Bài giảng phương pháp tính potx

Giới thiệu mơn phương pháp tính Phương pháp tính là bộ mơn tốn học cĩ nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài tốn, nĩ cung cấp các phương pháp giải cho những bài tốn trong thực tế

Trang 1

Bài giảng phương

pháp tính

Trang 2

Bài giảng phư ng pháp t nh tóm tắt

Chương 0: MỞ ĐẦU

I Giới thiệu mơn phương pháp tính

Phương pháp tính là bộ mơn tốn học cĩ nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài tốn, nĩ cung cấp các phương pháp giải cho những bài tốn trong thực tế mà khơng cĩ lời giải chính xác Mơn học này là cầu nối giữa tốn học lý thuyết và các ứng dụng của nĩ trong thực tế

Trong thời đại cơng nghệ thơng tin hiện nay thì việc áp dụng các phương pháp tính càng trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ tính tốn

II Nhiệm vụ mơn học

 Tìm ra các phương pháp giải cho các bài tốn gồm : Phương pháp đúng và

phương pháp gần đúng

*) Phương pháp đúng : cho ta kết quả dưới dạng một biểu thức giải tích cụ thể

*) Phương pháp gần đúng: thường cho ta kết quả sau một quá trình tính lặp

theo một quy luật nào đĩ, nĩ được áp dụng trong trường hợp bài tốn khơng cĩ lời giải đúng hoặc nếu cĩ thì quá phức tạp và khĩ khăn Chính vì vậy việc giải gần đúng

là một vấn đề rất thực tế và cần thiết

 Tìm nghiệm các phương trình Đại số, Siêu việt, …

 Tìm nghiệm các hệ phương trình Tuyến tính, phi tuyến, …

 Tìm giá trị của tích phân và giá trị nghiệm của phương trình hay hệ phương

mà qua tiến hành đo đạc hay thí nghiệm ta chỉ nhận được một số giá trị tương ứng :

III Trình tự giải bài tốn trong phương pháp tính

 Khảo sát, phân tích bài tốn

 Lựa chọn phương pháp dựa vào các tiêu chí sau :

Khối lượng tính tốn ít

Đơn giản khi xây dựng thuật tốn

Trang 3

Trang 4

Bài 1: Số xấp xỉ

 Nếu aA thì ta nói a là số  thiếu của A

 Nếu aA thì ta nói a là số  thừa của A

Ví dụ : 1, 41 2 1, 42

 1, 41 là  thiếu của 2; 1, 41 là  thừa của 2

1.2 Sai số tuyệt đối :

1.3 Sai số tương đối :

a Định nghĩa : Sai số tương đối kí hiệu là :



Ta có :   a

Chú ý: Đôi khi việc xác định số đúng A rất khó, do đó người ta còn tính sai

số tương đối bằng cách thay A bởi a, nên ta có công thức sau :

A A

Trang 5

Đo sai chi tiết máy đó với chiều dài a = 155 cm Tính % sai số

Vậy sai số tương đối cho ta biết phần trăm sai lệch của kích thước

2.1 Chữ số có nghĩa :

Chữ số có nghĩa của một số là những chữ số của số đó kể từ chữ số khác không đầu tiên tính từ bên trái (sang phải )

Ví dụ : 0,2 0 5 0 0 : có 3 chữ số có nghĩa ( 2 chữ số 0 cuối cùng không có giá trị )

87,1035 : có 6 chữ số có nghĩa

0,03 1 0 7 : có 4 chữ số có nghĩa

2.2 Chữ số đáng tin :

Mọi số xấp xỉ a đều có thể biểu diễn được dưới dạng hệ thập phân như sau :

Chữ số n k được gọi là đáng tin nếu  a 0, 5 10 n k

Chữ số n k được gọi là nghi ngờ nếu  a 0, 5 10 n k

Ví dụ : Hãy tìm những chữ số chắc của số a 153, 0489 với 2

Chữ số 1: 0,5 10 2 50   số 1 là đáng tin a

3: 0,5 10 1     số 3 là đáng tin 5 a

4: 0,5 10 2    số 4 là đáng tin a 8: 0,5 10 3    số 8 là nghi ngờ a 9: 0,5 10 4    số 9 là nghi ngờ a

