Công thức lượng giác cơ bản nên nhớ 2... dPhương trình đối xứng đối với sin x và cos x 5sin 2sin cos cos 2 5sin 2sin cos cos 2sin cos 3sin 2sin cos cos 0 Rõ ràng cosx= không phải là ng
Trang 1TÓM TẮT LƯỢNG GIÁC 11
1 Công thức lượng giác cơ bản nên nhớ
2 Giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt
Cung đối nhau: a và a -
3 Công thức lượng giác
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
- =
=
=
-sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot
- =
=
=
-sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot
+ = -+ =
Cung bù nhau: a và p a - Cung hơn kém p : a và p a -
2
2
2
2
æ - ö=
æ - ö=
æ - ö=
æ - ö=
Cung phụ nhau: a và
2
p - a
2
2
2
2
p
p
p
p
æ + ö=
æ + ö=
æ + ö=
æ + ö=
Cung hơn kém
2
p : a và
2
p
a +
2
2
2
2
1
1
sin tan cot 1, ,
2
k k
k k
k k
p
a
a p
¢
¢
¢
sin cos (sin cos )(1 sin cos ) sin cos (sin cos )(1 sin cos ) sin cos 1 2sin cos
sin cos 1 3sin cos sin cos cos 2 (1 sin cos )
-cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
tan tan tan( )
1 tan tan
tan tan tan( )
1 tan tan
a b
a b
=
+ + + =
-Công thức cộng
2 3 3
3 2
sin 2 2sin cos cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2 tan tan 2
1 tan sin 3 3sin 4sin cos 3 4cos 3cos
3 tan tan tan 3
1 3tan
a a
a
a
a
=
-=
-=
-Công thức nhân đôi, nhân ba
Trang 24 Phương trình lượng giác cơ bản
Các phương trình sin x m = và cos x m = vô nghiệm khi m > và có vô số nghiệm khi 1 m £ 1
5 Một số phương trình lượng giác đơn giản, mẫu mực thường gặp
a) Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với một hàm số lượng giác
2
1 cos 2 tan
1 cos 2
a a
a
-=
+
Công thức hạ bậc
1 cos cos cos( ) cos( )
2 1 sin sin cos( ) cos( )
2 1 sin cos sin( ) sin( )
2
Công thức biến tích thành tổng
cos cos 2 cos cos
Công thức biến đổi tổng thành tích
4
2 cos( )
4
4
2 cos( )
4
p
p a p
p a
2
2
a
= + é
x u k
p
= + é
2
2
a
= + é
x u k
p p
= + é
= Û ê = - +ë ΢
tanx m= Û = +x a k p k΢,a =arctanm tanx=tanuÛ = +x u k p k΢
cotx m= Û = +x a k p k΢,a =arccotm cotx=cotuÛ = +x u k p k΢
2
0
0
at b
at bt c
+ =
+ + =
g
Với t là ẩn phụ và t= f x( )
Trong đó f x( )Î{sin ,cos , tan ,cotx x x x}
Chú ý:Chỉ nhận t £ khi 1 f x( )Î{sin ,cosx x}
Ví dụ:
( )
2sin 3x+ = ® + =1 0 2t 1 0 t=sin 3x
4cos 6x-3cos6x- = ®1 0 4t - - =3 1 0t t=cos6x
( )
2tan x-6 tanx- = ®12 0 2t - - =6 12 0t t=tanx
Trang 3b)Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
c)Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x
a x b + x c = a + b ¹
Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2+b2 £ c2
