Copy (2) of 5.Chuong 4 docx

Khái niệm chung 4.1.1.Định nghĩa : Một thanh cân bằng dới tác dụng của các ngoại lực là các ngẫu lực nằm trong các mặt cắt của thanh thì thanh ấy gọi là thanh chịu xoắn.. Thanh tròn chịu

Sức bền vật liệu chơng 4

xoắn thanh tròn

Mục đích : Trình bày khái niệm về thanh tròn chịu xoắn và cách tính

toán sức bền cho thanh tròn chịu xoắn ấy

Yêu cầu : Nắm đợc khái niệm về thanh tròn chịu xoắn, bài toán siêu tĩnh khi xoắn và giải thành thạo 3 bài toán sức bền về thanh tròn chịu xoắn

4.1 Khái niệm chung

4.1.1.Định nghĩa :

Một thanh cân bằng dới tác dụng của các ngoại lực là các ngẫu lực nằm trong các mặt cắt của thanh thì thanh ấy gọi là thanh chịu xoắn

Ta chỉ nghiên cứu dạng mặt cắt đơn giản nhất là mặt cắt tròn

m m

Hình 4.1 Thanh tròn chịu xoắn

Ví dụ thực tế:

m

Hình 4.2 Thanh tròn chịu xoắn trong thực tế

4.1.2.Mô men xoắn nội lực :

Xét một thanh tròn chịu xoắn, ta dùng mặt cắt 1-1 cắt thanh tại một vị trí bất kỳ Xét sự cân bằng của phần bên trái, ta thấy nội lực trên mặt cắt phải thu gọn thành một mô -men có độ lớn bằng mô- men ngoại lực và ngợc chiều Đó là mô- men xoắn nội lực Mô- men xoắn nội lực ký hiệu là Mz

m m

m Mz

Sức bền vật liệu

m

Hình 4.3.Nội lực trong thanh tròn chịu xoắn

Mặt cắt 1-1 chọn tại vị trí bất kỳ vì vậy ta có thể kết luận: Trong thanh chịu xoắn nh trên ở mọi mặt cắt ngang nội lực chỉ có một thành phần là mô-men xoắn nội lực Mz

Kết luận: Vậy thanh chịu xoắn thuần tuý khi trên mọi mặt cắt của thanh

nội lực chỉ có thành phần M z.

Dấu của Mz quy ớc nh sau :

m m

Mz Mz

Mz  0 Mz  0

Hình 4.4 Quy ớc về dấu của thanh tròn chịu xoắn

Từ ngoài nhìn vào mặt cắt nếu mô- men xoắn ngoại lực quay cùng chiều kim đồng hồ thì mô- men xoắn nội lực dơng và ngợc lại

nó một chiều dơng ( quay ngợc chiều kim đồng hồ ) nếu tính ra đợc giá trị dơng thì chiều giả thiết đúng và ngợc lại

- Các mặt cắt khác nhau có mô- men xoắn nội lực khác nhau Để thấy rõ

sự biến thiên đó ngời ta cũng dùng biểu đồ nh trong ví dụ sau đây

Ví dụ 1: Tính và vẽ biểu đồ cho thanh chịu xoắn nh hình vẽ

Biết : mC = 1 kNm , mD = 3 kNm , mE = 2 kNm

Bài giải :

Căn cứ vào điểm đặt của mô-men xoắn ngoại lực chia thanhthành 4 đoạn :

AC , CD , DE và EB

Xét đoạn AC , dùng mặt cắt 1-1 cắt AC tại một vị trí bất kỳ Giữ lại phần bên phải xét sự cân bằng của nó ,dễ thấy đoạn này không có mô-men ngoại lực tác động nên mô-men xoắn nội lực bằng 0

Xét đoạn CD, dùng mặt cắt 2-2 cắt CD tại một vị trí bất kỳ ,xét sự cân bằng của phần bên phải : mZ = MZ1 - mC = 0

Từ đó : MZ1 = mC = 1 kNm

Xét đoạn DE , dùng mặt cắt 3-3 cắt DE tại một vị trí bất kỳ ,xét sự cân bằng của phần bên phải : mZ = MZ2 + mD - mC = 0

MZ2 = mC - mD = - 2 kNm

Đoạn EB tơng tự nh đoạn AC không có mô-men xoắn nội lực

Biểu đồ đợc trình bày nh hình vẽ

3 D

E mE mD 2 C

Sức bền vật liệu 1

B A 1

2

3 mC

Mz1

mD mC

1kNm

Mz2

- 2 kNm

Hình 4.5 Biểu đồ nội lực Mz

Chú ý : ở các đoạn thanh không có mô -men ngoại lực biểu đồ là một

đoạn thẳng trùng với đờng chuẩn

Tại vị trí đặt mô-men ngoại lực m biểu đồ có bớc nhảy , trị số bớc nhảy

đúng bằng trị số m

Giá trị dơng của MZ đặt ở trên đờng chuẩn , giá trị âm đặt ở dới đờng chuẩn

Trong một số bài toán thờng cho các số liệu N , n ,  lúc đó tính m nh sau : m =



N

; hay : m = 9,55

n

N

4.1.3 ứng suất xoắn :

a/ Thí nghiệm :

