Báo cáo nghiên cứu khoa học: " VỀ MỘT VÀI ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN ĐỊA PHƯƠNG" ppsx

VỀ MỘT VÀI ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN ĐỊA PHƯƠNG Tô Anh Dũng Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM Bài nhận ngày 03 tháng 02 năm 2007 TÓM TẮT: Bài báo trình bày một vài định lý về điều kiện

VỀ MỘT VÀI ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN ĐỊA PHƯƠNG

Tô Anh Dũng

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM

(Bài nhận ngày 03 tháng 02 năm 2007)

TÓM TẮT: Bài báo trình bày một vài định lý về điều kiện cần và đủ của định lý giới

hạn địa phương cho dãy các véctơ ngẫu nhiên với phân phối giới hạn bất kỳ và định lý giới hạn địa phương của các hiệu

Từ khóa: Định lý giới hạn địa phương, định lý giới hạn địa phương của các hiệu

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Các định lý giới hạn địa phương với điều kiện cần và đủ cho phân phối giới hạn bất kỳ một chiều là một lớp bài toán đóng một vai trò không nhỏ trong lý thuyết xác suất và thống kê toán Tuy nhiên trong thực tế ngoài các biến ngẫu nhiên một chiều, còn gặp các biến nhiều chiều Vì vậy mục tiêu của bài báo này là mở rộng các định lý trên cho các không gian hữu hạn chiều Ngoài ra, bài báo còn xét một dạng định lý giới hạn địa phương khác, đó là định lý giới hạn địa phương của các hiệu trên các không gian nhiều chiều

Trong bài báo này chúng ta sử dụng một số ký hiệu truyền thống sau:

- Tập hợp các số nguyên

- Tập hợp các số thực

S - Không gian véctơ s-chiều với thành phần là các số nguyên

S

- Không gian véctơ s-chiều với thành phần là các số thực

2 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN ĐỊA PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN VÉCTƠ S-CHIỀU 2.1 Định lý giới hạn địa phương cổ điển

Trước hết ta đưa ra hai định lý giới hạn địa phương đã được xét trong [4] Ký hiệu

1

S = X + + X là tổng các biến ngẫu nhiên X1, , Xn,

1n( ) sup ( n ) ( n ) ,

m

∈

2( ) sup ( ) ( )

∈

r

r p x r p x , p x n( ) là hàm mật độ của S n, x ∈

Định lý 2.1.1 Giả sử Sn∈ và tồn tại dãy An∈ và bn∈ (bn → ∞) sao cho khi

n → ∞

n n ( )

n

S A

b

⎝ ⎠ , (1) trong đó F x ( ) là hàm phân phối với hàm mật độ p x ( ) liên tục đều trong Khi đó để , 1, 2,

k

X k = thỏa định lý giới hạn địa phương, nghĩa là

1 1

n

m A

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2) đều theo m ∈ , điều kiện cần và đủ là Δ1n( ) rn = o b ( n−1) với mọi dãy rn∈ mà ( )

r = o b Định lý sau cho trường hợp liên tục

Định lí 2.1.2 Giả sử (1) thỏa mãn Để X k k, =1, 2, thỏa định lý giới hạn địa phương, nghĩa là

b p An n( n + b xn ) → p x ( ) (3) đều theo x, điều kiện cần và đủ là từ n nào đó tồn tại hàm mật độ p xn( ) và

n vn o bn−

Δ = với mọi dãy vn∈ mà vn = o b ( )n

Việc nới rộng hai định lý trên cần các ký hiệu:

1

S = X + + X là tổng các véc tơ ngẫu nhiên X1, , Xn,

S

S

m

∈

2( ) sup ( ) ( )

S

r

∈

Δ = + − , p xn( ) là hàm mật độ của S n , x ∈ S,

1/ 2 2

1

S

i

i

=

= ⎜⎝∑ ⎟⎠ , trong đó x=( , , )x1 x S

Định lý 2.1.1’ Giả sử Sn∈ S và tồn tại dãy An∈ S và bn∈ (bn → ∞) sao cho khi n → ∞

n n ( )

n

S A

b

⎝ ⎠ , (1’) trong đóF x ( ) là hàm phân phối với hàm mật độp x ( ) liên tục đều trong S Khi đó để , 1, 2,

k

X k= thỏa định lý giới hạn địa phương, nghĩa là

1 1

m A

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2’) đều theo m ∈ S điều kiện cần và đủ là 1( ) ( S)

n rn o bn−

Δ = với mọi dãy rn∈ Smà ( )

r = o b

Định lí 2.1.2’ Giả sử (1’) thỏa mãn Để Xk , k = 1, 2, thỏa định lý giới hạn địa phương, nghĩa là

