CÁC MÔ HÌNH VÀ PHẦN MỀM TỐI ƯU - CHƯƠNG 4 potx

Chương IV GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU BẰNG PHƯƠNG PHÁP THOẢ DỤNG MỜ 1.. Như vậy, chúng ta cần phải tối ưu hoá cực đại hoá hoặc cực tiểu hoá tuỳ theo tình huống thực

Chương IV

GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU

BẰNG PHƯƠNG PHÁP THOẢ DỤNG MỜ

1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Phát biểu mô hình

Trong các bài toán kĩ thuật, công nghệ, quản lý, kinh tế nông nghiệp v.v nảy sinh từ thực tế, chúng ta thường phải xem xét để tối ưu hoá đồng thời một lúc nhiều mục tiêu Các mục tiêu này thường là khác nhau về thứ nguyên, tức là chúng được đo bởi các đơn vị khác nhau Những tình huống như vậy tạo ra các bài toán tối ưu đa mục tiêu Như vậy, chúng ta cần phải tối ưu hoá (cực đại hoá hoặc cực tiểu hoá tuỳ theo tình huống thực tế) không phải là chỉ một mục tiêu nào đó, mà là đồng thời tất cả các mục tiêu đã đặt ra

Bài toán tối ưu đa mục tiêu mà trong đó miền ràng buộc D là tập lồi đa diện và các mục tiêu zi = zi(x), với i = 1, 2,…, p, là các hàm tuyến tính xác định trên D, được gọi là BTQHTT đa mục tiêu

Với mục đích tìm hiểu bước đầu, BTQHTT đa mục tiêu (BTQHTT đa mục

tiêu) được phát biểu như sau (Bài toán 1):

Max Cx với ràng buộc x ∈ D, trong đó: C là ma trận cấp p × n và D = {x ∈

Rn: Ax ≤ b} với A là ma trận cấp m × n và b ∈ Rm.

Các hàng của ma trận C là các véc tơ gradient c1, c2, …, cp của các hàm mục tiêu z1 = c1Tx , z2 = c2Tx , …, zp = cpTx

Ví dụ:

Giải BTQHTT hai mục tiêu

z1 = 8x1+ 6x2 → Max z2 = x1 + 3x2 → Max với các ràng buộc:

Ta có thể viết bài toán này dưới dạng ma trận như sau: Max Cx với ràng buộc

x ∈ D = {x∈ R2 : Ax ≤ b}, trong đó x = (x1, x2)T, b = (60, 48)T, còn

C = 8

1

⎡

⎢

⎣

6 3

⎤

⎥

⎦ , A =

4 2

2 4

⎣ ⎦

Có thể nói, BTQHTT đa mục tiêu là BTQHTT mà trong đó chúng ta phải tối

ưu hoá cùng một lúc nhiều mục tiêu Tuy nhiên, các mục tiêu này thường đối chọi cạnh tranh với nhau Việc làm tốt hơn mục tiêu này thường dẫn tới việc làm xấu đi

4x1 + 2x2 ≤ 60 2x1 + 4x2 ≤ 48 x1, x2 ≥ 0

(D)

một số mục tiêu khác Vì vậy việc giải các bài toán tối ưu đa mục tiêu, tức là tìm ra một phương án khả thi tốt nhất theo một nghĩa nào đó, thực chất chính là một bài toán

ra quyết định

1.2 Phương án tối ưu Pareto

Khái niệm then chốt trong tối ưu hoá đa mục tiêu là khái niệm phương án tối ưu

Pareto Xét Bài toán 1 , chúng ta cần biết các định nghĩa và định lý sau đây

Định nghĩa 1

Một phương án tối ưu Pareto x* có tính chất sau đây:

− Trước hết nó phải thuộc vào miền các phương án khả thi của bài toán, tức là phải thoả mãn tất cả các ràng buộc: x* ∈ D

− Xét phương án khả thi x ∈ D, x ≠ x* Nếu tồn tại tại một chỉ số i ∈ {1, 2, …, p} sao cho zi(x) > zi(x*) thì tồn tại j ∈ {1, 2, …, p}, j ≠ i, sao cho zj(x) < zj(x*)

