về tính ổn định mũ bình phương trung bình của một lớp hệvi phân ngẫu nhiên có bước nhảy Markov Nguyễn Tiến Thànha Tóm tắt.. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ cho tính
Trang 1về tính ổn định mũ bình phương trung bình của một lớp hệ
vi phân ngẫu nhiên có bước nhảy Markov
Nguyễn Tiến Thành(a)
Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định
mũ bình phương trung bình của một lớp hệ vi phân ngẫu nhiên.
I Mở đầu
Xét hệ vi phân ngẫu nhiên
D(r(t)) = [A(r(t))x(t) + F (x(t), r(t), u) + H(r(t))u]dt
+ G(x(t), r(t), u)dw(t), (1)
ở đây, {r(t)}t≥0là quá trình Markov nhận giá trị trong không gian trạng thái hữu hạn
S = {1, 2, , N }, với ma trận xác suất chuyển Γ = (γij)N ìN xác định bởi
P(r(t + ∆) = j|r(t) = i) =
(
γij∆ + o(∆) nếu i 6= j
1 + γii∆ + o(∆) nếu i = j với ∆ > 0 và γij ≥ 0là xác suất chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j được xác định
γii= −X
i6=j
γij
w(t) = (wt1, , wlt)T là quá trình Brown l- chiều
Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất Kí hiệu |.| chuẩn Euclid Nếu A là ma trận hoặc véc tơ, kí hiệu AT là ma trận chuyển và xác định kAk = sup{|Ax| : |x| = 1}
Đối với hệ (1.1) ta giả thiết A(i), D(i) và H(i) là các ma trận thuộc Rqìq, Rqìqvà Rqìp
chính tắc Brunovsky nghĩa là tồn tại các số nguyên dương k1(i), , kp(i)với Pp
j=1kj(i) =
q sao cho:
(1) A(i) là ma trận khối dạng
A(i) =
Ak1(i) 0 ã ã ã 0
0
0
0 ã ã ã 0 Akp(i)
,
1 Nhận bài ngày 05/4/2007 Sửa chữa xong 01/3/2008.
Trang 2với Ak j (i), 1 6 j 6 plà ma trận Rk j ìk J xác định bởi
Akj(i)=
0 1 0 ã ã ã 0 0
0 0 1 ã ã ã 0 0
ã ã ã
0 0 0 ã ã ã 0 1
0 0 0 0 ã ã ã 0 0
;
(2) H(i) là ma trận khối dạng
H(i) =
bk1(i) 0 0 ã ã ã 0 0
0 bk2(i) 0 0 0
ã ã ã ã
0 0 0 ã ã ã bkp−1(i) 0
0 0 0 ã ã ã 0 bkp(i)
,
ở đây bk j (i), 1 6 j 6 plà véc tơ cột thuộc Rk j xác định bởi
bkj(i)=
0
0 1
(3) D(i) là ma trận xác định tương tự A(i)
(4) F = (F1, , Fq) : Rqì S ì Rp−→ Rqvà G = (G1, , Gq) : Rqì S ì Rp −→ Rqìlsao cho
F (0, i, 0) = G(0, i, 0) = 0
và tồn tại λ > 0 sao cho thoả mãn ∀j, 1 6 j 6 q, x ∈ Rqvà u ∈ Rp,
|Fj(x, i)| + |Gj(x, i)| 6 λ|πj(x)|
với πj là phép chiếu chính tắc từ Rqvào Rj;
(5) u là biến điều khiển ngược tuyến tính Xét α ∈ R, α > 1, với mọi i ∈ S và xác
định ma trận chéo
φ(i) =
α−1i 0 ã ã ã 0
0
0
0 ã ã ã 0 αi−q
ã
Trang 3Do giả thiết của cặp ma trận (A(i), H(i)) khi đó tồn tại ma trận K(i) ∈ Rpìq(R)sao cho
M (i) = A(i) + H(i)K(i)là ma trận ổn định Tức là tồn tại duy nhất ma trận đối xứng, xác định dương P (i) thoả mãn phương trình sau
MT(i)P (i)D(i) + DT(i)P (i)M (i) = −I (2)
Định nghĩa 1.1 Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ (1) gọi là ổn định mũ bình phương trung bình nếu tồn tại α, tồn tại β dương sao cho
Ekx(t, t0, x0)k26 αkx0k2e−β(t−t0 ),với mọi t ≥ t0
Bổ đề 1.1 ([3]) Với các giả thiết về F và G như trên, với mọi x ∈ Rq và u ∈ Rpta có
|φ(i)F (x, i, u)| 6√qλ|φ(i)x|
|φ(i)G(x, i, u)| 6√qλ|φ(i)x|
Bổ đề 1.2 ([3]) Ta có các tính chất sau
(i) αiφ−1(i)A(i)φ(i) = A(i); αiφ−1(i)D(i)φ(i) = D(i),
(ii) với mọi ma trận K(i) ∈ Rpìq, khi đó tồn tại ma trận K(i) sao cho
H(i)K(i) = αiφ−1(i)H(i)K(i)φ(i)
và K(i) xác định bởi
K(i) = αiHT(i)φ−1(i)H(i)K(i)φ(i),
(iii) Với mọi x ∈ Rq