Cách giải: Biến đổi vế trái về dạng: sin( C x+a)hoặc cos(C x+b)
Giải các phương trình sau: a) 3 cosx+sinx= - 2 b) 4sinx-3cosx= 5
@Ví dụ:
Ta có:C= a2+b2 = ( 3)2+ = , 12 2
2 2
2 2
3
2
3 1
2
a
a b b
a b
p a
î
Vậy: 3 cosx+sinx= - Û2 Csin(x+a)= - 2
5
@Câu a
Ta có:C= a2+b2 = 42+32 = , 5
2 2
2 2
4
3
5 tan
5
a
a b b
a b
a
=
ï
î Vậy: 4cosx-3sinx= Û5 Csin(x+a) 5= 5sin( ) 5 sin( ) 1
Với tan 3
4
a =
@Câu b
a x b + x x c + x = a + + b c ¹
Cách giải:
Chia hai vế của phương trình đã cho, cho cos x (với cos2 0
2
x= Û = +x p k p
) Ta được:
a x b+ x c+ = ®at + + =bt c t= x
Chú ý: Chúng ta cũng có thể chia 2 vế của phương trình cho sin x (với sin2 x¹ Û ¹0 x kp )
Nếu phương trình được cho không thuần nhất: asin2x b+ sin cosx x c+ cos2x d = thì biến đổi:
(a d) sin x bsin cosx x (c d) cos x 0
Giải các phương trình sau:
a)sin2x-2sin cosx x-3cos2x= 0
b)5sin2x+2sin cosx x+cos2x= 2
Rõ ràng cosx= không phải là nghiệm Với cos0 x¹ 0
sin x-2sin cosx x-3cos x= Û0 tan x-2 tanx- =3 0
4 tan 3
arctan 3
k x
p
é
=
@Câu a
@Ví dụ:
Trang 4d)Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x
5sin 2sin cos cos 2 5sin 2sin cos cos 2(sin cos )
3sin 2sin cos cos 0
Rõ ràng cosx= không phải là nghiệm Với cos0 x¹ , ta có: 0
3sin x+2sin cosx x-cos x= 0
2
4
1 tan
arctan( )
x
p
é
ê
¢
@Câu b
Cách giải:
4
t= x+ x= x+p t £
2
2
1 2sin cos
1 sin cos
2
t
Þ = +
Thay vào phương trình đã cho, ta được
phương trình bậc hai:
2
2
1
2
t
at b+ - = Ûc bt + at- c - =
Giải phương trình:
a) 3(sinx+cos ) 2sin 2x + x+ =3 0 (1)
Giải
a) sin cos 2 sin( ), | | 2
4
t= x+ x= x+p t £
Ta có:
2
2
1
2
t
x= x x= - = - t
(1)Û +3t 2(t - + = Û1) 3 0 2t + + =3 1 0t
4
2 sin( )
1 sin( )
1 sin( )
2 2 (2 1)
1
4
2 2 1
4
2 2
x x
p p p
p
p
p
é
ê
-ê ê Û
-êë
é = - + ê
ê
ê ê Û
ê ê ê
ê ë
Giải phương trình:
b) sinx-cosx+4sin cosx x+ =1 0 (2)
Giải
a) sin cos 2 sin( ), | | 2
4
t= x- x= x-p t £
2
(sin cos ) 1 2sin cos
1 sin cos
2
t
2
2
1
2
t
1
2 sin( ) 1 3
4 2
2 2
2
t
x t
x k x
p
p p
=
-é
ê
-ê =
ë
= é ê
ë
2
t = > nên bị loại)
@Ví dụ
Lưu ý:
Ngoài cách giải như trên chúng ta cũng có thể sử dung công thức
hạ bậc để đưa phương trình đã cho về dạng bậc nhất theo sin ,cos x x
Trang 56 Phương trình lượng giác khác
Những phương trình lượng giác cơ bản, những phương trình lượng giác mẫu mực được trình bày trong mục 5. đã có phương pháp giải rõ ràng và cụ thể Tuy nhiên, trong thực tế giải toán chúng ta còn gặp rất nhiều phương trình lượng giác khác không nằm trong những dạng trên và không có phương pháp vạn năng nào chung cho mọi trường hợp Dù vậy, chúng ta có thể nêu ra một vài phương pháp chung cho việc giải những phương trình lượng giác