Nói một cách khác, không tồn tại một phương án khả thi nào x ∈ D có thể trội hơn x* trên tổng thể tất cả các mục tiêu

Định nghĩa 2

Một phương án tối ưu Pareto yếu x* có tính chất sau đây:

− Trước hết nó phải thuộc vào miền các phương án khả thi của bài toán, tức là phải thoả mãn tất cả các ràng buộc: x* ∈ D

− Xét một phương án khả thi x ∈ D, x ≠ x* Nếu tồn tại tại một chỉ số i ∈ {1, 2,

…, p} sao cho zi(x) > zi(x*) thì tồn tại j ∈ {1, 2, …, p}, j ≠ i, sao cho zj(x) ≤ zj(x*)

Để nhận biết tập phương án tối ưu Pareto chúng ta cần tới các định nghĩa sau

Định nghĩa 3

Nón cảm sinh bởi các véc tơ gradient c1, c2, …, cp của các hàm mục tiêu được

gọi là nón tiêu chuẩn (criterion cone)

Để tìm tập các phương án tối ưu Pareto chúng ta có thể sử dụng tập các điểm trội

Định nghĩa 4

Cho x ∈ D Tập điểm trội tại x là tập Dx = { x }⊕ C≥, với C≥ = {x = (x1, x2) ∈ R2 : Cx ≥ 0, Cx ≠ 0}là nón đối cực nửa dương (semi-positive polar cone)

Định lý 1: Xét Bài toán 1 Lúc đó: x ∈ D là phương án tối ưu Pareto khi và

chỉ khi Dx ∩ D = { x }

Chứng minh

Giả sử x là phương án tối ưu Pareto và Dx ∩ D ≠ { x } Lúc đó tồn tại ˆx ∈ x

D ∩ D sao cho ˆx ≠ x và ˆx = x + x với x ∈ C≥ Do Cx ≥ 0, Cx ≠ 0 nên C ˆx ≥ C x

và C ˆx ≠ C x Điều này vô lí do x là phương án tối ưu Pareto

Ngược lại, giả sử Dx ∩ D = { x } Lúc này nếu tồn tại ˆx ≠ x sao cho C ˆx ≥

C x và C ˆx ≠ C x thì ˆx ∉ D Vậy x là phương án tối ưu Pareto „

Để minh hoạ các định nghĩa 1, 3 và 4, chúng ta xét lại ví dụ đã biết

Ví dụ: Giải BTQHTT hai mục tiêu

z1 = 8x1+ 6x2 → Max z2 = x1 + 3x2 → Max với các ràng buộc:

Miền các phương án khả thi D (miền giới hạn bởi tứ giác ABCD) được biểu thị trên hình I, c1(8, 6) là véc tơ gradient và hướng tăng của mục tiêu 1, còn c2(1, 3) là véc

tơ gradient và hướng tăng của mục tiêu 2 Trên hình, chúng ta có thể thấy nón cảm sinh β và tập điểm trội α tại G ∈ AB Dễ thấy, tập hợp P tất cả các phương án tối ưu Pareto bao gồm các điểm nằm trên đoạn AB với A(0, 12) và B(12, 6)

1.3 Phương pháp thoả dụng mờ giải BTQHTT đa mục tiêu

Cho tới thời điểm hiện nay, hàng chục phương pháp giải BTQHTT đa mục tiêu

đã được đề cập tới trong các tạp chí chuyên ngành, mà đa số chúng đều có những ứng dụng rất thành công trong nhiều lĩnh vực, như: phương pháp tham số, phương pháp nón pháp tuyến, phương pháp véc tơ cực đại, phương pháp trọng số tương tác của Chebysev, phương pháp thoả dụng mờ tương tác của Nguyễn Hải Thanh Sau đây, chúng tôi xem xét phương pháp thoả dụng mờ tương tác cải biên, gọi vắn tắt là phương pháp thoả dụng mờ Phương pháp này là phiên bản cải tiến của phương pháp

4x1 + 2x2 ≤ 60 2x1 + 4x2 ≤ 48 x1, x2 ≥ 0

(D)

c1(1,3)

1

x2

A(0, 12)

B(12, 6)

C(15,0)

Minh hoạ hình học BTQHTT hai mục tiêu

c2(8,6)

