Tài liệu kinh tế lượng.pdf

Chia sẻ tài liệu môn Kinh tế lượng.

Tiết 1 Chương 1

Đối tượng và phương pháp của kinh tế lượng

I Khái niệm về kinh tế lượng

Cho đến nay chưa có một định nghĩa về kinh tế lượng được mọi người cùng chấp nhận Thuật ngữ tiếng Anh “Econometric” được ghép từ “Economic” có nghĩa

là kinh tế và “Metrics” có nghĩa là đo lường Thuật ngữ này được xuất hiện vào những năm 1930, do hai giáo sư là Ragnar Frisch và J.Tinbergen đưa ra (1930)

Kinh tế lượng có nghĩa là đo lường kinh tế Mặc dù đo lường kinh tế là một nội dung quan trọng của kinh tế lượng nhưng phạm vi của kinh tế lượng rộng hơn nhiều Điều này được thể hiện thông qua một số định nghĩa về kinh tế lượng như sau:

Kinh tế lượng là môn học chủ yếu trong các môn phân tích định lượng về kinh tế, đơn giản có thể phát biểu kinh tế lượng là một công cụ trong nghiên cứu các hiện tượng kinh tế

Kinh tế lượng có thể được định nghĩa như một môn khoa học xã hội trong đó người ta dùng các công cụ của lý thuyết kinh tế, toán kinh tế và thống kê kinh tế để phân tích các hiện tượng kinh tế

Câu hỏi đặt ra là tại sao ta phải nghiên cứu kinh tế lượng? Những lý thuyết hoặc giả thiết kinh tế thường phát biểu dưới dạng đặc tính Ví dụ: trong kinh tế vĩ mô ta biết rằng khi các yếu tố khác không đổi thì tăng giá một hàng hoá nào đó sẽ làm giảm lượng cầu của hàng hoá đó Như vậy, lý thuyết kinh tế đưa ra mối quan

hệ ngược chiều giữa giá cả và lượng cầu hàng hoá, đây chính là luật cầu Nhưng lý

thuyết trên không cho biết thước đo độ lớn của mối quan hệ và đây chính là công việc của kinh tế lượng

II Mối quan hệ giữa kinh tế lượng và các môn khoa học liên quan

1 Kinh tế lượng với lý thuyết kinh tế

Lý thuyết kinh tế thường đưa ra những nguyên lý hay giả thiết mang định tính, không đi sâu nghiên cứu về mặt lượng hoá các vấn đề kinh tế

Chẳng hạn trong kinh tế học đưa ra mối quan hệ phụ thuộc của tổng cầu của một hàng hoá phụ thuộc vào các yếu tố như: Thị hiếu, kỳ vọng, thu nhập của người tiêu dùng…và chỉ ra được mối quan hệ đó là cùng chiều hay ngược chiều

Còn kinh tế lượng dựa vào lý thuyết kinh tế nhưng đồng thời đưa ra cụ thể con số ước lượng để đo mối quan hệ Thật vậy kinh tế lượng sẽ giúp ta trả lời các câu hỏi như: khi thu nhập của người tiêu dùng tăng 1% hay giá hàng hoá tăng lên 1

đơn vị thì lượng cầu thay đổi là bao nhiêu?

2 Kinh tế lượng và toán kinh tế

Toán kinh tế nghiên cứu và đưa ra mô hình toán học (ví dụ mô hình phản ánh hàm cầu: Q = a + bP với b < 0) Mô hình này có 2 nhược điểm:

Nó tuyệt đối hoá mối quan hệ giữa giá và lượng cầu

Không cho biết cụ thể mối quan hệ giữa a, b như thế nào

Còn kinh tế lượng chủ yếu quan tâm đến kiểm định về mặt thực nghiệm lý thuyết kinh tế Và kinh tế lượng thường sử dụng các phương trình toán học do các nhà toán kinh tế đề xuất và đặt các phương trình dưới dạng phù hợp để kiểm định bằng thực nghiệm

3 Kinh tế lượng và thống kê

Thống kê quan tâm tới việc tổ chức thu thập tài liệu, xử lý số liệu, xây dựng biểu bảng Những số liệu này thường số liệu thô đối với kinh tế lượng Thống kê kinh tế không đi xa hơn, không liên quan đến việc sử dụng số liệu để kiểm tra các giả thuyết kinh tế Kinh tế lượng luôn kiểm tra các lý thuyết kinh tế thông qua các công cụ và phương pháp của thống kê

Các số liệu kinh tế là các số liệu không phải do các cuộc thí nghiệm đem lại, chúng nằm ngoài sự kiểm soát của tất cả mọi người Các số liệu về tiêu dùng, tiết

kiệm, giá cả… do các cơ quan nhà nước hoặc tư nhân thu thập đều là các số liệu phi thực nghiệm Các số liệu này chứa sai số của phép đo Kinh tế lượng phải sử dụng các công cụ, phương pháp của thống kê toán để tìm ra bản chất của các số liệu thống kê

III Phương pháp luận của kinh tế lượng

Phân tích kinh tế lượng bao gồm một số giai đoạn sau:

1 Đưa ra lý thuyết hay giả thiết về các mối quan hệ giữa các biến số kinh tế Chẳng hạn kinh tế vĩ mô khẳng định rằng mức tiêu dùng của các hộ gia đình phụ thuộc theo quan hệ cùng chiều với thu nhập khả dụng của họ

2 Dựa vào mối quan hệ giữa các biến và mục tiêu nghiên cứu để xây dụng mô hình toán học phản ánh được mối quan hệ này Chẳng hạn:

C=C0 + bY (0<b<1; C0 >0 ) ở đây C là tiêu dùng của hộ gia đình trong một thời kỳ; Y là thu nhập của hộ gia đình

3 Thu thập số liệu

4 Ước lượng các tham số của mô hình kinh tế lượng đã lựa chọn

5 Kiểm định hay trắc nghiệm các giả thiết từ mô hình

6 Dự đoán hay dự báo

7 Sử dụng mô hình để đưa ra các gợi ý chính sách

Trong mô hình toán học ta thấy rằng mối quan hệ giữa Q và P là hoàn toán toán học hay chính xác Tuy nhiên trong thực tế luật cầu không phải hoàn toàn chính xác như vậy Lượng cầu còn chịu ảnh hưởng rất nhiều của yếu tố khác Do đó người ta đưa vào trong mô hình một sai số ngẫu nhiên u

Q = B1 + B2P + u Mô hình trên gọi là mô hình kinh tế lượng, cụ thể mà mô hình hồi quy tuyến tính

Bước 6:

Dự báo và dự đoán Giả sử từ mô hình tìm được người bán muốn tìm xem lượng cầu tại mức giá là 2 (2000đ/quyển) Thay vào mô hình, ta tìm được Q = 45,35 đơn vị Như vậy tại mức giá P = 2 thì người bán có thể bán được 45 đơn vị

Bước 7:

Với mô hình đã được xây dựng như vậy doanh nghiệp cần cân nhắc việc tăng giá để tăng doanh thu, việc làm này sẽ làm cho doanh thu giảm đi do lượng cầu sẽ giảm

Tiết 2 Chương 2

Phân tích hồi quy tuyến tính giản đơn

I Giới thiệu mô hình hồi quy

1 Khái niệm về hồi quy (Regression)

Phân tích hồi quy là gì ? Hồi quy hay phân tích hồi quy liên quan đến việc mô tả và đánh giá mối quan hệ giữa một biến đã cho (thông thường gọi là biến phụ thuộc (dependent variable) hoặc biến được giải thích (explained variable)) và một hay nhiều biến khác (thông thường gọi là biến độc lập (independent variables) hay biến giải thích (explanatory variables) Trong lĩnh vực kinh tế có rất nhiều hiện tượng được phản ánh bằng mô hình hồi quy

Ví dụ: Khi nghiên cứu sự phụ thuộc của chi phí tiêu dùng cá nhân vào thu nhập thực tế của cá nhân, ta có mô hình hồi quy sau:

i 2 1

Mô hình (2.1) mô tả mối quan hệ giữa chi phí cho tiêu dùng (Yi) và mức thu nhập (Xi) trong mô hình trên, biến Yi - chi phí tiêu dùng cá nhân là biến phụ thuộc; biến Xi - mức thu nhập là biến độc lập

Một ví dụ khác, mối quan hệ giữa lượng cầu hàng hoá (được kí hiệu là Yi) và giá cả hàng hoá đó (được kí hiệu là Xi) cũng có thể được mô tả như mô hình (2'.1)

i 2 1

Trong phân tích hồi quy mối quan hệ giữa biến phụ thuộc và biến độc lập không phải là quan hệ nhân quả Nghĩa là không phải lúc nào biến độc lập (Xi) cũng là nguyên nhân gây ra hiệu ứng hay sự thay đổi của biến phụ thuộc (Yi) Nếu

điều đó xảy ra thì nó cần được gắn với một lý thuyết kinh tế cụ thể Giả sử với ví dụ thứ hai ở trên thì luật cầu được phát biểu như sau nếu như các yếu tố khác không

đổi thì lượng cầu của một hàng hoá nào đó phụ thuộc vào hay có quan hệ ngược với giá cả hàng hoá đó Nghĩa là hệ số B2 trong mô hình (2.1') sẽ mang dấu âm

Mục tiêu của việc phân tích hồi quy là:

+ Ước lượng giá trị trung bình của biến phụ thuộc với những giá trị của biến

+ Dự báo giá trị của Y với sự thay đổi của X

+ Kiểm định các giả thiết kinh tế Ví dụ chúng ta kiểm định giả thiết đối với mô hình (2.1') là độ co dãn giá của cầu là -1, hay là đường cầu có độ co dãn đơn vị Nghĩa là giá của hàng hoá tăng 1%, lượng cầu giảm 1% với các yếu tố khác không

đổi

Các mục tiêu nghiên cứu này phải được quán triệt trong các mô hình hồi quy

và phân tích hồi quy có thể kết hợp 1 hay các mục tiêu trên

2 Phân biệt các mối quan hệ trong mô hình hồi quy

a Phân biệt giữa quan hệ chính xác (quan hệ toán học) và quan hệ thống kê ngẫu nhiên

+ Giả sử chúng ta có mối quan hệ giữa X và Y dưới dạng hàm số Y = f(X) hay Y là hàm số của biến X Đây là mối quan hệ hoàn toàn mang tính chất toán học Tức là ứng với một giá trị của X, ta có một giá trị tương ứng chính xác của Y

+ Trong trường hợp quan hệ của X và Y được biểu diễn dưới dạng: Y = f(X) + u (trong đó u là sai số ngẫu nhiên), thì mối quan hệ này phản ánh mối quan hệ thống kê ngẫu nhiên giữa X và Y