a) Biến đổi phương trình đã cho về những phương trình lượng giác cơ bản, mẫu mực mà ta đã biết cách giải
Ví dụ: Giải phương trình cos 5 sin 4 x x=cos 3 sin 2x x
sin(4 5 ) sin(4 5 ) sin(3 2 ) sin(2 3 )
sin 9 sin sin 5 sin
sin 9 sin 5
x k
x x k
p p
-é = ê
é
êë
b) Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích
Ví dụ: Giải phương trình sin x+sin 2x+sin 3x=cosx+cos 2x+cos3x
sin 2 2sin 2 cos cos 2 2 cos 2 cos
sin 2 (1 2cos ) cos 2 (1 2 cos )
(sin 2 cos 2 )(1 2 cos ) 0
sin 2 cos 2 cos( 2 ) cos 2
1
p
é é
ê
c) Nếu phương trình đã cho có nhiều hàm lượng giác khác nhau ( sin , cos x x ) thì biến đổi
phương trình đã cho về phương trình mới mà trong đó chỉ còn lại một hàm lượng giác Lúc đó,
có thể đặt ẩn phụ là hàm lượng giác đó
Ví dụ: Giải phương trình 3 12 tan 2 1 (1)
cot 2x+cos 2x+ x=
Điều kiện: sin 2 0 2
cos 2 0
x k x
x
p
ì ¹ ï
¹
Û
ïî
(1)Û3 tan 2x+ +1 tan 2x+tan 2x= Û6 tan 2x+4 tan 2x- =5 0 (2)
Đặt t=tan 2x
5 tan 2 5 arctan 5
p
é = + ê
d) Nếu phương trình đã cho có nhiều cung lượng giác khác nhau ( , 2 ,3 x x x ) thì biến đổi phương trình đã cho về phương trình mới mà tại đó chỉ còn lại một cung lượng giác Sau đó có thể dùng các công thức biến đổi lượng giác để đưa về phương trình tích hay tìm cách đặt ẩn phụ…
Trang 6Ví dụ: Giải phương trình 2
4 cos x-sin 4x-4cos 2x= 2
1 cos 2
4 2sin 2 cos 2 4cos 2 2
2
2 2 cos 2 2sin 2 cos 2 4cos 2 2
2sin 2 cos 2 2 cos 2 0
2 cos 2 (sin 2 1) 0
sin 2 1
4
x
+
é = + ê
= é
=
êë
e) Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về dạng: 2 2 0
0
0
A
B
= ì
î
Ví dụ: Giải phương trình 2
2
1
cos
x
Điều kiện: cos 0
2
p
2
2
1
cos sin 2 2sin 2 1 tan 2 tan 1 0
(sin 2 1) (tan 1) 0
sin 2 1 0 sin 2 1
x
f) Đánh giá các hàm hay biểu thức của phương trình:
2
A m
A m
B m
B m
+ = ì
= ì
ï ³ î
Ví dụ: Giải phương trình sin( x y+ ) cos(+ x y- ) 2=
Ta có: sin( ) 1, , sin( ) cos( ) 2 ,
cos( ) 1, ,
+ ³ "
ì
í - ³ "
î
Do đó: sin(x y+ ) cos(+ x y- ) 2=
2
, 2
2
k l x
k l
y
p
p
+
ì = +
ïî
¢
Trang 7BÀI TẬP
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
1 Giải các phương trình sau:
a) 4sinx-3cosx= 5 b)3cos 2 3 sin 9
2
c) 3sin 2x+2 cos 2x= 3 d) 2sin 2x+3cos 2x= 13 sin14x
2 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của mỗi hàm số, biểu thức sau:
a)y=(2- 3) sin 2x+cos 2x b)y=(sinx-cos )x 2+2 cos 2x+3sin cosx x
c)y=(sinx-2 cos )(2sinx x+cos ) 1x - d) 2( 2 6 )2
x xy P
xy y
+
= + + Với ,x yΡ và thỏa: 2 2
1
x +y =
(Câu d được trích từ đề tuyển sinh Đại học môn Toán khối B năm 2008)