α

β

O

G

thoả dụng mờ tương tác đã được đề xuất trước đây, với một số sửa chỉnh thích hợp nhằm đưa ra không phải chỉ một phương án tối ưu Pareto thoả mãn nhất mà là một tập

SP các phương án tối ưu Pareto cần xem xét

Thuật giải thoả dụng mờ giải BTQHTT đa mục tiêu

a Bước khởi tạo

i) Nhập số liệu cho các hàm mục tiêu tuyến tính zi (i = 1, 2, , p) và m điều kiện ràng buộc cho Bài toán 1 Giải BTQHTT cho từng mục tiêu zi (i = 1, 2, , p) với miền ràng buộc D được xác định bởi m ràng buộc ban đầu để thu được các phương án tối ưu x1, x2, , xp (nếu với một mục tiêu nào đó bài toán không cho phương án tối ưu thì cần xem xét để chỉnh sửa lại các điều kiện ràng buộc ban đầu)

ii) Tính giá trị các hàm mục tiêu tại p phương án x1, x2, , xp và lập bảng pay−off Xác định giá trị cận trên B

i

z và giá trị cận dưới w

i

z của mục tiêu zi (i =1, 2, , p), với B

i

z = zi(xi) và w

i

z = Min {zi(xj): j = 1, 2, …, p}

iii) Xác định các hàm thoả dụng mờ μ1(z1), μ2(z2), , μp(zp) cho từng mục tiêu theo công thức:

w

i i

i i

z z (z ) , i 1, 2, ., p.

−

− iv) Đặt: SP = {x1, x2, , xp}, k :=1 và (k)

i

a = B

i

z với i = 1, 2, , p

b Các bước lặp (xét bước lặp thứ k)

Bước 1:

i) Xây dựng hàm thoả dụng tổ hợp từ các hàm thoả dụng trên:

u = w1μ1(z1) + w 2μ2(z2) + + w pμp(zp) → Max Trong đó: w1, w2, , wp là các trọng số (phản ánh tầm quan trọng của từng hàm thoả dụng trong thành phần hàm thoả dụng tổ hợp) được người giải lựa chọn thoả mãn điều kiện:

w1 + w 2 + + w p = 1 và 0 ≤ w 1, w 2, , w p ≤ 1

ii) Giải BTQHTT với hàm thoả dụng tổ hợp với m ràng buộc ban đầu và p ràng buộc bổ sung zi(x) ≤ (k)

i

a , i = 1, 2, , p, để tìm được phương án tối ưu của bước lặp thứ k là x(k) và giá trị của các hàm mục tiêu zi cũng như của các hàm thoả dụng μi(zi) (với i =1, 2, , p)

Bước 2:

i) Nếu μmin = Min {μi(zi): i = 1, 2, , p} bé hơn một ngưỡng t nào đó (t được lựa chọn trong đoạn [0, 1] và có thể được sửa chỉnh lại trong quá trình giải bài toán) thì phương án tìm được x(k) không được chấp nhận Trong trường hợp trái lại, phương

án x(k) được chấp nhận vào tập SP các phương án tối ưu Pareto cần xem xét nếu x(k) ∉

SP

ii) Nếu người giải bài toán còn muốn tiếp tục mở rộng tập SP thì đặt k := k + 1

Nếu k > L1 hoặc số lần bước lặp liên tiếp tập SP không được mở rộng vượt quá L2 (L1 và L2 được người giải tùy chọn) thì đặt (k)

i

a = B

i

z với i = 1, 2, , p và chọn ngẫu nhiên một chỉ số h ∈ {1, 2, , p} để đặt lại giá trị (k)

h

a ∈ ( w

h

z , B h

z ]

Quay về bước 1

iii) Nếu người giải bài toán không muốn mở rộng tập SP thì chuyển sang bước 3

Bước 3:

i) Loại khỏi tập SP các phương án bị trội

ii) Kết thúc

Ví dụ: Giải BTQHTT hai mục tiêu

z1 = 8x1+ 6x2 → Max z2 = x1 + 3x2 → Max với các ràng buộc:

a Bước khởi tạo

i) Giải BTQHTT cho từng mục tiêu trong ví dụ trên ta có hai bài toán: z1 = 8x1 + 6x2 → Max với điều kiện ràng buộc (D) cho phương án tối ưu x1(12, 6) và Max z1 = 132;

z2 = x1 + 3x2 → Max cho phương án tối ưu x2(0, 12) và Max z2 = 36

ii) Lập bảng pay−off cho các mục tiêu

Phương án Xi z1 z2

X1(12, 6)