Nếu sai số u là phân phối liên tục (phân phối chuẩn) với giá trị bình quân của

u bằng 0{E( )u = 0} và phương sai của nó bằng 1, thì với mỗi giá trị của X, chúng ta

có một phân phối chuẩn các giá trị của Y Vì vậy công thức (2.3) thể hiện mối quan

hệ thống kê ngẫu nhiên giữa X và Y

Trong phân tích hồi quy, chúng ta chỉ giải quyết mối quan hệ thống kê ngẫu nhiên Vì mối quan hệ chính xác (toán học) không phải lúc nào cũng có trong thực

tế, nhất là trong kinh tế Sự xuất hiện sai số (u) trong các mô hình phản ánh mối quan hệ kinh tế là do:

+ Số mẫu điều tra không đủ để miêu tả toàn bộ tổng thể cần nghiên cứu

+ Mô hình hồi quy được chọn không bao gồm đầy đủ các biến (các yếu tố) giải thích hiện tượng kinh tế cần nghiên cứu

Ví dụ: Khi nghiên cứu năng suất lúa phụ thuộc vào các yếu tố lao động, phân bón, chúng ta đã không đưa vào mô hình các biến phản ánh ảnh hưởng của thời tiết, khí hậu

+ Sai số cũng xuất hiện là do có sai số trong đơn vị đo hoặc làm tròn số

+ Số liệu điều tra mẫu thường có sai số vì sự trả lời thiếu đầy đủ và chính xác của người được điều tra

+ Số liệu điều tra từ các cơ quan thống kê thường có sai số do ghi chép và tính toán

b Phân biệt giữa quan hệ hồi quy và quan hệ nhân quả

Mặc dù phân tích hồi quy đi sâu nghiên cứu sự phụ thuộc của một biến vào các biến khác, nhưng nó không có nghĩa là từ đó rút ra quan hệ nhân quả Một tương quan thống kê dù mạnh tới đâu cũng không thể nào tạo ra một mối quan hệ nhân quả Các mối quan hệ nhân quả thường được suy ra từ một lý thuyết riêng biệt nào đó

Ví dụ: Năng suất cây trồng trong phân tích hồi quy (tương quan), chúng ta xác định nó phụ thuộc vào sự phân bố lượng mưa trong năm Nhưng chúng ta không thể từ mối quan hệ đó để suy ngược lại thành mối quan hệ nhân quả là sự phân bố lượng mưa phụ thuộc vào năng suất cây trồng

c Phân biệt giữa hồi quy và tương quan

Phân tích tương quan và hồi quy có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, song có

sự khác biệt về mặt quan niệm

Trong phân tích tương quan (correlation analysis) mục đích chính là do mức

độ quan hệ tuyến tính giữa hai biến hoặc nhiều biến Hệ số tương quan (correlation coefficient) đánh giá mức độ quan hệ tuyến tính giữa các biến X và Y Trong phân tích tương quan không có sự phân biệt giữa biến độc lập và biến phụ thuộc, cả 2 biến đều giả thiết là 2 biến ngẫu nhiên

Trong phân tích hồi quy (regression analysis) chúng ta ước lượng hoặc dự

đoán giá trị bình quân của một biến trên cơ sở biết giá trị cố định của các biến khác Trong phân tích hồi quy người ta phân biệt được biến độc lập và biến phụ thuộc, trong đó biến phụ thuộc được giải thích là một biến thống kê ngẫu nhiên (statistical or stochastic variable) Tức là có một phân phối thống kê Mặt khác, các biến giải thích được giả thiết là có giá trị cố định trong các cách chọn mẫu lặp lại

Tóm lại: Hầu hết lý thuyết tương quan đều dựa trên giả thiết ngẫu nhiên của các biến, trong khi đó hầu hết các lý thuyết hồi quy lại dựa vào giả thiết là biến phụ thuộc là biến ngẫu nhiên có đặc tính thống kê (có phân phối thống kê), còn các biến độc lập lại là các biến cố định

Tiết 3 Chương 2 (tiếp)

Phân tích hồi quy tuyến tính giản đơn

I Giới thiệu mô hình hồi quy

1 Khái niệm về hồi quy (Regression)

2 Phân biệt các mối quan hệ trong mô hình hồi quy

II Số liệu trong phân tích hồi quy

* Số liệu sử dụng trong phân tích kinh tế thường là số liệu thu thập từ các cơ quan Nhà nước, các tổ chức quốc tế, các tổ chức tư nhân hoặc từ cá nhân thông qua các phương pháp điều tra khác nhau phục vụ cho các mục tiêu nghiên cứu khác nhau

* Số liệu thí nghiệm được thu thập thông qua các thí nghiệm khoa học tự nhiên Thông thường các nhà nghiên cứu thu thập số liệu bằng cách giữ một số nhân tố cố định để xem xét ảnh hưởng của một yếu tố nào đó

* Số liệu thu thập từ các hoạt động kinh tế xã hội (ngoài thí nghiệm) Số liệu này nằm ngoài sự kiểm soát của nhà nghiên cứu Đây là đối tượng chủ yếu của kinh

tế lượng

* Thông thường có 3 loại số liệu cho phân tích kinh tế lượng

1 Số liệu theo dãy số thời gian (Time Series Data)

Là các số liệu thu thập được theo thời gian (ví dụ: tổng sản phẩm quốc dân qua các năm (GDP), giá cả qua các năm, vốn đầu tư qua các năm, ) Những số liệu này có thể là số liệu định lượng (như: chính sách giá, chính sách xuất khẩu, tính chất của một chỉ tiêu nào đó như nam hay nữ, có việc làm hay không có việc làm )