Nhận xét:

Nếu 1 chữ số là đáng tin thì những chữ số bên trái của nó cũng đáng tin Nếu 1 chữ số là nghi ngờ, thì những chữ số bên phải của nó cũng nghi ngờ

Trang 6

Chữ số thứ (k1), n k là đáng tin nếu

n k a

a 10

2 a

0,5 1010

Vậy có k 1 5 chữ số đáng tin là: 1, 3, 5, 4, 0

2 chữ số đáng ngờ là: 8, 9

2.3 Cách viết số xấp xỉ :

Có 2 cách viết :

a

0,5 10

3,158934 1025,1085

Ta xét chữ số 8 : 0,5.10-2 = a  số 8 là đáng tin

 các chữ số 6, 0, 7, 5 cũng là đáng tin

xét chữ số 9 : 0,5.10-3 < a  số 9 là nghi ngờ

 các chữ số 3, 1 cũng là nghi ngờ

Vậy 6, 0, 7, 5, 8 : đáng tin

Trang 7

9, 3, 1 : nghi ngờ

2.4 Sự quy tròn:

Nếu chữ số bị bỏ đi bé hơn hay bằng 4 ta xóa chữ số đó đi, còn nếu chữ

số bị bỏ đi lớn hơn hay bằng 5 sau khi bỏ đi ta cộng thêm 1 cho chữ số bên

trái đứng kề với chữ số bị bỏ đi

Ví dụ : 35,25749 lấy 3 số lẻ

35,257 35,25751 lấy 3 số lẻ

35,258

 Chú ý: Tất cả tính toán trong môn học đều phải lấy 6 chữ số thập phân

3 Xác định sai số của hàm số :

3.1 Công thức tổng quát :

Cho hàm nhiều biến u = u(x 1 , x 2 , …, x n )

Gọi ilà sai số tuyệt đối giới hạn của biến x i , i 1, n

Kí hiệu:

i

/ x

u là đạo hàm riêng cấp 1 của hàm u theo biến x i ( nghĩa là các

biến còn lại ta xem như là hằng số) Khi đó, ta có các công thức sau :

 Sai số tuyệt đối giới hạn của u :

Trang 8

3 u

Nếu hàm số có chứa dạng lượng giác thì tất cả các máy tính đều phải để ở

chế độ “Rad” khi tính toán

3.2 Dạng đặc biệt :

Trang 9

Chương 2 :

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- ĐẠI SỐ & SIÊU VIỆT

Bài 1: Đặt vấn đe à

 Giải phương trình là ta đi tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0 Trong một

số trường hợp nghiệm của phương trình trên không giải được hoặc giải được nhưng rất khó khăn Trong khi đó thì việc lấy nghiệm chính xác trong một số trường hợp là không cần thiết Chính vì vậy, việc tính nghiệm gần đúng là thực tế và cần thiết

 Việc tiến hành tính nghiệm gần đúng của một phương trình được thực hiện theo hai bước như sau:

Bước 1: Tìm khoảng cách ly nghiệm nghĩa là tìm khoảng (a, b) chứa một và

chỉ một nghiệm của phương trình

Bước 2: Xuất phát từ khoảng cách ly nghiệm tìm được ở bước 1 Tính gần

đúng nghiệm thực của phương trình đạt độ chính xác yêu cầu bằng một phương pháp giải gần đúng

Bài 2: Khoảng cách ly nghiệm

2.1 Định lý :

