Bài tập: Phương trình vi phân pdf

Phát biểu ñịnh lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 2.. Dạng của ptvp biến số phân ly.. Chỉ rõ phương pháp tích phân phương trình ñó?. Dạng của ptvp ñẳng cấp và c

Bài tập Giải tích 2 – Tổ Bộ môn Toán – Lý, Khoa Vật Lý – ðHSP TpHCM

Bài tập PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CÂU HỎI ÔN TẬP LÝ THUYẾT:

1 Phát biểu ñịnh lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

2 Ý nghĩa hình học của ptvp cấp 1

3 Dạng của ptvp biến số phân ly Chỉ rõ phương pháp tích phân phương trình ñó?

4 Dạng của ptvp ñẳng cấp và cách giải nó

5 Ptvp cấp 1 như thế nào ñược gọi là ptvp tuyến tính? Cách giải?

6 Dạng của ptvp toàn phần Thế nào là thừa số tích phân Cách giải phương trình vi phân toàn phần

7 Dạng của ptvp tuyến tính cấp 2 ñẳng cấp và không ñẳng cấp?

8 Nghiệm tổng quát của pttt cấp 2, hệ số hằng, không có vế phải?

9 Nghiệm tổng quát của pttt cấp 2, hệ số hằng, không có vế phải có dạng như thế nào khi phương trình ñặc trưng: Có 2 nghiệm thực khác nhau, có 2 nghiệm thực bằng nhau, có 2 nghiệm ảo?

10 Quy tắc tìm nghiệm riêng của ptvp cấp 2, hệ số hằng và vế phải có dạng:

f(x) = eax (Pn(x)cosbx + Qm(x) sinbx) – Pn,Qm là các ña thức bậc n và m

BÀI TẬP

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1:

Bài 1:

1 tgxsin2ydx + cos2x cotgy dy = 0

ð/s: cotg2y = tg2x + C

2 y – xy’ = a(1 + x2y’)

ð/s: y = a + cx

1 + ax

3 y’ = cos(y – x)

ð/s: cotg y - x

2 = x + C

4 y’ = 4x + 2y -1

4x + 2y -1 – 2ln( 4x + 2y -1 + 2) = x

+C

5 xdy – ydx = x2 + y2 dx

ð/s: arcsin (y/x) = ln C; y = ± x

6 (2 st – s)dt + tds = 0 ð/s: s/t + ln |t| = C; t = 0

7 xy’ – y = (x+y) ln( x + y

x ) ð/s: ln( x + yx ) = Cx

8 2(3xy2 + 2x3)dx + 3(2x2y + y2) dy =

0 ð/s: x4

+ 3x2y2 + y3 = C

9 y’ = (tgx).y + cos x ð/s: y = (½ x + ¼ sin2x + C) (1/cosx)

10 y’ + 2xy = xe-x2

Bài tập Giải tích 2 – Tổ Bộ môn Toán – Lý, Khoa Vật Lý – ðHSP TpHCM

Bài 2:

1 y = (2x + y3)y’ ð/s : x = y3 + Cy2

2 (y3 – x)y’ = y ð/s: xy = ¼ y4 + C

3 xy’ + x2 + xy – y = 0

ð/s: y = x(Ce- x – 1)

4 y = x(y’ – xcosx)

ð/s: y = x(C + sinx)

5 (2x + y)dy = ydx + 4lny dy

ð/s: x = 2lny – y + 1 + Cy2

6 3y2y’ – ay3 – x – 1 = 0

ð/s:

7 y’(x2y3 + xy) = 1

ð/s:

8 (2x – y2)y’ + 1 = 0

ð/s: x= Ce-2y + ½ y2 – ½ y + ¼

9 a(xy’ + 2y) = xyy’

ð/s: y = 2x + C

2Cx - 1

10 x2y’ = y(x + y)

ð/s: y = 2x

Cx2 - 1 ; y = 0

11 xy’ = y (1 + lny – lnx), y(1) = e

ð/s: y = xex

12 (x – ycosx/y)dx + xcosx/y dy = 0

ð/s: sin(y/x) = - ln|x| + C

13 (x + 1)(y’ + y2) = -y

ð/s:

14 x – y/y’ = 2/y

ð/s: y2 = C(xy – 1); xy = 1

15 (x + y)2y’ = 1

ð/s: x +y = tg(y – C)

16 dx/x = (1/y – 2x)dy

ð/s: y(xy – 1) = Cx

17 y - xy'

x + yy' = 2 ð/s: ln(x2

+ y2) + arctg(y/x) = 0

18 (1 + y2)(e2x dx – eydy)–(1 + y)dy = 0 ð/s: ½ e2x

– ey – arctgy – ½ ln(1 + y2) = C

19 yey = (y3 + 2xey)y’

ð/s: x = y2(C – e-y) và y = 0

20 xdx + ydy

x2 + y2 =

xdy - ydx

y2 ð/s: x2 + y2 = x/y + C

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 HỆ SỐ HẰNG:

1 2y’’ – y’ – y = 4xe2x 2 y’’ – 2y’ + y = xex

3 y’’ + y = xsinx 4 y’’ – y = 2ex – x2

5 y’’ – 3y’ + 2y = xcosx 6 2y’’ + 5y’ = 29xsinx

7 y’’ – 2y’ – 3y = xe4x + x2 8 y’’ + 4y = 2sìnx – 3cos2x

9.y’’ + 4y’ + 4y = 1 +e-2xlnx