2 Số liệu theo dãy số thời điểm (Cross - Section Data)

Loại số liệu được thu thập tại một thời điểm nhất định (ví dụ: điều tra về năng suất và chi phí cho sản xuất lúa vụ chiêm 1998, hoặc giá cả tại một thời điểm nhất định )

3 Tập hợp dãy số thời điểm và thời gian (Pooled Data)

Loại số liệu này có đặc điểm của cả số liệu theo dãy số thời gian và dãy số thời điểm

Nếu chia theo tính chất, ta có số liệu định lượng (thu thập, giá cả, năng suất, mức đầu tư phân bón ) và số liệu định tính (tôn giáo, giới tính, màu sắc, chính sách )

Số liệu sử dụng cho phân tích phải đảm bảo các nguyên tắc sau: Đầy đủ, chính xác, hợp lệ, và phù hợp với mục đích nghiên cứu

Để đạt được các nguyên tắc trên cần chú ý các vấn đề sau:

- Chuẩn bị tốt biểu mẫu điều tra bao gồm biểu điều tra, chỉ tiêu điều tra và các câu hỏi trong điều tra đảm bảo tính đơn giản, khoa học và thuận lợi cho cả người điều tra và người được điều tra

- Chọn số mẫu điều tra: Số mẫu điều tra phải đủ lớn và đại diện cho tổng thể, mẫu phải miêu tả được các nội dung chủ yếu của tổng thể, tránh sai số lớn trong chọn mẫu

- Tổ chức công tác điều tra tốt: chọn thời điểm điều tra, trình độ chuyên môn của người làm công tác điều tra, đảm bảo tính khách quan và chính xác khi thu thập

số liệu

- Kiểm tra và chỉnh lý số liệu điều tra: Số liệu điều tra phải được kiểm tra lại

để phát hiện những điều bất hợp lý trong quá trình điều tra để chỉnh lý kịp thời

- Số liệu phải được tổng hợp tốt tránh sai sót khi tính toán

III Hàm hồi quy tổng thể và hàm hồi quy mẫu

1 Hàm hồi quy tổng thể (Population Regression Function, PRF)

Trở lại ví dụ về cầu một hàng hoá, ta thấy rằng luật cầu phản ánh quan hệ ngược chiều giữa lượng cầu và giá cả hàng hoá đó với điều kiện các yếu tố khác (thu nhập của người tiêu dùng, sở thích của họ, giá cả của các hàng hoá liên quan, ) không đổi Giả sử chúng ta có 1 thị trấn nhỏ độc lập với 55 người tiêu dùng (nghĩa là tổng thể chỉ có 55 đơn vị) và có số liêụ về cầu một loại sổ viết như bảng 2.1

Qua bảng 2.1, ta có thể thấy tại mức giá Xi = 1 (đơn vị là 1000đ/1 quyển) có 7 người tiêu dùng, số lượng họ mua dao động từ 45 đến 51 quyển và lượng cầu bình quân của 7 người này là 48 Tại mức giá Xi = 4, có 6 người tiêu dùng, lượng cầu Yidao động từ 35 đến 47 quyển và lượng cầu bình quân của 6 người này là 42 quyển Tương tự ta cũng có số liệu cho các mức giá khác Tóm lại nếu với mỗi mức giá Xi ta

như sau: E(Y/X=Xi) = Σ(Yi P(Y=Yi/X=Xi) Như vậy giữa Xi và Yi có quan hệ hàm

số, như vậy ta viết: E(Y/X=Xi) =f(Xi) (2.4)

Từ đó ta gọi (2.4) là hàm hồi quy tổng thể, kí hiệu là PRF (Population Regression Function) Hàm hồi quy tổng thể phản ánh mối quan hệ giữa giá trị trung bình của các biến phụ thuộc với biến độc lập Nếu hàm hồi quy tổng thể có một biến

độc lập thì được gọi là hàm hồi quy đơn, có nhiều hơn một biến độc lập thì được gọi

là hàm hồi quy bội

Bảng 2.1 Biểu cầu về sổ viết ở một thị trấn độc lập như sau

Giá cả, X i

(1000đ)

Lượng cầu, Y i (quyển)

Số người tiêu dùng (người)

Lượng cầu Y trung bình (quyển)

Hình 2.1 Đồ thị phân tán của tổng thể trình bày mối quan hệ

giữa Lượng cầu và giá

Phương trình (2.5) phản ánh trị trung bình hay kỳ vọng của Y(E(Y | Xi) )

tương ứng hay điều kiện một giá trị nào đó của X Ví dụ: E(Y | Xi = 2)= 46 Như vậy

đường PRL là đường đi qua các giá trị trung bình có điều kiện của Y Phương trình

được biểu diễn như phương trình (2.5) người ta gọi là hàm hồi quy tổng thể (PRF)

β1 và β2 được gọi là các tham số hay hệ số hồi quy β1 là hằng số (Intercept) và β2

là hệ số góc (Slope Coefficient), nó là thước đo sự thay đổi trung bình của Y khi X thay đổi 1 đơn vị

Với X = 1, thì trị trung bình của Y là 48, nếu ta chọn ngẫu nhiên 1 trong số 7 người tiêu dùng ở nhóm này, ta thấy rằng lượng cầu của người đó không chắc đã bằng 48 (người đầu tiêu chỉ có 45, người cuối cùng lại là 51) Ta sẽ giải thích như thế nào về lượng cầu của từng người liên quan đến một mức giá nào đó ? Để trả lời câu hỏi này và để phản ánh lượng cầu của từng người, ta sẽ cộng thêm hay bớt đi một lượng từ lượng bình quân của nhóm đó Mô hình toán học như sau:

i i 2 1

Y = β + β + (2.6)

