Dao động: là chuyển động lặp đi lặp lại quanh vị trí cân bằng Thường là vị trí của vật khi đứng yên.. Dao động tuần hoàn: Là dao động mà trạng thái chuyển động của vật được lặp lại như
Trang 1CHƯƠNG I: DAO Động cơ
I các loại dao động
1 Dao động: là chuyển động lặp đi lặp lại quanh vị trí cân bằng (Thường là vị trí của vật khi đứng
yên)
2 Dao động tuần hoàn: Là dao động mà trạng thái chuyển động của vật được lặp lại như cũ sau
những khoảng thời gian bằng nhau (gọi là chu kỳ)
3 Dao động điều hoà:
a Định nghĩa: Dao động điều hoà là dao động trong đó li độ của vật là một hàm cos (hoặc sin) của
thời gian
- Phương trình: x = Acos(ωt + ϕ)
Trong đó:
+ x : Li độ dao động, là toạ độ của vật tại thời điểm t đang xét Giá trị: Aư ≤ ≤ Đơn vị: cm, m, x A
mm
+ A: Biên độ dao động, là li độ cực đại, là hằng số dương Biên độ A phụ thuộc kích thích ban đầu
+ ω: Tần số góc của dao động (rad/s), là hằng số dương ω phụ thuộc đặc tính của hệ dao động Biết
ω ta tính được chu kỳ T và tần số f:
ω
- Chu kì T: Là khoảng thời gian ngắn nhất để vật trở lại trạng thái như cũ (vị trí cũ theo hướng
cũ), nó cũng là thời gian để vật thực hiện được 1 dao động toàn phần
T = 2πω = n (n là số dao động toàn phần vật thực hiện trong thời gian t) t
Đơn vị của chu kì là giây (s)
- Tần số f: Là số dao động toàn phần thực hiện được trong 1 giây Đơn vị là Héc (Hz)
1 ω
f = =
T 2π
+ (ωt + ϕ) : Pha của dao động tại thời điểm t đang xét Pha của dao động là có thể dương, âm hoặc bằng 0 Nó cho phép xác định trạng thái dao động tại một thời điểm t nào đó Đơn vị: Rad
+ ϕ: Pha ban đầu của dao động Là pha của dao động tại thời điểm t = 0 ϕ là hằng số có thể dương,
âm hoặc bằng 0 Dùng để xác định trạng thái ban đầu của dao động ϕ phụ thuộc việc chọn mốc thời gian
Chú ý: Dao động điều hoà là trường hợp riêng của dao động tuần hoàn, dao động tuần hoàn có thể
không điều hoà
b Vận tốc của vật dao động điều hoà:
v = x’ = - ωAsin(ωt + ϕ) = ωAcos(ωt + ϕ +π/2) (2)
=> |v|max = ωA ở VTCB |v|min = 0 ở vị trí biên
=> So sánh (1) và (2) thấy v cũng biến đổi điều hoà với tần số góc ω nhưng luôn nhanh pha
2
π
so với x và rút ra hệ thức độc lập thời gian:
ω A = ω x + v2 2 2 2 2
Chú ý : luôn cùng chiều với chiều chuyển động, vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo
chiều âm thì v < 0
v
Trang 2=> |a|max = ω2A ở vị trí biên, |a|min = 0 ở VTCB
=> luôn hướng về vị trí cân bằng a
=> So sánh (1) và (2) và (3) thấy a, v và x biến đổi cùng tần số góc, chu kỳ và tần số Về pha: a luôn nhanh pha π so với x (tức là ngược pha x), a luôn nhanh pha
2
π
so với v
Từ (2) và (3) có hệ thức độc lập thời gian giữa a và v: ω A = a + v ω4 2 2 2 2
d Cơ năng (năng lượng) của vật dao động điều hoà:
W sin ( ) Wsin ( )
2mv 2mω A ω ϕt ω ϕt
W W W
2
= + = = (Wđ)max = (Wt)max = const
Chú ý: Dao động điều hoà có tần số góc là ω, tần số f, chu kỳ T thì bằng cách hạ bậc ta suy ra động
năng và thế năng biến thiên với tần số góc 2ω, tần số 2f, chu kỳ T/2 Nếu chọ gốc thế năng ở VTCB thì cơ năng bằng động năng cực đại (ở VTCB) hoặc bằng thế năng cực đại (ở vị trí biên)
- Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng là T/4
- Động năng và thế năng trung bình trong thời gian nT/2 ( n∈N*, T là chu kỳ dao động) là:
2 2
W 1
2 = 4mω A
e Tổng hợp dao động điều hoà:
* Độ lệch pha giữa hai dao động cùng tần số:
x1 = A1sin(ωt + ϕ1) và x2 = A2sin(ωt + ϕ2)