Xét một thanh chịu xoắn nh hình vẽ Kẻ trên mặt ngoài của thanh những

đờng sinh cách đều và song song với trục biểu thị cho thớ dọc , các đoạn thẳng vuông góc với trục biểu thị cho các mặt cắt ngang Tác dụng mô- men xoắn ngoại lực m vào thanh ta thấy :

Các đờng sinh đều lệch đi một góc  nào đó do vậy các ô chữ nhật đều biến thành các ô hình bình hành

Các đoạn thẳng vuông góc với trục thanh vẫn giữ thẳng có bán kính không

đổi về độ dài

Khoảng cách giữa các đoạn thẳng vuông góc với trục biểu thị cho các mặt cắt ngang không đổi

Sức bền vật liệu Trớc khi biến dạng

Sau khi biến dạng

m

Hình 4.6 Biến dạng khi xoắn

b/ Các giả thuyết về xoắn :

Coi biến dạng xảy ra bên trong thanh cũng nh biến dạng quan sát đợc ở bên ngoài, dựa vào các nhận xét trên ngời ta nêu ra ba giả thuyết sau:

1/ Sau khi biến dạng mặt cắt của thanh xoay quanh trục một góc nào đó nhng vẫn giữ phẳng và vuông góc với trục của thanh

2/ Khoảng cách giữa hai mặt cắt ngang trớc và sau biến dạng về xoắn không thay đổi

3/ Trớc và sau khi chịu biến dạng xoắn bán kính của mặt cắt vẫn là đoạn thẳng có chiều dài không đổi

Từ những giả thuyết trên ta suy ra rằng : Khi chịu xoắn chỉ xẩy ra hiện t ợng xoay của các mặt cắt ngang quanh trục thanh Do đó tại mọi điểm trên mặt cắt ngang chỉ phát sinh ứng suất tiếp vuông góc với bán kính đi qua điểm đó c/ Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp  :

Trên một thanh chịu xoắn xét một điểm A tại một mặt cắt bất kỳ cách ngàm một khoảng là l , cách trục một đoạn  Khi có mô - men xoắn ngoại lực theo giả thuyết trên , điểm A chuyển dời trên một cung tròn tới vị trí mới A'

Nh vậy thớ dọc BA đã xoay đi một góc tới vị trí mới BA' Lúc đó độ trợt tơng

đối  đợc tính:  =

l

A

A ' hay :  = 

l



Theo định luật Húc về cắt ứng suất tiếp tại A sẽ là : A = G  Vậy

A = G

l



.

(1 ) Lấy một diện tích vô cùng nhỏ dF bao quanh điểm A, nội lực trên đó sẽ là ( A dF ) và mô-men do nội lực đó gây ra là : ( A dF )  = A  dF

A’

B l

Sức bền vật liệu 

Hình 4.7 ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn

Tổng hợp mô - men nội lực trên toàn bộ diện tích F của mặt cắt chính

là mô- men xoắn nội lực trên toàn bộ mặt cắt ngang đó

Từ ngoài nhìn vào mặt cắt nếu mô- men xoắn ngoại lực quay cùng chiều kim đồng hồ thì mô- men xoắn nội lực dơng và ngợc lại

MZ = 

F

A..dF



MZ = 

F

dF l

G 2 .



MZ = G

l

 2.dF Ngời ta gọi đại lợng = 2.dF là mô- men quán tính độc cực của mặt cắt đối với tâm O và ký hiệu JO Nghĩa là : JO = 2.dF Vậy :

MZ = G

l

 JO

Hay :

l

 =

O

Z

J G

M

(2 ) Thay (2 ) vào (1 ) ta có :

A = 

O

z

J

M

(3 )

Đối với mỗi mặt cắt ngang ta có :

O

z

J

M

không đổi , vậy :

ứng suất tại một điểm trên mặt cắt ngang ( A ) tỉ lệ với bán kính  Khi 

= R thì  đạt giá trị lớn nhất :

max =

R J

M

O

Z

Ngời ta đặt O W O

R J



Sức bền vật liệu Vậy :

max =

O

Z

W

M

Rõ ràng max tỉ lệ nghịch với WO Nên WO càng lớn thì max càng nhỏ Vì vậy WO đợc gọi là mô -đun chống xoắn của mặt cắt ngang