Nếu hàm f(x) liên tục và có đạo hàm không đổi dấu trên khoảng (a, b) và

f(a).f(b) < 0 Khi đó (a, b) được gọi là khoảng cách ly nghiệm của phương

trình

2.2 Cách tìm khoảng cách ly nghiệm :

Để tìm khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) = 0 Ta vẽ đồ thị hàm số y = f(x), giao điểm của đồ thị với trục hoành chính là nghiệm thô

của phương trình Từ các nghiệm thô này ta xác định được các khoảng cách

Trang 10

Dựa vào đồ thị ta thấy 3 nghiệm thô x1, x2, x3 và các khoảng cách ly tương ứng là :

x1    3; 2 , x 2    2; 1 , x 3  0;1

Tuy nhiên, ta có thể tách phương trình x3 3x2   3 0 x3  3 3x2 và vẽ hai đồ thị yx3và y  3 3x2 trên cùng một hệ trục tọa độ thì hoành độ của các giao điểm “ thô ” chính là các nghiệm thô của phương trình và từ đó ta cũng xác định được khoảng cách ly nghiệm

Bài 3: Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng

I Phương pháp chia đôi :

Cho phương trình f(x) = 0, có

khoảng cách ly nghiệm là (a, b)

và sai số 

1 Ý tưởng :

Chia đoạn AB  ra làm 2 đoạn bằng nhau, ta sẽ giữ lại đoạn b anào còn chứa nghiệm của phương trình và cứ tiếp tục chia 2 đoạn còn lại như thế

cho đến khi đoạn còn lại cuối cùng có độ dài bé tùy ý (vẫn còn chứa nghệm)

Sau một lần chia 2 độ dài AB  còn lại b a b a

2

 và như vậy thì

sau n lần chia 2 độ dài AB còn lại là b na

2

 Giả sử đến lúc này đoạn còn lại đã

đạt yêu cầu chiều dài  bé tùy ý cho trước, nghĩa là :

Trang 11

n

b a 2

b a2



 , tính f(c)

 Nếu f(c) cùng dấu với f(a) thì lấy a:=c

Nếu f(c) cùng dấu với f(b) thì lấy b:=c

Thuật toán tiếp tục lặp lại cho đến bước n, khi đó c là nghiệm gần đúng cần

tìm

4 Đánh giá sai số :

Giả sử x là nghiệm chính xác của phương trình *

c là nghiệm gần đúng của phương trình

Trang 12

II Phương pháp lặp :

Cho phương trình f(x) = 0 với x(a, b) và độ chính xác 

1 Ý tưởng :

2 Thuật toán :

o Bước 1:

Biến đổi phương trình f(x) = 0 về phương trình x = (x) với

điều kiện hội tụ nghiệm của thuật toán là /(x) 1, x (a, b)

xn 1 là nghiệm gần đúng của phương trình

Trang 13

Ví dụ : Giải các phương trình sau:

Trang 14

Nhập(x0): - 2,625 = Nhập hàm  x  Ans : 3 2 3

x x3

x 3 2,53641871x

2 3

2

31 32 33

x 2, 588991

Vậy x33  2, 532126 là nghiệm gần đúng của phương trình

Nếu sử dụng cách 3 thì (x) không thỏa điều kiện hội tụ của phương pháp

 Chú ý :

Cách biến đổi từ ( )f x  về 0 x ( )x là không duy nhất Chính vì vậy việc chọn hàm ( ) x cũng sẽ ảnh hưởng đến:

 Số lần lặp của phương pháp

 Các xk( k = 1,2,…) cũng khác nhau

 Nghiệm gần đúng của phương trình (vì ta chỉ kiểm tra hai x

liên tiếp nhau)

Trang 15

III Phương pháp Newton ( Tiếp tuyến ) :

Cho phương trình f(x) = 0 với x(a, b) và độ chính xác 

  , đây là biểu thức liên hệ giữa x1 và x0 hay x1

được tính dựa vào x0

Ta “hy vọng” rằng x1 sẽ “gần” nghiệm chính xác hơn so với x0

Quá trình trên được thực hiện một cách liên tục, ta có :

Trang 16

Tính cho tới khi xn 1 xn   thì xn 1 là nghiệm gần đúng

của phương trình

xn 1 là nghiệm gần đúng của phương trình

Trang 17

x n

Trang 18

Chương 3 :