S ( ) ( )

b p A + b x → p x (3’)

đều theo x, điều kiện cần và đủ là từ n nào đó tồn tại hàm mật độ p xn( ) và

n vn o bn−

Δ = với mọi dãy vn∈ S mà vn = o b ( )n

2.2.Định lý giới hạn địa phương của các hiệu

Ta ký hiệu

V là định thức của ma trận V,

( )

k

X

f t là hàm đặc trưng của X k ,

( )

n

f t là hàm đặc trưng của S n

Định lý 2.2.1 Giả sử ∈ S

k

X có cùng phân phối với bước cực đại bằng một, có mômen

bậc ba hữu hạn và ma trận hiệp phương sai V không suy biến, khi đó

Δn r m S m an r S exp ( m an m an ) S

n

θ π

−

−

V

1

2 (2 )

(4)

trong đó, a E X= ( )k , θ ≤C F r( , )< ∞ , F là phân phối của X k

Hệ quả 2.2.1 Giả sử ∈ S

k

X có cùng phân phối với bước cực đại bằng một với kỳ vọng

bằng không, có mômen bậc ba hữu hạn và ma trận hiệp phương sai V không suy biến Khi đó

với mọi hằng số r và m

Δ1

+

−

2 2

n r m O n (5)

Nhận xét 2.2.1 Biểu thức (5) không đều theo m Hơn nữa theo (4), tồn tại C(F, r) và m n

sao cho Δ1

+

−

( , ) ( , ) S

n r m n C F r n

Nhận xét 2.2.2 Với điều kiện của định lý 2.2.1 định lý giới hạn địa phương thỏa mãn,

thậm chí với một đánh giá của số dư, tuy nhiên để nhận được (4) từ định lý giới hạn địa phương là không thể ( cần đòi hỏi tồn tại mômen bậc cao hơn để có được đánh giá số dư tốt

hơn)

Định lý sau xét trường hợp liên tục

Định lý 2.2.2 Giả sử ∈ S

k

X có cùng phân phối và với n0 nào đó tồn tại hàm mật độ bị chặn p x n

0( ), ngoài ra có mômen bậc ba hữu hạn và ma trận hiệp phương sai V không suy

biến, khi đó

Δn r x S x an r S exp ( x an x an ) S

n

θ π

−

−

V

1

2 (2 )

(6)

trong đó, a E X= ( )k , θ ≤C F r( , )< ∞ , F là phân phối của X k

2.3 Chứng minh

1) Chứng minh định lý 2.1.2’ : Ta ký hiệu

F n (x) – hàm phân phối của S n ,

sup ( ) ( )

S

ε

∈

νn =( , ,νn1 νn S),

i 2S , 1,2, ,

ν =⎡⎣ ε ⎤⎦ =

[ , ] a b là hình chữ nhật s-chiều

Đủ: Từ điều kiện (1’) ta có εn→0 , từ đó νn =o b ( )n Hơn nữa,

1

u A b x A b x u A b x A b x

Δ 1 1

1 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 S ( ) ( ) (1)1 S

ở đây, x n∈[ ,x x+νn] và Δ1 ( )

n

h h F x là hiệu bậc k của F(x) theo các thành phần của véctơ x với các số gia h 1 , …, h n

Từ đó, dop x( ) liên tục đều, ta có

S

b p A b x+ = p x +o = p x o+ Nghĩa là ta nhận được (3’)

Cần: Giả sử ta có (3’), khi đó

Δ2( ) sup ( ) ( )

S

x

∈

sup ( )

S

ν

∈

( S)

n

o b−

=

vì p x( ) liên tục tuyệt đối và n 0

n b

Định lý chứng minh xong

2) Chứng minh định lý 2.2.1

Từ công thức biến đổi ta có

Ω

( , ) ( , )