3 Tìm giá trị của a để:
a) Phương trình:
2
(cosa+3sina- 3)x +( 3 cosa-3sina-2)x+sina-cosa+ 3 0= có nghiệm x= 1
b) Phương trình:
(2 cosa-cos a+1)x -( 3 sin )a x+3cos a- -(3 3) sina = có nghiệm 0 x= 3
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
4 Giải các phương trình sau:
a)sin2x-2sin cosx x-3cos2x= 0 b)6sin2x+sin cosx x-cos2x= 2
c) sin 2x-2sinx=2cos 2x d)2sin 22 x-3sin 2 cos 2x x+cos 22 x= 2
5 Giải các phương trình sau:
a)2sin3x+4 cos3x=3sinx
x æ p +xö+ x x = x x+ æp +xö x
6 Số đo của một trong các góc của tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình:
sin x+sin sin 2x x-3cos x= 0
Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông cân
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
7 Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để giải các phương trình sau:
a) sin sin 7x x=sin 3 sin 5x x b) sin 5 cos3x x=sin 9 cos 7x x
c) cos cos3x x-sin 2 sin 6x x-sin 4 sin 6x x= d)sin 4 sin 50 x x+sin 4 sin 3x x-sin 2 sinx x= 0
8 Dùng công thức biến đổi tổng thành tích để giải các phương trình sau:
a) sin 5x+sin 3x=sin 4x b) sinx+sin 2x+sin 3x= 0
c) cosx+cos 3x+2 cos 5x= 0 d) cos 22x+3cos18x+3cos14x+cos10x= 0
9 Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau:
sin sin 2 sin 3
2
x+ x+ x= b)sin 32 x+sin 42 x=sin 52 x+sin 62 x
c)sin 22 x+sin 42 x=sin 62 x d)cos2x+cos 22 x+cos 32 x+cos 42 x= 2
cos 3 cos 4 cos 5
2
8cos x= +1 cos 4x
g)sin4x+cos4x=cos 4x h)3cos 22 x-3sin2x+cos2x= 0
Trang 810 Giải các phương trình sau:
æ + ö+ æ - ö=
x
æ + ö æ - ö=
11 Giải các phương trình sau:
tan( 15 ) cot( 15 )
3
c) sin 2x+2cos 2x= +1 sinx-4cosx d)3sin4x+5cos4x- = 3 0
e)(2sinx-cos )(1 cos ) sinx + x = 2x f)1 sin cos 2+ x x=sinx+cos 2x
12 Giải các phương trình sau:
a) tan cos sin 2 0
2
x
x- x= b)sin6x+3sin2xcosx+cos6x= 1
sin cos sin cos
8
sin sin cos 4 cos 4
4
13 Biết rằng các số đo radian của ba góc của tam giác ABC là nghiệm của phương trình
2 3
x
x- - = CMR tam giác ABC là tam giác đều
14 Cho phương trình cos 2x-(2m+1) cosx m+ + = 1 0
a) Giải phương trình với 3
2
m=
b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm ;3
2 2
x æp p ö
Îçè ÷ø
15 Giải phương trình (2sinx-1)(2sin 2x+ = -1) 3 4 cos2x
16 Giải các phương trình:
a) sin 2x-12(sinx-cos ) 12 0x + = b)sin3x+cos3x= 1
17 Giải phương trình: 1 1 4sin 7
3
2
x
p p
(TSĐH Toán A-2008)
18 Giải phương trình: sin3 x- 3 cos3x=sin cosx 2x- 3 sin2xcosx
(TSĐH Toán B-2008)
19 Giải phương trình: 2sin (1 cos 2 ) sin 2x + x + x= +1 2 cosx
(TSĐH Toán D-2008)
20 Giải các bất phương trình sau:
a)sin 2 1
2