X2(0, 12)

132

72

30

36

Dựa trên thông tin của bảng pay−off, ta có W

1

z = 72, B

1

z = 132; còn W

2

z = 30,

B

2

z = 36 Do đó, đoạn biến thiên cần xét cho z1 là [72, 132] và cho z2 là [30, 36]

iii) Thiết lập các hàm thoả dụng mờ ứng với hai mục tiêu đã cho như sau:

1 1(z )

μ 1B 1ww

−

=

− = 132 72

72

1

−

−

60

1

60 = 60

1

z − 1,2

Hàm thoả dụng mờ trên đây phụ thuộc vào z1, nên phụ thuộc vào (x1, x2) Khi

có một phương án khả thi (x1, x2) ta tính được độ thoả dụng μ1( z1) đối với mục tiêu z1 Tương tự đối với z2 ta có hàm thoả dụng mờ:

4x1 + 2x2 ≤ 60 2x1 + 4x2 ≤ 48 x1, x2 ≥ 0

(D)

μ2(z )2 = 2 w2

−

− = 36 30

30

2

−

−

6

2

z − 5

iv) Tập SP ban đầu là {x1, x2} Đặt k = 1, ta có (1)

1

a = 132, (1)

2

a = 36

b Các bước lặp

Bước 1:

i) Lập hàm thoả dụng tổ hợp u = w1 μ1(z )1 + w2 μ2(z )2 , trong đó w1, w2 là các trọng số thoả mãn 0 ≤ w1, w2 ≤ 1 và w1 + w2 = 1 Chọn w1 = 0,5 và w2 = 0,5, thì có u = 0,5 (

60

1

z − 1,2) + 0,5 (

6

2

z − 5) = (

120

1

12

2

z ) − 3,1

ii) Để cực đại hoá hàm thoả dụng tổ hợp, ta chỉ cần tìm Max z1 z2

120 12

chúng ta cần giải bài toán: Max u =

120

1

12

2

z với các ràng buộc (D), hay bài toán

tương đương: z = 120u/18 = x1 + 2x2 → Max, với các ràng buộc (D) Giải BTQHTT này ta sẽ có kết quả x(1) = (0, 12)

Bước 2:

i) Rõ ràng x(1) ≡ x2 Vậy tập SP chưa được mở rộng

ii) Nếu người giải muốn tiếp tục mở rộng tập SP thì đặt k = 2 và quay về bước

1 Quá trình giải được tiếp tục

Trong bước lặp thứ 2, đặt w1 = 0,8, w2 = 0,2, (2)

1

a = 132 và (2)

2

a = 36 sẽ thu được phương án x(2)(12, 6) ≡ x1 Do đó tập SP vẫn chưa được mở rộng

Trong bước lặp thứ 3, đặt w1 = 0,8, w2 = 0,2, (3)

1

a = 120 và (3)

2

a = 36 sẽ thu được phương án x(3) (9,6; 7,2) mà tại đó z1 = 120 và z2 = 31,2 Tập Sp lúc này là tập {x1, x2, x(3)}

Trong bước lặp thứ 4, đặt w1 = 0,2, w2 = 0,8, (4)

1

a = 132 và (4)

2

a = 35 sẽ thu được phương án x(4) (2; 11) mà tại đó z1 = 82 và z2 = 35 Tập Sp lúc này là tập {x1, x2,

x(3), x(4)}

Giả sử người giải không muốn tiếp tục mở rộng tập SP thì chuyển sang bước 3

Bước 3:

i) Trong các phương án thuộc tập SP không có phương án nào bị trội

ii) Kết thúc với tập SP các phương án cần xem xét Các phương án này đều có

“tính chất tối ưu Pareto” theo một nghĩa nhất định (xem các định lý 3, 4 và 5 ngay tiếp theo)