Với mặt cắt tròn đặc có đờng kính là D thì : JO  0,1 D4

WO  0,2 D3 ma x

min

Hình 4.8 Sự phân bố của ứng suất xoắn trên mặt cắt ngang

4.1.4.Góc xoắn :

Theo công thức (2 ) ta có :

O

Z

J G

M



Vậy :

 =

O

Z

J G

l M

( Rađian) Đổi ra độ ta có :

 =



0

180

O

Z

J G

l M

( độ )

Để so sánh góc xoắn của thanh có chiều dài khác nhau ngời ta dùng khái niệm góc xoắn tơng đối Ký hiệu  Ta có :

 =

l

 =

0

.J

G

M Z

( Rađian / m )

Đổi ra độ ta có :

 =



0

180

0

.J

G

M Z

( độ/m )

Trong đó G.JO tỉ lệ nghịch với 

và đợc gọi là độ cứng khi xoắn GJO phụ thuộc vào từng loại vật liệu

Chú ý : Xét sự phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang ta thấy mặt cắt ngang chịu ứng suất không hợp lý , ở tâm ứng suất bằng 0 ,càng ra ngoài chu vi ứng suất càng lớn Vì vậy ở những kết cấu quan trọng ngời ta làm các thanh chịu xoắn có mặt cắt hình vành khăn Tỉ số D/d càng cao càng tốt Tuy nhiên

Sức bền vật liệu không thể chọn quá gần 1 vì lúc đó ống rất mỏng Vì vậy tuỳ theo điều kiện thực tế phải chọn d, D cho hợp lý

4.2.tính thanh tròn chịu xoắn

Khi tính toán thanh tròn chịu xoắn thờng ta phải tính cả hai điều kiện sau

đây :

4.2.1.Điều kiện bền :

Thanh chịu xoắn đảm bảo điều kiện bền khi ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt nguy hiểm không vợt quá ứng suất cho phép max =

O

Z

W

M

    Trong đó    là ứng suất tiếp cho phép của vật liệu , có thể xác định theo công thức kinh nghiệm sau đây :

   = ( 0,5  0,6 )   

Thực tế với thép     ( 2  13 ) kN/ cm2

Từ điều kiện bền ta cũng có ba bài toán cơ bản khi tính thanh chịu xoắn

4.2.2.Điều kiện cứng :

Thanh chịu xoắn đảm bảo điều kiện cứng khi góc xoắn tơng đối lớn nhất của thanh không vợt quá góc xoắn tơng đối cho phép

 



O Z O

J G

M

.

180

Từ điều kiện cứng ta cũng có ba bài toán cơ bản

Tính thanh chịu xoắn phải tính theo cả hai điều kiện trên Kết quả lấy theo hớng thoả mãn cả hai điều kiện đó

Ví dụ :

Trục truyền rỗng AB có đờng kính không đổi d1 = 10 cm , d2 = 5 cm chịu tác dụng của mô-men xoắn mC = 1kNm , mD = 3 kNm , mE = 1kNm , mF =1kNm Hày :

- Vẽ biểu đồ mô-men xoắn nội lực

- Tính ứng suất max và vẽ biểu đồ ứng suất trên mặt cắt nguy hiểm

- Tính góc xoắn của từng đoạn thanh và của toàn trục ,biết G = 8.10 3 kN/cm2

Bài giải :

a/ Biểu đồ mô-men xoắn nội lực :

Bằng phơng pháp vẽ nhanh ta xác định đợc biểu đồ mô-men xoắn nội lực nh hình vẽ Trên biểu đồ này ta thấy các mặt cắt ngang trên đoạn thanh DE có mô-men xoắn nội lực là lớn nhất : Mmaxz = 2kNm = 200 kNcm

b/ Tính ứng suất max và vẽ biểu đồ ứng suất trên mặt cắt nguy hiểm :

Ta có :

Sức bền vật liệu

1

max

ã max

1 ( 2 ,









d

M W

O

m z

=

) 10

5 1 ( 10 2 , 0

200

4

4 3

2

ứng suất  ứng với đờng kính d1 2 có thể xác định nh sau :

5 , 0 10

5

1

2

max

1







d

d





vậy : 1

 = 0,5 max = 0,5 1,07 = 0,535 kN / cm2

c / Tính góc xoắn :

- Đoạn CD :

O

CD Z CD

J G

l M

180





































4 4

3

10

5 1 10 1 , 0 10 8 14 , 3

200 ).

