Đa phần các phương pháp có thể áp dụng cho hs THPT học và luyện thi. CÁC PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH (Tài liệu này được sử dụng kèm giáo trình Giải Tích 1Tô Văn Ban) Phương Pháp 1: Khử nhân tử chung (dạng ) Phương Pháp 2: Nhân lương liên hiệp Phương Pháp 3: Thay thế tương đương bằng các đại lượng VCB Phương Pháp 4: Dùng phương pháp chặn cụt của một khai triển hữu hạn Phương Pháp 5: Khử dạng Phương Pháp 6: Đặt ẩn phụ Phương Pháp 7: Tách Phương Pháp 8: Phương pháp khử dạng vô định Phương Pháp 9: Sử dụng định lý kẹp Phương Pháp 10: Phương pháp số hạng vắng
Trang 1CÁC PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH
(Tài liệu này được sử dụng kèm giáo trình Giải Tích 1-Tô Văn Ban)
Phương Pháp 1 : Khử nhân tử chung (dạng
0
0 )
Ví dụ 1
4 0
(1 ) 1 lim
t
t t
Ta có:
2 4
2
( 2) (1 ) 1 (1 ) 1
t t t
Bài tập tương tự:
Bài 14: k
Phương Pháp 2: Nhân lương liên hiệp
Ví d ụ 2
2 3 0
( 1 cos )arcsin lim
x
x x x x
Ta có:
( 1 x cos )arcsinx x 1 x cosx .arcsinx
x
arcsin
x
x x
2
2
2 2
Vậy
2 3 0
( 1 cos )arcsin
x
x
Bài tập tương tự:
Bài 12: 10,14
Bài 14: h
Phương Pháp 3: Thay thế tương đương bằng các đại lượng VCB
(Sinh viên cần xem lại các công thức thay tương đương trang 65)
Trang 2Ví d ụ 3
2 0
lim
ln cos
x
x x
ln cos ln(cos 1 1)
Ta có:
2
2
x
Suy ra,
ln(cos 1 1)
2
x x
Bài tập tương tự:
Bài 12: 8, 21
Bài 13: e, h
Phương Pháp 4: Dùng phương pháp chặn cụt của một khai triển hữu hạn
Chú ý: Sinh viên cần đọc thêm:
Các công thức khai triển Maclaurin trang 116-118
Chặn cụt một khai triển hữu hạn trang 124-125
Ví d ụ 4 0 3
lim x
x
e x x x
x
Ta có:
x
x o x x o x x x
e x x x
3
3 3
1
2 6 3
x o x x o x o x o x o o x x x
x
x x o x
x
Câu hỏi đặt ra: Tại sao ở cách giải trên ta chặn cụt khai triển e ở bậc 2? x
Gợi ý:Ta xét cách giải bài toán trên như sau:
3
3
6
x
x
x o x x o x x x
Sinh viên hãy tìm ra chổ chưa ổn ở cách giải trên?
Trang 3Ví dụ 5 Sinh viên hãy tìm lỗi sai trong cách giải sau và đề xuất cách giải đúng.
sin
x x x x x x x
Bài tập tương tự:
Bài 12: 15, 17, 18, 27, 30
Bài 13: a
Phương Pháp 5: Khử dạng 1
Xét giới hạn
( )
lim ( )g x
x a f x
, khi x a thì ( )f x và ( )1 g x Đặt u f x ( ) 1 suy ra u 0.
Ta có
( ) ( ( ) 1) ( )
Mặt khác
1 0
(1 u)u u e
nên
( ) lim [ ( ) 1] ( ) lim ( )g x
x a
Ví d ụ 6 0
2
1
sin lim
x
x
x x
Ta có:
3 0
sin
6
x
x x x
x
x x
x x o x o x
x x
Vậy
1 6 0
2
1
sin
x
x
x e x
Bài tập tương tự:
Bài 12: 8, 20, 23, 24
Bài 13: b
Bài 14: e
Phương Pháp 6: Đặt ẩn phụ
Chú ý: Ở dạng bài tập này sinh viên cần phải biết khi x thì theo thứ tự các hàm tiến ra vô cùng
như sau:
Trang 4ln đa thức mũ giai thừa
x
Ví dụ 7 lim(0 sin )ln
Xét lim ln 0
Đặt t lnx x e , t x 0 thì t .
0
lim ln lim t lim 0
t
t
x x e t
e
Ta cĩ: sinx x sin lnx x x x ln 0
Vậy lim(0 sin )ln
=0
Ví dụ 8 lim ( 2arctan )ln
Đặt
2
t
t x x
khi x thì t 0
1 lim ( 2arctan )ln lim ln tan lim ln
2 2
lim ln lim (ln 2 ln ) 0.ln 2 0 0
t
t
t
Bài tập tương tự:
Bài 12: 6
Bài 13: i
Bài 14: d, i
Phương Pháp 7: Tách
Ví dụ 9 lim0
sin
x
e e x
1 sin
( 1) sin
x
x
e x
x x
e x
x x
Vậy lim0 1 ( 1) 2
sin
x
e e x
Trang 5
Bài tập tương tự:
Bài 14: f
Phương Pháp 8: Phương pháp khử dạng vô định 0,00
Ví dụ 10 lim cot0 ln1
x
x x
Đặt
Ta có:
ln sin ln
x x
x x
x x
2
2
x
2
2
x
Đặt t ln , x x 0, t ,
2
2
1
t
t
e
t te
Vậy lim cot0 ln1 1
x
x x
Bài tập tương tự:
Bài 13: d, f, g
Phương Pháp 9: Sử dụng định lý kẹp
Chú ý: lim n 0 lim n 0
3sin 2 2cos3 lim
x
x x
x x
x x
3sin2 2cos3
Bài tập tương tự:
Bài 14: a, b
Phương Pháp 10: Phương pháp số hạng vắng
Trang 6Giả sử
( ) ( )
( )
f x
F x
g x
có dạng
0
0
Bước 1: Phân tích
f x c f x c
f x
g x g x
Bước 2: Tìm c Gọi i(i 1,2, ) là nghiệm của ( ) 0.g x
Khi đó, c là nghiệm của hệ
1 2
, 1,2,
i i
f c
i
f c
Với c tìm được ta sẽ tính được
f x c f x c
g x g x
Ví dụ 12
1
lim
1
x
x x x
Vậy
1
x
x x x
Bài tập tương tự:
Bài 12: 19