Trong đó: ui là sai số ngẫu nhiên (Stochastic or Random Error Term) hay

đơn giản ta gọi là sai số

PRL

Tiết 4 Chương 2 (tiếp)

Phân tích hồi quy tuyến tính giản đơn

I Giới thiệu mô hình hồi quy

1 Khái niệm về hồi quy (Regression)

2 Phân biệt các mối quan hệ trong mô hình hồi quy

II Số liệu trong phân tích hồi quy

III Hàm hồi quy tổng thể và hàm hồi quy mẫu

1 Hàm hồi quy tổng thể (Population Regression Function, PRF)

2 Bản chất của sai số trong hàm hồi quy

Một cách tổng quát, giả sử chúng ta đã biết hàm hồi quy tổng thể E(Y/Xi) Vì E(Y/Xi) là giá trị trung bình của biến Y đã biết, cho nên các giá trị cá biệt Yixoay xung quanh E(Y/Xi) Kí hiệu ui là chênh lệch giữa các giá trị Yi và trung bình E(Y/Xi) của chúng, ta có:

Yi=E(Y/Xi) + ui hay Yi=f(Xi) + ui, ta suy ra ui=Yi - E(Y/Xi), và ui được gọi

là yếu tố ngẫu nhiên hay sai số

Trong phân tích hồi quy ta có một số giả thiết đối với sai số ui như sau:

+ E(ui) = 0

+ Var (ui) = E(ui)2 = σ2

+ Cov (ui, uj) = 0 với i ≠ j

+ Giá trị nhỏ của ui xuất hiện với tần suất cao hơn giá trị lớn của ui

+ ui tuân theo phân bố chuẩn (u ~ N (0, σ2)

Sai số đóng một vai trò cực kỳ quan trọng trong phân tích hồi quy, bản chất của sai số ui có thể tóm tắt như sau:

+ Sai số ui phản ánh ảnh hưởng của những biến khác không được đưa vào trong mô hình Trong ví dụ của chúng ta nó có thể là ảnh hưởng thu nhập của người tiêu dùng, giá cả của hàng hoá cạnh tranh,

+ Trong trường hợp chúng ta đã đưa tất cả các biến hợp lý vào trong mô hình thì một sai số ngẫu nhiên nào đó vẫn xảy ra và ta không giải thích được ví dụ như hành vi của con người hay hành vi người tiêu dùng trong ví dụ trên

+ Sai số có thể phản ánh sai sót trong đơn vị đo hay khi thu thập dữ liệu Ví

dụ khi ta làm tròn số

+ Khi xây dựng mô hình ta thường cố gắng làm sao càng đơn giản càng tốt,

điều đó sẽ làm cho một biến nằm ngoài mô hình Mặc dù ta đã phán đoán được ảnh

hưởng của các biến này Tuy nhiên ảnh hưởng cộng hưởng của chúng có thể rất nhỏ

và nó ở trong sai số

3 Hàm hồi quy mẫu (Sample Regression Function - SRF)

Làm thế nào để ước lượng được hàm hồi quy tổng thể PRF? Nghĩa là làm thế

nào chúng ta ước lượng được các giá trị của β1 và β2 ? Điều đó có thể được nếu

chúng ta có dữ liệu đầy đủ của toàn bộ tổng thể như bảng 2.1 Trong thực tế ta

không thể nào thu thập được số liệu cho toàn bộ tổng thể mà chúng ta chỉ có thể có

số liệu của một mẫu đại diện cho tổng thể đó Do đó nhiệm vụ của chúng ta là ước

lượng hàm hồi quy tổng thể PRF trên cơ sở những thông tin từ mẫu

Hàm hồi quy được xây dựng trên cơ sở một mẫu ngẫu nhiên được gọi là hàm

hồi quy mẫu (SRF) hay hồi quy mẫu

Bảng 2.2: Một mẫu ngẫu nhiên thứ nhất

từ tổng thể (bảng 2.1)

Bảng 2.3: Một mẫu ngẫu nhiên thứ 2 từ tổng

thể (bảng 2.1)

Giả sử số liệu về biểu cầu ở bảng 2.2 và 2.3 là những mẫu ngẫu nhiên Khác

với bảng 2.1, ở đây ứng với mỗi giá trị của X, ta cũng chỉ có 1 giá trị tương ứng của

Y Trên cơ sở số liệu ở 2 bảng 2.2 và 2.3., liệu chúng ta có thể ước lượng được hàm

hồi quy tổng thể PRF hay không? Hay nói cách khác, chúng ta có thể ước lượng

PRF từ số liệu mẫu hay không? Hay nói cách khác, chúng ta có thể ước lượng PRF

từ số liệu mẫu hay không ? Để trả lời câu hỏi trên, ta có thể vẽ đường cầu từ số liệu

Hình 2.2 Các đường hàm hồi quy mẫu được lấy ra từ tổng thể

ứng với mỗi mẫu (số liệu) ta có thể vẽ được một đường hồi quy phản ánh xu hướng hay quy luật của dữ liệu Đường này người ta gọi là đường hồi quy mẫu (Sample Regression Line - SRL) Nếu ta có k mẫu dữ liệu thì cũng có thể vẽ được k