Xét các BTQHTT sau đây ( Bài toán 1):

Max Cx với ràng buộc x ∈ D, trong đó:

C là ma trận cấp p × n và D = {x ∈ Rn: Ax ≤ b, }

với A là ma trận cấp m × n và b ∈ Rm

Các hàng của ma trận C là các véc tơ gradient c1, c2, …, cp của các hàm mục tiêu z1 = c1Tx , z2 = c2Tx , …, zp = cpTx

Bài toán 2:

Giống như Bài toán 1 với p ràng buộc bổ sung zi(x) ≤ (k)

i

a , i = 1, 2, , p, trong

đó (k)

i

a = B

i

z , với mọi i ∈ {1, 2, , p}, i ≠ h, còn (k)

h

a ∈ ( w

h

z , B h

z )

có phương án tối ưu với mọi i = 1, 2, , p thì Bài toán 2 cũng có phương án

Chứng minh

Miền ràng buộc D’ của Bài toán 2 được viết là D’ = D ∩ {x ∈ D: zh(x) ≤ (k)

h

a }, trong đó D là miền ràng buộc của Bài toán 1 Rõ ràng D’ chứa điểm xj ∈ D (xj là phương án tối ưu của BTQHTT với miền ràng buộc D và với mục tiêu zj) sao cho W

h

z

= zh(xj) Vậy D’ ≠ ∅ „

Định lý 3: Các phương án tìm được trong quy trình giải trên đây tại bước 1 của bước lặp k với 0 < w 1, w 2, , w p < 1 với p ràng buộc bổ sung zi(x) ≤ (k)

i

a = B

i

z , i =

1, 2, , p, đều là các phương án tối ưu Pareto của Bài toán 1

Các phương án tìm được trong quy trình giải trên đây tại bước 1 của bước lặp

k với 0 < w 1, w 2, , w p < 1 với p ràng buộc bổ sung zi(x) ≤ (k)

i

a , i = 1, 2, , p, trong

đó (k)

i

a = B

i

z , với mọi i ∈ {1, 2, , p}, i ≠ h, còn (k)

h

a ∈ ( w

h

z , B h

z ) đều là các phương án tối ưu Pareto của Bài toán 2

Chứng minh

Việc chứng minh không quá khó khăn Chúng ta có thể trình bày việc chứng minh định lý 3 sử dụng ví dụ đang xét để minh hoạ „

Định lý 4: Các phương án tìm được trong quy trình giải trên đây tại bước 1 của bước lặp k với 0 ≤ w 1, w 2, , w p ≤ 1 với p ràng buộc bổ sung zi(x) ≤ (k)

i

a = B

i

z , i = 1,

2, , p, đều là các phương án tối ưu Pareto yếu của Bài toán 1

Các phương án tìm được trong quy trình giải trên đây tại bước 1 của bước lặp

k với 0 ≤ w 1, w 2, , w p ≤ 1 với p ràng buộc bổ sung zi(x) ≤ (k)

i

a , i = 1, 2, , p, trong

đó (k)

i

a = B

i

z , với mọi i ∈ {1, 2, , p}, i ≠ h, còn (k)

h

a ∈ ( w

h

z , B h

z ) đều là các phương án tối ưu Pareto yếu của Bài toán 2

Chứng minh

Việc chứng minh định lý 4 là không quá khó khăn, hoàn toàn tương tự như việc chứng minh định lý 3 „

phương án của Bài toán 2 thì x cũng là phương án tối ưu Pareto của Bài toán 2

Ngược lại, nếu x là phương án tối ưu Pareto của Bài toán 2 đồng thời zh(x) ≠ (k)

h

a thì x cũng là phương án tối ưu Pareto của Bài toán 1

Chứng minh

Gọi D và P theo thứ tự là tập phương án và tập phương án tối ưu Pareto của

Bài toán 1, còn D’ và P’ theo thứ tự là tập phương án và tập phương án tối ưu Pareto

của Bài toán 2

Giả sử x ∈ P ∩ D’ và x ∉ P’ Lúc đó tồn tại x’ ∈ D’ sao cho zi(x’) ≥ zi(x), với mọi i = 1, 2, , p và tồn tại ít nhất một chỉ số j ∈ {1, 2, , p} sao cho zj(x’) > zj(x)

