90

(1-xy" = C8 = Cx + C8? — + EHX = SENchx'

k=0

Tính chất: | C?'=C? =1 | C}=CŒ?* | CE+CK=CK,,

n!

ae er: on = nk)! One) ali

\

3, Đường thẳng :

a, Ba đạng phương trình của đường thẳng :

® Phương trình tham số của À qua Ma(x;:ya; zo} và

x=x, tai y=y,+bt | (tcR)

z=Z, +

có vectơ chỉ phương U = (a;b;c) ;

® Phương trình chính tắc : —_— - rh —

® Phương trình tổng quát: | (Âx +By +©z +Ð =0

A'x+ By +C'z+D'=0 (với A:B: C ø A':B':C')

b, Góc giữa hai đướng thằng :

jaa) | |aa' + bb' +cc|

lũ||ữ|[ -a?-?+c? Va2+b2- c2

€, Khoảng cách từ A đến đường thẳng A (A có viep Ù và qua M) :

ea ae

d Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :

À có vtcp ú và quaM ; À có vicp Ý và qua M'

läi.MM |

|iữ#i|

e, Góc giữa đường thẳng A và mặt phẳng (s) :

|ñ.ủ _ |Aa + Bb + Ce}

ln||l0|[ VA?+B?+c?xa?+b?+c?

d(A,A') =

sing =