đường SRL Chúng ta chưa thể khẳng định chắc chắn là đường SRL nào sẽ đại diện hoàn hảo cho đường PRL bởi vì các mẫu khác nhau thì có biến động và sai số khác nhau Biểu diễn bằng mô hình toán học các đường SPL, ta có thể viết như sau:

i i 2 1

SRL2 SRL1

Hình 2.3 Phương trình Hồi quy của tổng thể và của mẫu

Từ đồ thị trên, ta có thể biểu diễn như sau:

4 Hồi quy tuyến tính

Một câu hỏi đặt ra là tại sao ta lại gọi là hồi quy tuyến tính? Mô hình hồi quy tuyến tính như mô hình (2.6) có thể giải thích nghĩa "tuyến tính" bằng 2 cách sau:

+ Tuyến tính ở các biến

Trị trung bình của biến phụ thuộc là hàm tuyến tính của biến độc lập như mô hình (2.6) và (2.7) Những mô hình sau không phải là hàm tuyến tính:

E(Y) = β1 + β2X12 hoặc E(Y) = β1 + β2(1/Xi) (2.11)

Hay nói cách khác trong mô hình hồi quy tuyến tính ở các biến, hệ số góc (∂Y/∂Xi) là hằng số, còn ở mô hình phi tuyến sẽ không có điều này

độc lập hay giải thích thì có thể không tuyến tính

Tiết 5 Chương 2 (tiếp)

IV Ước lượng các tham số - Phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS)

1 Đặt vấn đề

Giả sử chúng ta có n đơn vị mẫu điều tra (số quan sát) về mối quan hệ giữa X

và Y, chúng ta có thể xây dựng được mô hình hồi quy như sau:

i i 2 1

Y = β + β + với i = 1, 2, , n (2.13)

Đây là hàm hổi quy tổng thể Mục tiêu của chúng ta là ước lượng các tham

số chưa biết β1 và β2 trong mô hình (2.13) từ số liệu mẫu Nghĩa là chúng ta phải xác định được mô hình:

i i 2 1

Y = β + β + với i = 1,2, , n (2.14)

Trong đó: β ˆ1 và β ˆ2 là các lượng của β1 và β2; ei là ước lượng của ui

Mô hình này phải gần với mô hình thực (2.13) Có nhiều phương pháp có thể

ước lượng được các tham số β ˆ1 và β ˆ2 (OLS, MLE) Tuy nhiên ta chỉ xem xét phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS) Phương pháp này dựa trên giả thiết là tổng bình phương các phần dư là nhỏ nhất (cực tiểu) (Σe 2 min)

i →

2 Các giả thiết (assumptions)

Như trên chúng ta thảo luận, kinh tế lượng chỉ giải quyết các mối quan hệ thống kê ngẫu nhiên, trong đó sai số ui đóng vai trò quan trọng trong việc xác định giá trị của Y Để ước lượng được chính xác các tham số trên chúng ta có giả định (assumptions) sau:

(1) Kỳ vọng (hoặc giá trị trung bình) của sai số ui là bằng không:E(ui) = 0 với mọi i Điều đó có nghĩa là với mỗi giá trị của Xi ta có các giá trị của Yi, các trị

số của Yi này phân bố quanh trị số trung bình của nó, có giá trị bên trên và bên dưới đường trung bình của tổng thể

- Điều đó cũng có nghĩa là giá trị trung bình (hoặc kỳ vọng) của hàm hồi quy

được ước lượng Y là bằng với giá trị thực của nó

E

β β β

β β

β

β β

+

= +

+

= + +

=

+

=

(2) Phương sai của sai số là một hằng số (homoscedasticity)

Var (ui) = σ2 với mọi i

- Điều đó có nghĩa là sai số ui có tính đồng nhất Khi giá trị của X tăng thì giá trị của Yi (lượng cầu) cũng tăng nhưng sai số ui vẫn giữ nguyên (bằng nhau) đối với tất cả các mức Xi (giá cả)

(3) Hiệp phương sai giữa ui và uj là bằng không (nonautocorrelation)

Năm giả thiết trên người ta gọi là giả thiết của phân tích hồi quy tuyến tính

cổ điển - CLRA (Classical Linear Regression Analysis)

(6) Sai số tuân theo luật phân phối chuẩn với mọi i hay ui là độc lập và tuân theo phân phối chuẩn với giá trị bình quân của ui bằng 0 và phương sai là σ2 (ui ~ N(0, σ2))

Giả thiết thứ 6 sẽ cho việc kiểm định mô hình và các tham số hồi quy

Từ những giả thiết trên ta có thể phát triển những ứng dụng là hệ quả của các giả thiết

* Kết hợp giả thiết (1), (2) và (5) ta có E(ui, Xi)= XiE( )ui = 0; Nghĩa là sai số

ui không phụ thuộc vào độ lớn của biến X: ui ≠ f(Xi) hay Xi là biến độc lập và không có quan hệ tương quan (uncorrelated) với sai số ui

Khi đó: Cov (Xi, ui) = 0 với mọi i

* Kết hợp giả thiết (1), (2) và (3) ta có: E( )Σui = ΣE( )ui = 0; Nghĩa là giá trị của tổng sai số của mọi mẫu đều bằng nhau

( ) [ ( ) ]

( ) ( ) 2 i

2 i

2 i 2 1 i

2 i i i

σ u Var

u E

X Y

E

Y E Y E Y

Hay phương sai của Yi chính bằng phương sai của sai số ui

Dựa trên các giả định trên các tham số của mô hình (2.13) sẽ được ước lượng thông qua mô hình (2.14)