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Định nghĩa : Hệ phương trình tuyến tính là hệ có dạng

n

xxXx

n

bbBb

Bài 1: Phương pháp Gauss & Phương pháp ma trận đảo

1.1 Phương pháp Gauss:

Cho hệ phương trình AXB, với AM ( ); B, Xn  M ( ); det(A)n 1  0

Phương pháp Gauss được giải theo theo sơ đồ sau :

 

1

n 1 n

Suy ra nghiệm bằng cách giải từ dưới lên

Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau

x 2y 3z 82x y z 7

Trang 19

1.2 Phương pháp ma trận đảo :

Cho hệ phương trình : AXB, với A M ( ); B, Xn  M ( ); det(A)n 1  0

Phương pháp : Tính ma trận đảo A1 XA B.1

Một số phương pháp tìm ma trận đảo

 Phương pháp 1: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng

- Hoán vị hai dòng của ma trận

- Nhân một dòng của ma trận với một số khác 0

- Thay một dòng của ma trận bằng chính dòng đó cộng thêm k lần dòng khác

 A I I A 1

 Phương pháp 2: Sử dụng ma trận phụ trợ

- Tìm ma trận phụ trợ C cij với cij  ( 1) Ai j ij

trong đó A là định thức bù đại số của A ij

Trang 20

Cho ma trận Am n , chuẩn của ma trận A được ký hiệu là A là 1 số

thực thỏa mãn các tính chất sau:

i) A 0, A  0 A 0

ii)  , .A   A

iii) A, BM ( ), An  B  A  B

2.2 Một số chuẩn thông dụng : Cho AMm n ( )

 Chuẩn 1: (chuẩn cột)

m ij

Đối với ma trận cấp 3 ta có thể sử dụng máy tính 570 MS hoặc

ES để tính ma trận đảo

Đối với môn học này thì hai phương pháp trên sẽ tính toán phức tạp nếu các hệ số là số lẻ

Trang 21

1

2 ij 2

Bài 3: Giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

Bằng phương pháp lặp & Seildel

3.1 Phương pháp lặp đơn :

Xét hệ phương trình tuyến tính AXB, với det(A) 0

Thuật toán

 Bước 1:

Trang 22

Đưa hệ phương trình AX B về dạng X    , với X

Ngược lại, thuật toán lặp lại bước 2 cho đến khi đạt được điều kiện

 Đánh giá sai số :

Giả sử X là nghiệm chính xác của hệ phương trình, *

Xn 1 là nghiệm gần đúng của hệ phương trình

Trang 23

(1)

x 0,598571

X y 1, 081130

1,678778z

(2)

x 0, 611339

1, 682468z

Chú ý: Sử dụng máy tính 570 MS hoặc ES

Nhập  cho ma trận A,  cho ma trận B Với X 0 =   X 1 = .X 0 +  = matA  matB + matB

X 2 = .X 1 +  = matA  matAns + matB

Trang 24

3.2 Phương pháp Seildel :

Xét hệ phương trình tuyến tính AXB, với det(A) 0

Ngược lại, thuật toán lặp lại bước 2 cho đến khi đạt được điều kiện

 Đánh giá sai số :

Giả sử X là nghiệm chính xác của hệ phương trình, *

Xn 1 là nghiệm gần đúng của hệ phương trình

Trang 25

ij 21

Chú ý : U_uper triangle matrix

L_lower triangle matrix

Tương tự cho các bước tiếp theo

Chú ý: Sử dụng chức năng nhớ của máy tính bỏ túi 500, 570 MS hoặc ES để nhớ biến ở từng bước và sử dụng cho bước kế tiếp

Ví dụ để gán một giá trị x 0 cho 1 biến A trong bộ nhớ của máy,

ta nhập theo thứ tự : x 0  =  Shift  RCL  A.