( , ) ( , )

1

(2 )

(2 )

(2 )

i m t i m r t

i m t i m r t

n S

t

i m t i m r t

n S

δ

π π π

≤

∫

∫

∫

1 [ 1 2]

(2 )S J J

π

= + (7) trong đó,

Ω {

Ω {

1 1

( , , ): , 1, , } ( , , ): , 1, , ; }

S i

S i

δ

Vì ma trận V xác định dương nên có thể chọn δ sao cho cầu {t ≤δ} nằm trong

elipxoid:

2 3/ 2 1/ 2

3 1

[ ( , ) ] : ( , ) sup

t

k

=

−

V

Và với δ đó, sử dụng định lý 8.4 của [2] ta nhận được

( , ) ( , )

1

3,

n

an t t t

i m t i m r t t

n t

δ

δ

θ

≤

≤

∫

∫

V

V

V

l =J11+J12 (8) trong đó, lj n, là phân số Liapunov:

1

( 2)/ 2 1

1

n

j k

j k

t

k k

−

− −

=

=

−

=

−

∑

∑

l

Ta có

( , ) ( , ) ( , ) 2( , )

S

n

an t t t

i m t i m r t

( i m t( , ) i m r t( , )) ( , )an t 2n( , )t t

t

δ

>

− ∫ − V = J11′ +J11′′ (9)

Theo công thức biến đổi ta có

11 / 2

S

n

V

Từ đó, sử dụng khai triển Taylor tại điểm m , nhận được

( ) 1( ( ), ( )) 2

/ 2 2

(2 )

S

m an m an n

S

S

m an r

+

+

-1

-1

V

V

V

(10)

Tiếp theo,

2( , ) 4( , ) 4( , )

11

′ ′

trong đó, t′∈ ∈{t S: t >δ } và C C F= ( )

Chú ý rằng, nếu α* là giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận V, thì giá trị nhỏ nhất của dạng toàn phương ( , )Vt t với điều kiện t =δ sẽ là δ α*≠ 0 Vì vậy

4 4( , ) 4 ( , )

2

n

t t S

C e

n

δ α

*

*

Do V đối xứng, không suy biến nên tồn tại ma trận Q sao cho Q VQ K′ = , trong đó K là

ma trận đường chéo, tạo thành từ các giá trị riêng αi của ma trận V Để tính tích phân cuối cùng, ta đổi biến với t Cx= :

( , )

i i S

S

x

t t

i

α α

∞

−

−

= −∞

V

trong đó x x=( , , )1 x S

Như vậy,

Cn S

C e J

n

−

′′ ≤

và từ đó nhận được

2 2 11

S

J′′ = ⎜o n⎛ − + ⎞⎟

⎝ ⎠ (11) Bây giờ ta đánh giá J12

12 i m t( , ) i m r t( , ) 3, 3/ 2 ( , )3/ 2 Cn t t( , )

n t

δ

θ

≤

3/ 2

3/ 2 ( , ) 1/ 2

S

Cn t t n

n

2

2

3/ 2 ( , ) 2

2

3/ 2 2

2

4 2

2

( , ) ( , )

( , )

S

S

S

C u u S

C u S

C u S

C

n

C

n

C

n

α

α

θ θ

θ

α

− +

− +

− +

∫

∫

∫

V

V

*

*

2

2

( , )

S

C F r

n +

≤ (12)

trong đó α* là giá trị riêng lớn nhất của ma trận V

Cuối cùng

Ω

′

≤ ∫

Vì X1 là véctơ ngẫu nhiên với thành phần nguyên với bước cực đại bằng một nên

Ω ( ) 1 ,

f t < t∈ ′

ở đây f t( ) hàm đặc trưng của X1 Do vậy

Ω

sup ( ) n, ( , ) 1

n

′

Từ đó nhận được J2 ≤(2 )π S a S Như vậy

2 2 2

S

J = ⎜o n⎛ − + ⎞⎟

⎝ ⎠ (13) Còn lại, thay (10), (11) vào (9) ; thay (9), (12) vào (8) Và từ (8), (13) và (7) suy ra (4) Định lý 2.2.1 được chứng minh xong

3) Chứng minh hệ quả 2.2.1

Theo định lý 2.2.1, do a = 0 ta có

2 1

2 (2 )