Nếu giả thiết (1) không thoả mãn, nghĩa là E(ui) ≠ 0

Giả sử E(ui) = α ≠ 0 Từ mô hình tổng thể:

i i 2 1

Như vậy nếu giả thiết (1) không thoả mãn thì ta sẽ xây dựng được mô hình mới với hằng số khác với mô hình cũ và có kỳ vọng của sai số bằng không (0)

Tiết 6 Chương 2 (tiếp)

3 Nội dung của phương pháp bình phương nhỏ nhất (Ordinary Least Squares, OLS)

Phương pháp dựa trên giả thiết rằng để có ước lượng đúng (không chệnh) các

hệ số phản ánh mối quan hệ hồi quy thì tổng sai số (phần dư) của hàm ước lượng phải là thấp nhất

Từ mô hình mẫu: Yi = βˆ1+ βˆ2Xi + ei với i = 1, 2, n (2.15)

Nghĩa là chúng ta phải lựa chọn (tìm) hai hệ số β ˆ1 và β ˆ2để cực tiểu hoá tổng bình phương phần dư hay sai số (residuals, ei)

(Y ˆ ˆ X ) min Σ

(Y ˆ ˆ X ) ( )1 0 2Σ

ˆ

Q/ ∂ 1 = i iư 1ư 2 i ư =

(Y ˆ ˆ X ) ( X ) 0 2Σ

ˆ

Q/ ∂ 2 = i iư 1ư 2 i ư i =

Phương trình (2.17) và (2.18) có 2 ẩn số, chúng ta có thể giải để tìm β ˆ 1 và 2

ˆ

β Từ 2 phương trình trên ta có thể viết như sau:

i i 2 1 i

i Y nˆ ˆ Σ X

2 i i 2 i i 1 i

Y

n = β +1 β2 (2.21)

⇒ βˆ1 = Y ư βˆ2X (2.22)

Thay βˆ1= Y ư βˆ2X (phương trình 2.22) vào phương trình (2.20) ta được:

i i 2 i i 2 i

i

i Y X Y ˆ X Σ X ˆ Σ X

i i 2 i i 2 i

i X ˆ X Σ X ˆ Σ X Σ

Y ư β + β

=

2 i i 2 i i i i

i Y X Y Σ X ˆ Σ X X Σ X

Giải phương trình trên:

i i

2 i i

i i i i i 2

X Σ X X Σ

X Σ Y Y X Σ

i i i 2

X n X Σ

Y X n Y X Σ ˆ

i i

i 2

X X Σ

X X Y Y Σ

Công thức (2.24) và (2.26) là như nhau Để đơn giản ta có thể viết Σi = Σ Ta

có thể biến đổi bằng cách biến đổi (khai triển) công thức (2.26) sang (2.24) hoặc từ công thức (2.24) , ta biến đổi tử số và mẫu số (cộng hoặc trừ đi một khối lượng Y

và cộng hoặc trừ đi một lượng X)

i i

i i

i 2

X X Σ

X X Y Y Σ

i i

i i

X Σ ΣX X 2 ΣX

Y X Σ ΣY X ΣX Y X

X Y n X ΣY

2

2 1 2 2

1 2 2 2 1 2

2 2

2 2 ˆ

Q/

ˆ ˆ Q/

ˆ ˆ Q/

ˆ Q/

ΣX ΣX

ΣX n

i

i

β β

β

β β β

Điều kiện là ma trận trên phải là ma trận được định nghĩa dương, nghĩa là các số hạng trên hai đường chéo của ma trận và định thức của nó phải dương Nhìn vào các số hạng của ma trận, ta thấy chúng đều dương Ta cần xét định thức của chúng:

Ví dụ: Từ số liệu về cầu một loại sổ viết ở bảng 2.2 (số liệu của mẫu), ta có thể tìm các tham số βˆ1 và β ˆ2như sau:

2 i

4 Một số đặc tính của hàm hồi quy

a Đường hồi quy ước lượng đi qua điểm trung bình của mẫu tức điểm (Y , X)

X ˆ ˆ

d Phần dư (sai số) e i không có tương quan với X i

Nếu ei không có tương quan với Xi : Cov (Xi, ei) = 0

(n 1)

e e X X Σ e , X

Định lý Gauss - Markov : Với các giả thiết của phân tích hồi quy tuyến tính

cổ điển (Classical Linear Regression Analysis - CLRA), các tham số ước lượng từ phương pháp OLS là các ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất (BLUE)

a Các tham số ước lượng là hàm tuyến tính của Y i

Từ công thức (2.24) và (2.26):

i i

i i

i i

2 i i

i i i i i 2

X X Σ

X X Y Y Σ X Σ X X Σ

X Σ Y Y X Σ

i i i 2

x Σ

y x Σ

ˆ =

β với xi =(Xiư X) và y =(Yi ư Y)

i i

i

x Σ

x

Ta biết rằng Xi là biến cố định (biến phi ngẫu nhiên), do đó ci là hằng số nghĩa là ci không phải là biến ngẫu nhiên Như vậy β ˆ 2 (công thức 2.29) là ước lượng tuyến tính

b Ước lượng của các tham số là ước lượng không chệch (unbiasedness)