Trang 26

Trang 27

Trang 28

Chư ng 4 :

ĐA THỨC NỘI SUY & PHƯƠNG PHÁP

BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT

Bài 1: Đa thức nội suy

1.1 Đặt vấn đề:

Giả sử y và x liên hệ qua hệ thức y = f(x), trong đó hàm số f(x) không

Đa thức P(x) được gọi là đa thức nội suy tương ứng với bảng nội suy đã đo đạc được

Bài 2: Nội suy Lagrange

Giả sử có bảng nội suy sau: 0 1 2 n

Trang 29

Ví dụ : Cho bảng nội suy : x 1 2 3 5 7

Bảng nội suy được gọi là cách đều nếu khoảng cách giữa các mốc

nội suy x i là đều nhau Trong trường hợp ngược lại ta nói bảng nội suy (có các mốc) không cách đều

Trang 30

2 Đa thức nội suy Newton với các mốc không đều :

a Tỷ hiệu: Định nghĩa

b/ Viết đa thức nội suy y P(x) và tính y(4) ?

Trang 31

5

6

73

Ở đây ta ký hiệu : THi là tỷ hiệu tiến cấp i

TH là tỷ hiệu lùi cấp i *i

Đa thức nội suy Newton:

Trang 32

a/ Hãy lập bảng tính các tỷ hiệu

b/ Viết đa thức nội suy y P(x) và tính y(1)?

5

24

371

32

31

a/ Hãy lập bảng tính các tỷ hiệu

b/ Viết đa thức nội suy y P(x) và tính y(3)

3 Đa thức Newton với các mốc cách đều :

Cho bảng nội suy với mốc cách đều sau :

h x x x x  x x 

Hay x1  x0 h, x2 x0 2h, x3 x0 3h, , x n x0 nh

a Hiệu hữu hạn: Định nghĩa

Hiệu hữu hạn tiến :

 Cấp 1:

 yi yi 1 yi

 Cấp 2:

Trang 33

Trang 34

0

n 0

n

n n

Trang 35

f(x) 11,18 14,78 17, 89 23, 52 28, 56Viết đa thức nội suy Newton lùi và tính f(2, 68)?

Giải

Bảng nội suy trên là cách đều với h0,2

Ta có bảng hiệu hữu hạn sau

Trang 36

1 ĐẶT VẤN ĐỀ:

Trong quá trình đo đạc, đôi khi mức độ đo đạc không chính xác

nghĩa là f(x i ) không bằng y i nhưng vấn đề được đặt ra là ta phải lấy những giá trị mà ta không đo đạc được Phương pháp bình phương nhỏ nhất cho ta hàm có độ chính xác tốt nhất so với phép đo

Cụ thể như sau :

Trong đó :  1, , ,2  nlà các sai số (có thể âm)

Vậy ta cần tìm hàm f(x) sao cho tổng bình phương các sai số đạt GTNN

2 CÁC DẠNG XẤP XỈ HÀM

2.1 TRƯỜNG HỢP Y PHỤ THUỘC CÁC THAM SỐ MỘT CÁCH TUYẾN TÍNH

Trang 37

Ta cần tìm a, b để hàm S đạt GTNN

 Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ :

i 1

0aS

0 2 y a bx ( x ) 0b

i 1

S

aS

a bS

Trang 38

Giả sử đa thức cần tìm có dạng y a bx, với a, b thỏa :

 Cách xử lý máy tính bỏ túi

MS: Bước 1 : Mod  Mod  Reg  Lin(linear)

Bước 2 : Nhập từng cặp : x , y1 1 M

ES: Bước 1 : Mod  Stat  A+BX

Bước 2 : Nhập bảng dữ liệu : 1 1

Trang 39

Ví dụ 2:

Cho bảng nội suy : x 0, 78 1, 56 2, 34 3,12 3, 81

y 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28Xấp xỉ đa thức nội suy dạng y  a bxcx2 và tính y(2,5)?

 Cách xử lý máy tính bỏ túi

MS: Bước 1 : Mod  Mod  Quad (Quadratic)

Bước 2 : Nhập từng cặp : x , y1 1 M

2.1.3 Dạng 3: yf(x) a b cos xc sin x

Với a, b, c thỏa mãn hệ phương trình :

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	742,46 KB