+ Độ lệch pha giữa dao động x1 so với x2: ∆ϕ = ϕ1 - ϕ2
Nếu ∆ϕ > 0 ⇔ ϕ1 > ϕ2 thì x1 nhanh pha hơn x2
Nếu ∆ϕ < 0 ⇔ ϕ1 < ϕ2 thì x1 chậm pha hơn x2
+ Các giá trị đặc biệt của độ lệch pha:
∆ϕ = 2kπ với k ∈ Z : hai dao động cùng pha
∆ϕ = (2k+1)π với k ∈ Z : hai dao động ngược pha
∆ϕ = (2k + 1)
2
π
với k ∈ Z : hai dao động vuông pha
* Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số:
x1 = A1cos(ωt + ϕ1) và x2 = A2cos(ωt + ϕ2)
được một dao động điều hoà cùng phương cùng tần số: x = Acos(ωt + ϕ)
Trong đó: A2 =A12+A22+2A A c1 2 os(ϕ ϕ2ư 1)
sin sin tan
os os
2 2
ϕ
+
=
+ (*) với với ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 ( nếu ϕ1 ≤ ϕ2 )
* Nếu ∆ϕ = 2kπ (x1, x2 cùng pha) ⇒ AMax = A1 + A2
` * Nếu ∆ϕ = (2k+1)π (x1, x2 ngược pha) ⇒ AMin = |A1 - A2|
⇒ |A1 - A2| ≤ A ≤ A1 + A2
Chú ý: Khi đã viết được phương trình x = Acos(ωt + ϕ) thì việc xác định vận tốc, gia tốc, động năng,
thế năng, cơ năng của vật giống như với một dao động điều hoà bình thường
* Trường hợp tổng hợp nhiều dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x 1 ; x 2 ;…; x n
x = x1 + x2 + …+ xn = Acos( tω ϕ+ )
Tìm biên độ A : Chiếu xuống trục ox: Ax = A cos1 ϕ1+A cos2 ϕ2+ + A cos n ϕn
Chiếu xuống trục oy: Ay = A1sinϕ1+A2sinϕ2+ + A nsinϕn
=> Biên độ dao động tổng hợp: A = A x2+A y2
Trang 3Pha ban đầu của dao động tổng hợp: A y
tg Ax
ϕ =
Chú ý: Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số cũng có thể áp dụng trường hợp
tổng quát trên
Quan trọng: Khi tỡm pha ban đầu bằng biểu thức (*), giỏ trị tỡm được -
2
π≤ ϕ ≤
2
π
, nhưng trờn thực tế thỡ kết quả có thể khụng đỳng như vậy, nguyờn nhõn là vỡ tanϕ = tan(ϕ + kπ), trong trường hợp này ta cần cộng thờm pha ban đầu là π Do vậy cần xác định xem ϕ thuộc góc phần tư thứ mấy: Nếu Ax > 0
và Ay >0: ϕ thuộc góc phần tư thứ nhất, nếu Ax < 0 và Ay >0: ϕ thuộc góc phần tư thứ hai, Nếu Ax < 0
và Ay <0: ϕ thuộc góc phần tư thứ ba, Nếu Ax > 0 và Ay <0: ϕ thuộc góc phần tư thứ tư Có thể kết hợp trực tiếp vẽ giản đồ véc tơ để kiểm tra kết quả
- Ngoài phương pháp trên, nếu A1 = A2 = A có thể cộng lượng giác sẽ tìm được phương trình dao động tổng hợp:
x1+x2 =A co1 s(ω ϕt+ 1)+A co2 s(ω ϕt+ 2)= 2 cos 1 2 s 1 2
+
1)
- Khi biết một dao động thành phần x1 = A1cos(ωt + ϕ1) và dao động tổng hợp x = Acos(ωt + ϕ) thỡ dao động thành phần cũn lại là x2 = A2cos(ωt + ϕ2)
Trong đú: 2 2 2
1 2
sin sin tan
os os
1
ϕ
ư
=
ư với ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 ( nếu ϕ1 ≤ ϕ2 )
Một số dạng bài tập về dao động điều hoà:
Dạng 1: Tính thời gian ngắn nhất để vật chuyển động từ vị trí x 1 đến x 2 :
B 1 : Vẽ đường tròn tâm O, bán kính A vẽ trục Ox nằm ngang hướng sang phải
B 2 : Xác định vị trí tương ứng của vật chuyển động tròn đều: Khi vật dao động điều hòa ở x1 thì vật chuyển động tròn đều ở M trên đường tròn Khi vật dao động điều hòa ở x2 thì vật chuyển động tròn
đều ở N trên đường tròn
B 3 : Xác định góc quét
Góc quét là ϕ = MON (theo chiều ngược kim đồng hồ)
Sử dụng các kiến thức hình học để tìm giá trị của ϕ (rad)
B 4 : Xác định thời gian chuyển động
t= ϕ
ω với ω là tần số gốc của dao động điều hòa (rad/s)
Một số kết quả:
Thời gian khi vật đi từ VTCB đến vị trí biên hoặc ngược lại là T/2
Thời gian ngắn nhất vật đi từ x =0 đến x= ± A/2 và ngược lại là T/12
Thời gian ngắn nhất vật đi từ x =± A/2 đến x= ± A và ngược lại là T/6