α−qi |x| 6 |φ(i)x| 6 α−1i |x|
Giả sử V ∈ C2,1(Rnì R+ì S; R+), ta xác định một toán tử LV từ Rnì R+ì S vào
Rbởi
LV (x, t, i) = Vt(x, t, i) + Vx(x, t, i)f (x, t, i)
+1
2trace[g
T(x, t, i)Vxx(x, t, i)g(x, t, i)] +
N
X
j=1
γijV (x, t, i),
ở đây
f (x, t, i) = F (x(t), r(t), u) g(x, t, i) = G(x(t), r(t), u)dw(t)
Trang 4Vt= ∂V
∂t , Vx= (
∂V
∂x1, ,
∂V
∂xn)
Vxx= ( ∂
2V
∂xi∂xj
)nìn
Định lý 1.1 ([4]) Nếu tồn tại hàm V (x, i) ∈ C2,1(Rnì R+ì S; R+)và các hằng số dương
c1, c2 và c3 sao cho
c1|x|2 6 V (x, i) 6 c2|x|2 và
LV (x, i) < −c3|x|2 thì nghiệm tầm thường của hệ (1) ổn định mũ bình phương trung bình
II kết quả chính
Định lý 2.1 Với u = K(i)x thì nghiệm tầm thường của hệ (1) ổn định mũ bình phương trung bình nếu tồn tại αi, i ∈ S sao cho điều kiện sau được thoả mãn
−α2
iφ2(i) +PN
j=1γijDT(j)φ(j)D(j) p(2λαikDk√q + qλ2)kP kφ(i) p(2λαikDk√q + qλ2)kP kφ(i) −I
!
< 0
Bổ đề 2.2 ([2]) Cho M, N, R là các ma trận hằng với chiều phù hợp sao cho R = RT và
M = MT Khi đó M + NR−1NT < 0 khi và chỉ khi
M N
NT −R
< 0
ở đây R = RT là ma trận đối xứng xác định dương
Chứng minh định lý 2.1 Nhờ bổ đề 1.2, với mỗi i ∈ S tồn tại ma trận K(i) ∈ Rpìq(R) sao cho
A(i) + H(i)K(i) = αiφ−1(i)M (i)φ(i) (3)
Ta lấy hàm Lyapunov như sau
V (x, i) = (D(i)x)Tφ(i)P (i)φ(i)(D(i)x)
Khi đó
LV (x, i) =trace[GT(x, i, u)φ(i)P (i)φ(i)G(x, i, u)]+
2xTDT(i)φ(i)P (i)φ(i)F (x, i, u) + xT
N
X
j=1
γijDT(j)φ(j)P (j)φ(j)D(j)x
+ xT[(A(i) + H(i)K(i))Tφ(i)P (i)φ(i)D(i)
+ DT(i)φ(i)P (i)φ(i)(A(i) + H(i)K(i))]x
Trang 5Đặt kP k = max{kP (i)k, i ∈ S}, kDk = max{kD(i)k, i ∈ S}, theo các đẳng thức (2), (3)
ta có
LV (x, i) = 2αixTφ(i)DT(i)P (i)φ(i)F (x, i, u)+
+ xT
N
X
j=1
γijDT(j)φ(j)P (j)φ(j)D(j)x
+ α2ixTφ(i)[(M (i)TP (i)D(i) + DT(i)P (i)M (i)]φ(i)x
+trace[GT(x, i, u)φ(i)P (i)φ(i)G(x, i, u)]
6 −α2ixTφ(i)φ(i)x + xT
N
X
j=1
γijDT(j)φ(j)P (j)φ(j)D(j)x
+ kP k2αikDk|φ(i)x||φ(i)F (x, i, u)| + |φ(i)G(x, i, u)|2 Theo bổ đề 1.1 ta có :
|φ(i)F (x, i, u)| 6√qλ|φ(i)x|
|φ(i)G(x, i, u)|2 6 qλ2|φ(i)x|2 suy ra
LV (x, i) 6 −α2
i+(2αikDk√qλ+qλ2)kP k|φ(i)x|2+xTPN
j=1γijDT(j)φ(j)P (j)φ(j)D(j)x
Từ bổ đề 2.2 và kết hợp với giả thiết ta suy ra tồn tại c > 0 sao cho
LV (x, i) 6 −c|x|2
Từ đó, sử dụng định lí 1.1 ta có nghiệm tầm thường của hệ (1) ổn định mũ bình phương trung bình
Tài liệu tham khảo
[1] A El Bouhtouri and K El Hardi, Robust stabilization of jump linear systems with multi-plicative noise, IMA Journal math control and information 20, 1-19, 2003
[2] Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, R and Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in system and Control Theory,SIAM, Philadelphia, 1994
[3] Florchinger, P., A Iggidr, G Sallet, Stabilization of a class of nonlinear stochastic systems,Stoch Proc Appl., 50, 235-243, 1994
[4] Mao, X., stability of stochastic differential equations with Markovian switching, Stoch Proce Appl., 79, 45-67, 1999
Summary
on the exponential stability in mean square for a class of stochastic differential systems with Markovian switching
In this paper we give a sufficient condition of exponential stability in mean square for a class of stochastic differential systems
(a)Trường Cao đẳng nghề Nha Trang.