S

m r

n

θ π

+

−

V

Chứng minh xong

4) Chứng minh định lý 2.2.2

Từ điều kiện bị chặn của hàm mật độ p x n0( ) suy ra hàm đặc trưng f t n0( ) khả tích tuyệt đối, nghĩa là có công thức biến đổi cho n≥2n0 Vì vậy,

Δ

π

2( , ) 1 ( ( , ) ( , )) ( )

(2 )

i x t i x r t

(2 )

S

π

1 [ 1 2]

(2 )S J J

π

= + (14)

trong đó, δ được xác định trong chứng minh định lý 2.2.1 và tương tự ta nhận được

1

1

2

x an r

n

θ π

−

−

V

(15)

ở đây θ ≤C F r( , )< ∞

Ta xét J 2

2 n( ) n( ) n( ) [ 1 2]

Ta có

1

2 1

k

n

δ

′

= ∏ ∫ , trong đó t∈ ∈{t S:δ < t ≤H} Theo bổ

đề 2 [3]

1 1

1

( ) exp 2( 2 ) inf ( , )

k

n

d

k n

δ

Λ

≤ ≤

= +

∏

2n1( ) 1( , , )

t H

δ

δ

< ≤

∫

và

1

H d

X d C

δ

Λ

≤ ≤

′

≥ >

trong đó

1

2

( , ) infS ( , ( ) ,

S

S k

a

Λ

∈

= ∫< − > ∈ (xem [5]) Và < >α là khoảng cách từ số nguyên gần nhất đến α

Vì vậy I C1≤ 1exp{ 2(− n−2 ) }n C′1 hay

2 2 1

S

I = ⎜o n⎛ − + ⎞⎟

⎝ ⎠ (17) Tiếp theo ta có

1 1

2 1

k

n

′′

trong đó t′′∈ ∈{t S: t ≥H} Và

{ }

1

2 1

( ) exp 2( 2 ) inf ( , )

k

n

k n

πΛ

≥

= +

∏

1

2

inf ( , )

H d

X d C

π

Λ

≥

′′

≥ ( với H nào đó đủ lớn) Vậy

2 2 2

S

I = ⎜o n⎛ − + ⎞⎟

⎝ ⎠ (18) Cuối cùng, từ (14) – (18) suy ra (6) Định lý 2.2.2 được chứng minh xong

3 KẾT LUẬN

Bài báo có thể phát triển theo một số hướng sau:

- Nới rộng các định lí trên ra trường hợp vô hạn chiều

- Xem xét ứng dụng các định lí trên trong các mô hình thống kê phi tuyến

ON SOME LOCAL LIMIT THEOREMS

To Anh Dung

University of natural sciences, VNU-HCM

ABSTRACT: In this paper, the theorems of necessary and sufficient conditions of local

limit theorem for random vectors with any limit distribution and local limit theorems of differences are considered

Key words: Local limit theorem, local limit theorem of differences

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Kesten H Sum of independent random variables – without moment condition – Ann

Math Stat., Vol 42, No 3, p 701-703, (1972)

[2] Бхаттачария Р.Н., Paнгa Pao P Аппpoкcимaция нopмaльным pacпpeдeлeниeм и acимптoтичecкиe paзлoжeния Hayкa, (1982)

[3] A Б Лoкaльныe пpeдeльныe тeopeмы для плoтнocтeй cyмм нeзaвиcимых вeктopoв – Изв AН УзCCP, Cepия физ мaт нayк No 5, C 25-29, (1983) [4] Myxин A Б O нeкoтopых нeoбхoдимых и дocтaтoчных ycлoвиях лoкaльных пpeдeльных тeopeм – Дoкл AН УзCCP, No 8, C 7-8, (1984)

[5] To Aнь Зyнг Cглaживaниe pacпpeдeлeний пpи cyммиpoвaнии и лoкaльныe пpeдeльныe тeopeмы – Изв AН УзCCP, Cepия физ мaт нayк, No 2, C 44-51,

(1986)

[6] Tô Anh Dũng, Ung Ngọc Quang Về một định lí giới hạn địa phương trong không gian các ma trận Hội nghị khoa học trường Đại Học Khoa học Tự nhiên TPHCM,

(1993)