Thời gian ngắn nhất vật đi từ x = 0 đến x= ± A
2 và ngược lại là T/8
Thời gian ngắn nhất vật đi từ x =± A
2 đến x= ± A và ngược lại là T/8
Thời gian ngắn nhất vật đi từ x = 0 đến x= ± A 3
2 và ngược lại là T/6
Thời gian ngắn nhất vật đi từ x = ± A 3
2 đến x= ± A và ngược lại là T/12 …
Dạng 2: Qu∙ng đường vật đi được từ thời điểm t 1 đến t 2
Trang 4à
v
(x1, x2 cần tính chính xác giá trị, v1 và v2 chỉ cần xác định dấu) + Phân tích: t2 – t1 = nT + ∆t (n ∈N; 0 < ∆t < T)
Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A => Quãng đường đi được trong thời gian nT là S1 = 4nA, trong thời gian ∆t là S2
=> Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2
Chú ý : + Quãng đừng vật dao động điều hòa đi được trong 1/2 chu kỳ luôn là 2A => Nếu ∆t = T/2 thì
S2 = 2A
+ Tính S2 bằng cách vẽ một hình mô tả đồng thời vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox, vạch một nét từ x1 đến x2 theo chiều vận tốc mà không có sự lặp lại thì đó là đoạn S2 cần tìm
+ Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động
điều hoà và chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn
+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2:
2 1
tb
S v
=
ư với S là quãng đường tính như
trên
Dạng 3: Bài toán tính qu∙ng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 <
∆t < T/2
- Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên
- Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà
và chuyển đường tròn đều
A
M
O
P
2
1
M
M
-A
A
2
ϕ
∆
2
ϕ
∆ P
- Góc quét ∆ϕ = ω∆t
- Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến
M2 đối xứng qua trục sin (hình 1)
-A
ax 2A sin
2
M
=
- Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến
M2 đối xứng qua trục cos (hình 2)
2 (1 os )
2
Min
= ư
Chú ý :: + Trong trường hợp ∆t > T/2
2
T
∆ = + ∆
trong đó *;0 '
2
T
n N∈ < ∆ <t
Trong thời gian
2
T
n quãng đường luôn là 2nA Trong thời gian ∆t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên
+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian ∆t:
ax ax
M tbM
S v
t
=
∆ và
Min tbMin
S v
t
=
∆ với SMax; SMin tính như trên
Dạng 4: Viết phương trình dao động điều hoà
+ Bước 1: Viết phương trình dạng tổng quát: x = Acos(ωt + ϕ)
+ Bước 2: Xác định A, ω, ϕ
max
2 2
f T
π
Trang 5* Tính A:
2
2
2 chieu dai quy dao
k
ư
⎛ ⎞
⎝ ⎠
* Tính ϕ dựa vào điều kiện đầu: lúc t = t0 (thường t0 = 0) 0
0
ϕ
⎧
⇒
⎩
Chú ý : + Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, ngược lại v < 0
+ Trước khi tính ϕ cần xác định rõ ϕ thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác
(thường lấy -π ≤ < ϕ ≤π)
* Chuyển dạng sin => cos và ngược lại:
+ Đổi thành cos: - cosα = cos(α + π); ± sinα = cos(α ∓ π/2)
+ Đổi thành sin: ± cosα = sin(α ± π/2); - sinα = sin(α + π)
Một vài trường hợp đặc biệt thường gặp: t = 0
-2 π
2
π
Vật qua vị trớ cú x =
2
A
theo chiều dương
2
A
-3 π
Vật qua vị trớ cú x =
2
A
theo chiều õm
2
A
-
3 π
Vật qua vị trớ cú x =
-2
A
-2
A
-3 2π
Vật qua vị trớ cú x =
-2
A
-2
A
-
3 2π
Vật qua vị trớ cú x =
2
A theo chiều dương
2
A
-4 π
Vật qua vị trớ cú x =
2
A theo chiều õm
2
A
-
4 π
Vật qua vị trớ cú x =
-2
A
-2
A
-4 3π
Vật qua vị trớ cú x =
-2
A
-2
A
-
4 3π
Vật qua vị trớ cú x =
2
3 A
theo chiều dương
2
3 A
-6 π
Vật qua vị trớ cú x =
2
3 A
theo chiều õm
2
3 A
-
6 π
Vật qua vị trớ cú x =
-2
3 A
theo chiều dương
-2
3
-6 5π
Vật qua vị trớ cú x =
-2
3 A
-2
3
6 5π