Tài liệu Kinh tế lượng nâng cao - Bài giảng số 4 pdf

đều có cùng dấu và giảm dần theo cấp số nhân: Biểu thức 2 có nghĩa là mỗi β kế tiếp sẽ nhỏ hơn β đứng trước đó tức là càng đi xa Nhận xét: + Vì λ không âm nên phương pháp của Koyck lo

BÀI 2 (tt)

MÔ HÌNH ĐỘNG

MÔ HÌNH TỰ HỒI QUY VÀ MÔ HÌNH CÓ TRỄ PHÂN PHỐI

3.Phương pháp biến đổi mô hình có trễ phân phối thành mô hình tự hồi quy

3.1.Phương pháp Koyck ( Trễ hình học )

Xét mô hình hồi quy có trễ phân phối vô hạn sau:

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + ut (1) Koyck giả thiết rằng mọi βi ( i = 0,1, ) đều có cùng dấu và giảm dần theo cấp số nhân:

Biểu thức (2) có nghĩa là mỗi β kế tiếp sẽ nhỏ hơn β đứng trước đó tức là càng đi xa

Nhận xét:

+ Vì λ không âm nên phương pháp của Koyck loại bỏ được sự đổi dấu

+ Tổng βk là một số hữu hạn vì:

Với giả thiết (2) thì mô hình (1) trở thành:

Yt = α + β0Xt + λβ0Xt-1 + λ2β0Xt-2 + +ut (4)

Mô hình (4) vẫn còn một số lớn các tham số cần ước lượng và tham số λ vẫn còn ở dạng luỹ thừa nên chưa thể áp dụng được OLS

Tuy nhiên có thể biến đổi (4) như sau:

Tại t-1 mô hình có dạng

Yt-1 = α + β0Xt-1 + λβ0Xt-2 + + ut-1

Nhân hai vế với λ

λYt-1 = αλ + β0λXt-1 + λ2β0Xt-2 + + λut-1

Như vậy (4) tương đương với (5) trong đó chỉ còn phải ước lượng 3 tham số là α, λ và

β0

Nhận xét: Việc ước lượng mô hình (5) nảy sinh một số vấn đề sau:

• Mô hình (4) ở dạng mô hình có trễ phân phối song mô hình (5) lại là mô hình

tự hồi quy

thể là Yt-1 có thể tương quan với ut, tức là vi phạm giả thiết của OLS

nhiên lại là vt Vì thế ut có thể thoả mãn mọi giả thiết của OLS song vt lại có thể vi phạm, cụ thể là có thể có tương quan chuỗi

Ví dụ 1: Tệp số liệu ch9bt2 gồm các số liệu về mức đầu tư cho doanh nghiệp cho thiết bị mới (Y) và doanh thu của doanh nghiệp (X) Hãy ước lượng mô hình:

Yt = α + β0Xt + β1Xt-1 + β2Xt-2 + + ut

Yt = α( 1-λ) + β0Xt + λYt-1 + vt

Dùng OLS hồi quy thu được kết quả sau:

Dependent Variable: Y

Method: Least Squares

Date: 11/22/08 Time: 09:19

Sample(adjusted): 2 22

Included observations: 21 after adjusting endpoints

Variable Coefficie

nt

C

-22.93243

4.367183 -5.251081 0.0001

var

115.585

2

Adjusted

R-squared

0.984038 S.D dependent var 56.8789

9

criterion 7

4

-69.59466

1

Durbin-Watson

stat

0

Từ kết quả trên hãy tìm lại các hệ số hồi quy ước lượng của mô hình gốc

Ví dụ 2: Có số liệu sau về tiêu dùng cá nhân theo đầu người và thu nhập khả dụng theo đầu người của Mỹ ( Đơn vị: USD) giai đoạn 1970 - 1991

1975 9711 10906 1986 12336 13552

hãy hồi quy mô hình (5) và phân tích kết quả nhận được

3.2 Một vài dạng khác của phép biến đổi Koyck

1 Mô hình kỳ vọng thích nghi

Sử dụng cách tiếp cận của Koyck, Cagan và Friedman đã xây dựng mô hình sau:

trong đó: Yt là lượng cầu về tiền

Xt* là lãi suất cân bằng, hoặc tối ưu, hoặc kỳ vọng dài hạn

Như vậy mô hình (6) phát biểu rằng lượng cầu về tiền là hàm số của lãi suất kỳ vọng

Vì Xt* không quan sát trực tiếp được nên nó được tính toán dựa trên giả thiết là mức