100 ( 180

- 0,153 (độ)

- Đoạn DE :

O

DE Z DE

J G

l M



































4 4

3

10

5 1 10 1 , 0 10 8 14 , 3

200 200 180

0,306 (độ)

A C D E F B

200cm 200cm 200cm 200cm 200cm

2kNm

1kNm

max

min

d

D

Sức bền vật liệu

Hình 4.9 Biểu đồ nội lực của thanh tròn , rỗng chịu xoắn

- Đoạn EF :

O

EF Z EF

J G

l M

180

































4 4

3

10

5 1 10 1 , 0 10 8 14 , 3

200 100 180

= 0,153 (độ)

Vậy góc xoắn trên toàn bộ thanh là :

  BC  CD  DE 0,306 (độ)

4.2.3 Bài toán siêu tĩnh khi xoắn :

Nhiều khi tính thanh chịu xoắn ta gặp bài toán siêu tĩnh Nghĩa là khi đó nếu chỉ dùng các phơng trình cân bằng tĩnh học thì không đủ để giải bài toán Lúc đó phải bổ xung thêm phơng trình dựa vào điều kiện biến dạng Thí dụ :

Cho một thanh tròn bị ngàm cả hai đầu Một mô- men ngoại lực m tác dụng vào thanh tại điểm C Cho GJO bằng hằng số , hãy vẽ biểu đồ nội lực của thanh ! Bài giải :

A 2a

A C B

MA

MB

mo

2/3 m0

1/3 m0

Hình 4.10 Biểu đồ ứng suất của thanh siêu tĩnh khi xoắn

Dới tác dụng của m tại hai đầu ngàm phát sinh hai mô - men MA và MB

quay quanh trục thanh Ta có :

 mZ = MA + MB - m0 = 0

Sức bền vật liệu Tởng tợng bỏ ngàm A , thanh trở thành tĩnh định Để tác dụng cơ học không thay đổi ta phải có A = 0 , Vậy :

MA a MA - m0

A = AC + CB = - + - 2a = 0

GJO GJO

Tính ra :

MA = 2/3 m0

MB = 1/3 m0

Ta có biểu đồ nh hình vẽ

câu hỏi và bài tập chơng 4 Câu hỏi :

1/ Thế nào là thanh chịu xoắn thuần tuý ? Cho ví dụ ?

2/Trong thanh chịu xoắn thuần tuý có các thành phần nội lực gì ? Cách xác định 3/Trình bày quy ớc về chiều của Mô - men xoắn nội lực?

4/ Nêu cách vẽ biểu đồ mô - men xoắn nội lực M z ?

5/ Trình bày các giả thuyết cơ bản khi nghiên cứu về thanh tròn chịu xoắn ? 6/ Giải thích công thức tính ứng suất tại một điểm bất kỳ trong thanh tròn chịu xoắn ? Nêu quy luật phân bố của chúng qua biểu đồ ?

7/ Khi tính về xoắn phải tính theo những điều kiện nào? các bài toán suy ra từ

đó ?

8/ Thế nào là các mặt cắt ngang hợp lý của thanh tròn chịu xoắn ? Cho thí dụ 9/ Thế nào là bài toán siêu tĩnh khi xoắn ?

Bài tập

1 Trục có đờng kính không đổi d = 75 mm chịu tác dụng của các mô - men xoắn: m1 = 100 kNcm , m2 = 60 kNcm , m3 = m4 = 20 kNcm Hãy :

a/ Vẽ biểu đồ mô - men xoắn nội lực của trục ?

b/ Kiểm tra bền cho trục , biết  = 9kN/ cm2

c/ Tính góc xoắn của thanh , kiểm tra điều kiện cứng , biết :

 = 0,4 (độ / m ) , G = 8.10 kN/ cm2 các kích thớc khác cho nh hình vẽ

100 cm 150 cm 200 cm

m4 m3 m2 m1

Sức bền vật liệu

2 Trục chịu tác dụng của các mô - men xoắn :

m1 = 4m0 , m2 = m3 = m4 = m5 = m0

- Hãy xác định và vẽ biểu đồ nội lực của trục ?

- Tính mo, biết :

d = 4 cm,  = 8 kN/ cm2 , G = 8.10 3 kN/ cm2,  = 0,85 (độ / m )

3 Trục thép truyền công suất N = 295 kW và có n = 300 vòng / ph Tính đờng kính trục biết :  = 8 kN/ cm2

 = 0,3 (độ / m ) , G = 8.10 3 kN/ cm2

4.Một trục tròn rỗng có d1 = 7,5 cm, d2 = 5 cm dài l =100 cm Khi trục chịu mô-men xoắn Mz = 350 kN.cm thì góc xoắn phatsinh trên trục là  = 10 Hãy:

- Xác định ứng suất lớn nhất trên mặt cắt của trục và vẽ biểu đồ phân bố ứng suất trên mặt cắt

- Xác định trị số mô-đun đàn hồi G của vật liệu?

5.Trục đặc AB có d= 8 cm, hai đầu ngàm Tại điểm C cách đầu A một đoạn 50

cm tác dụng một mô-men xoắn m = 750 kNm Hãy xác định ứng suất lớn nhất trên trục

50 cm 100 cm

A m C B