Điều đó có nghĩa là giá trị trung bình (kỳ vọng) của tham số ước lượng là gần với giá trị thực của nó

i i i i

i 2

i i

i i

i 2

X X Σ

Y X X Σ Y X X Σ X

X Σ

X X Y Y Σ

i i 2 1 i

i 2 i i

i i

i

X X Σ

u X X

X Σ X X

Σ

Y X X

Σ

−

+ +

i i i i i

i 2 i

i 1

X X Σ

u X X Σ X X X Σ X

X Σ

−

− +

− +

i i i 2

2

u E c Σ

u c Σ E E

ˆ

E

β β

β β

Ta kÕt luËn r»ng tham sè −íc l−îng β2 lµ −íc l−îng kh«ng chÖch cña β2

c Tham sè −íc l−îng lµ tèt nhÊt hay ph−¬ng sai (Var (β ˆ2)) lµ nhá nhÊt:

Ph−¬ng sai cña c¸c tham sè lµ nhá nhÊt gi÷a c¸c lo¹i tham sè hay tham sè

®−îc −íc l−îng lµ tèt nhÊt

Chøng minh: Theo ph−¬ng ph¸p b×nh ph−¬ng nhá nhÊt ta cã :

( ) [ ( ) ]2

2 2

( ) ( )2

2 2

2 i

2 i

n i

n 1 n n 1 n 3

2 3 2

2 1 2 1

2 n

2 n

2 2

2 2

2 1

2 1

2 i i

2 2 2

u u E c c Σ 2Σ u c Σ

u u c 2c

u u c 2c

u u c 2c u c

u c u c

u Σc ˆ

=

+ + +

+ +

+ + +

2 i

2 i

n i

2 E Σ c u 2Σ Σ c c u u ˆ

− +

2 i

2 i

n i

2 Σ c E u 2Σ Σ c c E u u

ˆ

− +

2 Σc σ σ Σc ˆ

Ta biÕt r»ng: 2

i i

i i x Σ

x

c = ⇒ 2

i

2 i Σx

1

Σc = ⇒ ( ) 2

i

2 2 Σx

σ ˆ

σ ˆ

i i

ˆ Var β =

Giả sử vi = qiư ci ⇒ qi = ci+ vi

2 i

2 i 2

2 i i

2 2

v 2ΣΣ Σv

Σc σ

v c Σ σ ' ˆ Var

+ +

2 i 2 2 i

2 2

Σv σ ˆ Var

Σv σ Σc σ ' ˆ Var

Hay Var( )βˆ2 ≤ Var( )βˆ' 2 , nghĩa là Var(β ˆ2) là nhỏ nhất

Đối với tham số β ˆ1 ta cũng có thể chứng minh tương tự:

E(βˆ 1) = β1

i

2 i 2 1

X X nΣ

ΣX σ ˆ

x n

ΣX σ ˆ

( )X Var

2

Ta có thể tóm tắt các đặc điểm của tham số ước lượng như sau:

Phương sai nhỏ nhất (best estimator) (Linear) Tham số ước lượng

(estimated parameter)

Ước lượng không chệch (unbiasedness)

BLU

Ngoài ra người ta cũng có thêm các đặc tính khác của thông số ước lượng hiệu quả (efficiency), đầy đủ (sufficiency), và ổn định chắc chắn (consistency) Đó cũng chính là kết quả của 3 đặc điểm trên

Tiết 8 Chương 2 (tiếp)

V Phân tích phương sai và kiểm định giả thiết thống kê

1 Phương sai và sai số chuẩn của các tham số ước lượng

Các tham số ước lượng được phản ánh trong công thức (2.22) và (2.24) là những biến ngẫu nhiên Giá trị của chúng sẽ thay đổi khi thay đổi số đơn vị mẫu (sự biến động của mẫu) Những biến động này được đo bằng phương sai hay sai số chuẩn của các tham số ước lượng này Phương sai và sai số chuẩn của các tham số

ước lượng từ công thức (2.22) và (2.24) như sau:

Phương sai của hằng số Var(β ˆ1),từ công thức (2.38):

2 i

2 i

x n

ΣX ˆ

Var

∑

=

(Lưu ý: trong công thức bao gồm cả ký hiệu x nhỏ và X lớn)

Sai số chuẩn của hằng số se(β ˆ 1):

Σx

σ ˆ

σˆ

i 2 2

ta mất đi 2 bậc tự do và ta có n quan sát, do vậy bậc tự do là n - 2)

2 Ước lượng khoảng tin cậy và kiểm định giả thiết thống kê cho tham số

Như chúng ta đã biết, ước lượng khoảng tin cậy và trắc nghiệm giả thiết thống kê là 2 vấn đề chính của lý thuyết thống kê cổ điển Lý thuyết ước lượng bao gồm 2 phần

- Ước lượng điểm: Ước lượng giá trị của các tham số bằng phương pháp OLS

- Ước lượng khoảng tin cậy

a Ước lượng khoảng tin cậy:

Giả sử chúng ta có mô hình hồi quy:

điểm ước lượng Đó chính là khoảng tin cậy

Nếu β ˆ2 là gần đúng với β2 ở một mức nào đó ta có thể tìm ra hai số dương δ

và α trong đó khoảng [0, 1] sao cho xác suất của khoảng ngẫu nhiên [β ˆ2 - δ, β ˆ2 + δ] có chứa giá trị thực β2 là (1- α) Tức là:

β + δ là giá trị tin cậy phía trên

* Xây dựng khoảng tin cậy cho các hệ số của đường hồi quy

- Việc tính toán khoảng tin cậy của β1 và β2 dựa trên những hiểu biết về phân phối của β ˆ1và β ˆ2

- Ta có giả thiết sai số ui có phân phối chuẩn ui ~ N (0, σ2)