độ điều chỉnh của lãi suất kỳ vọng từ năm t-1 đến năm t tỷ lệ với mức chênh lệch giữa lãi suất quan sát được ở năm t và lãi suất kỳ vọng ở năm trước đó, tức là:

trong đó: 0 < γ ≤ 1 và gọi là hệ số kỳ vọng

lúc đó:

Tức là Xt* là trung bình có trọng số của Xt và Xt-1* với các trọng số tương ứng là γ và 1 -

γ

Thay (8) vào (6) ta có :

Yt = β0 + β1( γXt + ( 1 - γ )Xt-1*) + ut

Cho (6) trễ đi một kỳ và nhân với ( 1 - γ) sau đó thế vào (9) ta thu được mô hình sau:

Yt = β0 + β1γXt + ( 1 - γ )Yt-1 + ut - ( 1 - γ )ut-1

trong đó vt = ut - ( 1 - γ )ut-1

Dễ thấy (10) cũng có dạng tương tự như (5)

Ví dụ: Xét mô hình ở mục trước như mô hình kỳ vọng thích nghi, từ đó tìm giá trị của γ Theo mô hình kỳ vọng thích nghi, ta có:

Yt = β0 + β1Xt* + ut

Trong đó Y là mức đầu tư của doanh nghiệp

X* là doanh thu kỳ vọng Biến đổi về dạng (10):

Yt = β0 + β1γXt + ( 1 - γ )Yt-1 + vt

Dùng OLS hồi quy ta cũng thu được kết quả như ở trên,

Từ đó suy ra γ

Mô 2 Mô hình hiệu chỉnh bộ phận

Marc Nerlov xây dựng mô hình sau:

X t là sản lượng

Vì Yt* không quan sát được trực tiếp nên Nerlov giả thiết rằng:

Yt - Yt - 1 = δ ( Yt* - Yt - 1 ) (12)

Trong đó 0 < δ ≤ 1 được gọi là hệ số hiệu chỉnh

Yt - Yt - 1 là thay đổi thực tế

Yt* - Yt - 1 là thay đổi kỳ vọng

Tức là Yt là trung bình có trọng số của Yt* và Yt - 1.

Thay (11) vào (13) ta được:

Yt = δ [β0 + β1Xt + ut ] + ( 1 - δ)Yt-1

Mô hình (14) gọi là mô hình hiệu chỉnh bộ phận và có thể gọi là hàm cầu ngắn hạn

về vốn

Khi đã ước lượng được (14) và thu được ước lượng của δ thì có thể rút ra hàm cầu dài hạn về vốn bằng cách chia δβ0 và δβ1 cho δ và bỏ đi số hạng trễ Yt-1

mức đầu tư mong đợi và X là doanh thu của doanh nghiệp

Kế 3 Kết hợp các mô hình kỳ vọng thích nghi và mô hình hiệu chỉ chỉnh bộ phận

Xét mô hình:

Xt* là sản lượng kỳ vọng

Vì cả Yt* và Xt* đều không thể quan sát trực tiếp, ta sử dụng cơ chế hiệu chỉnh bộ

Yt = β0δγ + β1δγXt + [ (1 -γ) + ( 1 -δ)]Yt-1

- (1 - δ)(1 - γ)Yt-2 + [δut - δ(1 -γ)ut-1] = α0 + α1Xt + α2Yt-1 + α3Yt-2 + vt (16) Tro trong đó vt = δ[ ut - (1 - γ)ut-1]

Ví dụ: Xét mô hình ở mục trước với các biến:

Y* là vốn đầu tư mong đợi

X* là doanh thu mong đợi của doanh nghiệp

4 Ví dụ: Mô hình cầu tiền

Giả sử nhu cầu tiền mặt được cho bởi hàm:

Mt*= α Rtβ 1Ytβ 2eu t

*

M

u Y R

Trong đó t là nhu cầu tiền cân bằng thực tế, Rt là lãi suất tiền gửi dài hạn và Yt là thu nhập quốc dân Lấy loga ta có:

Giả thiết hiệu chỉnh bộ phận có thể mô tả như sau:

δ

*

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

−

t t

t

M

M M

M

[ 1]

t t

*

ln M

u M

Y R

M

ln t =δ α δβln + ln t +δβ ln t + −(1 δ)ln t +δ t

ln 74900 0 ln 68864 0 ln 28108 0 2565 2 ln

−1 2

1

Với số liệu của UK thời kỳ 1964-1967 thu được kết quả sau:

Từ kết quả trên suy ra hệ số hiệu chỉnh δ = 0,251 tức là có sự khác biệt giữa mong muốn

và thực tế về nhu cầu tiền mặt trong mỗi kỳ hạn Kết quả ước lượng cũng cho ước lượng ngắn hạn của nhu cầu tiền theo các nhân tố Hệ số co dãn ngắn hạn về cầu tiền theo lã

suất tiền gửi là -0,281 và theo thu nhập là 0,689 Từ kết quả trên có thể suy ra hàm cầu tiền dài hạn

Mở 5 Mở rộng mô hình của Koyck

P Phương pháp của Koyck có thể mở rộng theo hai hướng:

a.Thay vì giả thiết các hệ số giảm ngay lập tức có thể giả thiết rằng các hệ số hồi quy chỉ bắt đ

giảm theo cấp số nhân bắt đầu từ trễ thứ k Lúc đó mô hình có dạng:

Yt = β0 + ∑βi+1Xt-i + λβkXt-k + λ2βkXt-k-1 + + ut (17)

Sử dụng phương pháp như đã làm với (4) thu được mô hình sau:

Yt = β0(1-λ) + β1Xt + ∑(βi+1 - λβi)Xt-i λYt-1 + (ut -λut-1) (18) Tuy nhiên (18) có thể có đa cộng tuyến vì có chứa k giá trị trễ kế tiếp nhau của X

a b Mô hình có thể có nhiều biến giải thích mà chúng đều có trễ phân phối

b Yt = β0 + βX1t + λβ1X1t-1 + λ2β1X1t-2 +

Sử dụng phép biến đổi Koyck cho (19) thu được mô hình sau:

Yt = (1-λ)β0 + β1X1t + β2X2t + λYt-1 + (ut - λut-1) (20)

Tức là (20) tương tự như (5)

ước 6 Ước lượng mô hình tự hồi quy

5.1 6.1 Phép biến đổi Koyck và các giả thiết của OLS

Từ phép biến đổi Koyck ta thu được các mô hình (5) (10) và (14) Về thực chất đó

là các mô hình tự hồi quy và có thể ký hiệu

chu chung là:

Đặc điểm chung của các mô hình này là một số giả thiết của OLS có thể bị vi phạm do

đó không thể áp dụng trực tiếp phương pháp OLS

Thật vậy, giả sử ut thoả mãn mọi giả thiết của OLS, tức là

E(ut) = 0 ∀t Var(ut) = σ2 ∀t Cov(ut, ut+s) = 0 ∀ s ≠ 0

* Trong mô hình (5) thì vt = ut - λut-1

do đó E(vt , vt-1) = - λσ2 ≠ 0 Mặt khác biến giải thích Yt-1 tương quan với vt thông qua ut-1 vì có thể chứng minh

được rằng:

Cov(Yt-1, ut -λut-1) = -λσ2

* Mô hình (10) cũng tương tự

Vì vậy nếu áp dụng phương pháp OLS cho các mô hình (5) và (10) thì các ước lượng

thu được sẽ là các ước lượng chệch và không vững

* Đối với mô hình (14) thì do vt = δut (0 < δ ≤ 1) nên nếu ut thoả mãn mọi giả thiết của

( mặc dù có xu hướng chệch nếu mẫu nhỏ)

6.2 Phương pháp biến công cụ

Xét mô hình tự hồi quy:

Yt = α0 + α1Xt + α2Yt-1 + vt (21)

phương pháp OLS để thu được các ước lượng vững

Liviatan đã đề xuất phương pháp biến công cụ như sau:

Giả sử tìm được một xấp xỉ Zt-1 nào đó cho Yt-1 thoả mãn các điều kiện sau:

Tư + tương quan chặt chẽ với Yt-1

* K + không tương quan với vt

Z Zt-1 được gọi là biến công cụ Liviatan đề nghị dùng Xt-1 làm biến biến công cụ

đượ được hệ phương trình chuẩn sau:

α0∑Xt + α1∑Xt2 + α2∑XtYt-1 = ∑XtYt

α0∑Yt-1 + α1∑XtYt-1 + α2∑Yt-12 = ∑YtYt-1

sẽ được thay bằng:

α0n + α1∑Xt + α2∑Yt-1 = ∑Yt

α0∑Xt-1 + α1∑XtXt-1 + α2∑Xt-1Yt-1 = ∑YtXt-1

Liviatan đã chứng minh được rằng các ước lương thu được từ (22) là các ước lượng

vững

Hạn chế: Có thể dẫn đến đa cộng tuyến