Bài tập vỀ acgrument của số phức

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC A.. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z.. Số đo radian của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.. Nhân: Tích

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

1 Acgumen của số phức z 0

Cho số phức z 0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z

Ký hiệu: Argz

Nhận xét Nếu là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng k.2

2 Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức za bi 0,a b,   

Ký hiệu r z và là một acgumen của z khi đó arcos , b rsin

Khi đó có thể viết z dưới dạng: zrcosi.sin

Dạng zrcosi.sin, trong đó r  , được gọi là dạng lượng giác của số phức 0 z 0 Còn dạng za bi a b , ,   được gọi là dạng đại số của số phức z 

Nhận xét zrcosi.sinthì zrcos()i.sin()

Phương pháp viết số phức za bi a b , ,   dưới dạng lượng giác 

Bước 1 Tính Mođun của số phức r a2b2

Bước 2 Tìm acgumen của số phức ; cos a, sin b tan b

    

3 Nhân và chia số phức dạng lượng giác

Nếu zrcosi.sinvà z'r' cos '  i.sin ' trong đó r r , ' 0 thì

' ' cos ' sin '

' '

Ghi nhớ Nhân: Tích mođun và tổng acgumen; Chia: Thương mođun và hiệu acgumen

2 cos sin

2

i i

i

i



4 Công thức Moivre và ứng dụng

Cho số phức: zrcosi.sin

Khi đó z n r ncosni.sinn

5

5 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Số phức zrcosi.sincó hai căn bậc hai là

cos sin



 và r cos2 i.sin 2 r cos 2 2 i.sin 2 2

Bài toán thường gặp Tìm số phức z khi biết acgumen hoặc một số phức khác xuất phát từ z biết trước acgumen

+ Nếu z có một acgumen bằng zrcosi.sinvới r  0

+ Nếu f z( )có một acgumen bằng  f z( )rcosi.sin với r  0

B BÀI TẬP MẪU

1 Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác

a) 1 3;1 ; 1 3 1  ;1 3

1

i

i



 b) 2i 3i

c) 1

2 2i

d) zsinicos

2 Tính

a)  3i 2 3i2

b)  3i 2 3i2

c)  3i 3 3i3

d)  

2 2

3

3

i i





3 Tính

6

4

i

i



và  

5 11

3

i i





4 Tính tổng S 1 1 3i  1 3i2 1 3i2014

Bài giải

Ta có S là cấp số nhân công bội 1 3 2 cos sin

       

Suy ra:

2015

2015

2015

1 2 cos sin

1

1

1 2 cos sin

3

i q

q

i

i i

     

     

     



5 Cho số phức 7 3

1 2 3

i z

i





 Tính tổng

S   z z  z

Bài giải

7 3 1 2 3

2 cos sin

1 2 3 1 ( 2 3)

i

i

Khi đó

2015

2015 1 2 cos sin

1

1

1 2 cos sin

i z

S

z

i

6 Cho số phức z có acgumen bằng

3

 Tìm một acgumen của số phứcz1i 3

Bài giải

Theo giả thiết ta có os i sin

Suy ra: 1 3 os i sin 1 3  2 os i sin

+ Nếu z   Một acgumen của 2 z1i 3 là

3



+ Nếu z   Một acgumen của 2 z1i 3 là 4

3



+ Nếu z 2 z 1i 30, nên không xác định acgumen

7 Tìm số phức z có một acgumen bằng

3



và  3i z  4i

Bài giải

r r

Vậy số phức cần tìm là z 1 3i

8 Tìm số phức z thỏa mãn z2( )z 2 4 3i và có một acgumen bằng

3



Bài giải

Vậy

z  z  i  i   i  i

Vậy số phức cần tìm là z 1 3i

9 Tìm số phức z thỏa mãn z 3i 1

z i





 và z  có một acgumen bằng 1 6





Bài giải Giả sử z x yi theo giả thiết ta có:

3

z i



 2  2

 2  2

Theo giả thiết ta có: 1 os i sin 3 , 0

i

          

Từ đó suy ra:  1 2 3

2 2

i

x  ir  

3

2 3 1 2

2



 



  



Vậy số phức cần tìm là z2 3 1 2  i

Nhận xét Ta có thể xuất phát từ:

              

Khi đó

3

3 1

i

i





3

1 3

10 Tìm số phức z thỏa mãn 1i3.z có một acgumen bằng

12



và i z 2z  5 2 3

Bài giải

Giả sử zrcosi.sin,r 0 zrcos()i.sin()

Ta có: 1 3 1  2 1  2 1  2 1  2 2 cos3 sin3

Suy ra:

1 3 2 2 cos3 sin3 cos( ) sin( )

r r

Suy ra:

Ta có phương trình: 5 2 3 5 2 3 1 1 3

2 2

Vậy số phức cần tìm là 1 3

2 2

z   i

11 Trong mặt phẳng phức tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phứcz biết số phức 2

2

z z



 có

acgumen bằng

3



Bài giải Giả sử z x yi Khi đó:

 

 

 

 

2 2

z

i



Số phức này có acgumen bằng

3

 , suy ra

 

 

2

4

3

4

3

3 2

y y









Vậy tập hợp những điểm M là đường tròn tâm 0; 2

3

I 

,bán kính 4

3

R  và nằm trên trục thực

12 Tìm số phức z thỏa mãn  3i z có một acgrumen bằng

3



và z2i 2 3

Bài giải

Đặt zrcosisin,r0

Suy ra z rcos()isin()  Khi đó  3  2 cos sin

        

Theo giả thiết ta có

r r

Suy ra z 2i 2 3 3 2 2 3

i

   

2 2

2

3

Vậy z 3 i

13 Biết rằng 1

3

z  và một acgumen của

1

z i

 là

3 4



 Viết z dưới dạng lượng giác

Bài giải

Giả sử arg  1 os i sin  1 os  i sin  

Ta có

1 2 os i sin

1

z

c i

        

Từ đó suy ra

3

Vậy 1 os i sin

14 Tìm số phức z x yi x y, ,   thỏa mãn  2x 1 yi  2xy1i và 3

3

z z



 có một

acgumen bằng

4



Bài giải Nhận xét Trước hết ta tìm z x yi từ điều kiện đầu tiên trước sau đó sử dụng giả thiết: 3

cos sin , 0

z

z

   So sánh hệ số hai vế để tìm ra x và y

Giả sử số phức z có dạng: z x yi x y, ,   ta có:  2x 1 yi  2xy1i

2x 12 y2 4x2 y 12

 2 2 2  2

Khi đó:

 

Theo giả thiết ta có:

 

2

 

 

2

2

2

0, 5 9 0 2

12 2

x

x









Vậy số phức cần tìm là z 3 6i

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Cho số phức z thỏa mãn z 1 3

z

  Tính modul của số phức z n 1n

z

2 Cho số phức z thỏa mãn 1 3 3

1

i z

i





 Tìm modun của số phức ziz.

3 Tìm phần thực và phần ảo của số phức

3

1

i i

  

  

4 Tìm số nguyên n thuộc đoạn 1;10 để  1i 3n là số thực

5 Chứng minh

24

3 1

i i

  

là một số thực

6 Tính tổng A1i20121i2012

8 Tìm số phức z thỏa mãn  3i z có một acgrumen bằng

3



và z2i nhỏ nhất

Bài giải

Đặt zrcosisin,r0

Suy ra z rcos()isin() Khi đó  3  2 cos sin

        

Theo giả thiết ta có

r r

2 2

2 2

z  i    i      r  r  r  

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 3 1

2 2

r  z   i

Vậy 3 1

2 2

z   i

9 Tìm số phức z thỏa mãn z  và số phức 4 3 i

z



có một acgument bằng

6





Bài giải

Do z 4z4 cos i.sin

Suy ra:

2

3

16

1

i

i

i





Do 3 i

z



có một acgrument bằng

6



 nên:

10 Tìm số phức z thỏa mãn 3 42 5

4

i z



 và 1 i 34

z



có một acgumen bằng 5

3



Bài giải

Ta có

2

i

z



Suy raz2 cos i.sin

Ta có:  

4 4

            

Suy ra  

4

i i

i

Vậy số phức cần tìm là z 1 3i

11 Tìm số phức z thỏa mãn

3

2

i z



nhỏ nhất và 1i 3 5 z có một acgumen bằng

4

3





Bài giải

Giả sử zrcosi.sinvới r  Suy ra 0 z rcos()isin()

Ta có:  

5 5

            

Suy ra:

5

Theo giả thiết ta có: 5 4

r r

Ta có:

Mặt khác:

2 2

2

r

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 3

r  z   i

Vậy số phức cần tìm là 1 3

4 4

z   i

D SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CÁC NĂM

1 (TSĐH Khối A,A1/2013) Cho số phức z 1 i 3 Viết dạng lượng giác của z Tìm phần thực và phần ảo của số phức w1 i z  5

2 (TSĐH Khối D/2013) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1iz i 2z2i Tính môđun của số phức w z 22z 1

z

 

3 (TSĐH Khối A,A1/2012) Cho số phức z thỏa mãn 5 

2 1

z i

i z



 

 Tính môđun của số phức

2

1

w  z z

4 (TSĐH Khối D/2012) Giải phương trình 2  

z  i z i trên tập hợp các số phức