Do D’⊂ D và x ∈ P nên đây là điều vô lí Vậy x ∈ P’

Ngược lại, cho x ∈ P’ với zh(x) ≠ (k)

h

a và x ∉ P Lúc đó, tồn tại x’ ∈ D sao cho zi(x’) ≥ zi(x), với mọi i = 1, 2, , p và tồn tại ít nhất một chỉ số j ∈ {1, 2, , p} sao cho zj(x’) > zj(x) Rõ ràng x’ ∉ D’ ( do giả thiết x ∈ P’) nên suy ra x’ ∈ D \ D’ Vậy zh(x’) > (k)

h

a > zh(x)

Mặt khác, x” = λx + (1 - λ)x’ ∈ D với mọi λ ∈ (0, 1) Dễ dàng tìm được λ ∈ (0, 1) sao cho zh(x”) = λzh(x) + (1 - λ)zh(x’) < (k)

h

a Do đó x” ∈ D’ Ta cũng có ngay: zh(x”) = λzh(x) + (1 - λ)zh(x’) ≥ zi(x), với mọi i = 1, 2, , p và tồn tại ít nhất một chỉ

số j ∈ {1, 2, , p} sao cho zj(x”) > zj(x) Điều này là vô lí vì x ∈ P’ „

Chú ý

Theo định lý 5, các phương án tìm được trong quy trình giải trên đây tại bước

1 của bước lặp k với 0 < w 1, w 2, , w p < 1 với p ràng buộc bổ sung zi(x) ≤ (k)

i

a , i =

1, 2, , p, trong đó (k)

i

a = B

i

z , với mọi i ∈ {1, 2, , p}, i ≠ h, còn (k)

h

a ∈ ( w

h

z , B h

z ) đều

là các phương án tối ưu Pareto của Bài toán 2 và đều là phương án tối ưu Pareto của Bài toán 1 nếu zh(x) ≠ (k)

h

a

2 GIẢI BTQHTT ĐA MỤC TIÊU

BẰNG CHƯƠNG TRÌNH MÁY TÍNH MULTIOPT

2.1 Ví dụ

Giải BTQHTT hai mục tiêu

z1 = 8x1+ 6x2 → Max z2 = x1 + 3x2 → Max với các ràng buộc:

4x1 + 2x2 ≤ 60 2x1 + 4x2 ≤ 48 x1, x2 ≥ 0.

(D)

File vào ten3.txt

2 2 2 0 0 1

60 48

4 2

2 4

8 6

1 3

File ra t3.out

CHUONG TRINH QUY HOACH TUYEN TINH BAI TOAN DA MUC TIEU

BAI TOAN TIM CUC DAI

BANG DON HINH

SO BIEN : 2

SO RANG BUOC : 2

MA TRAN RANG BUOC

4.00000 X1 + 2.00000 X2 < 60.00

2.00000 X1 + 4.00000 X2 < 48.00

I - Ket qua cac ham muc tieu

HAM MUC TIEU 1

Z[1] = 8.00000 X1 + 6.00000 X2

*** Nghiem toi uu tim thay sau : 3 Buoc lap *** PHUONG AN TOI UU ( X[1] )

Bien Gia tri

X1 = 12.00000

X2 = 6.00000

Cac bien khac bang khong

CUC DAI : 132.0000000

***** Ket thuc ham muc tieu 1 *****

HAM MUC TIEU 2

Z[2] = 1.00000 X1 + 3.00000 X2

*** Nghiem toi uu tim thay sau : 2 Buoc lap *** PHUONG AN TOI UU ( X[2] )

Bien Gia tri

X2 = 12.00000

X3 = 36.00000

Cac bien khac bang khong

CUC DAI : 36.0000000

***** Ket thuc ham muc tieu 2 *****

***** KET THUC CAC HAM MUC TIEU *****

II - Bang Pay-Off

Z[1] Z[2]

X[1] 132.0000000 30.0000000

X[2] 72.0000000 36.0000000

Gia tri Max - Min tung muc tieu

MAX[1] = 132.0000000 MIN[1] = 72.0000000 MAX[2] = 36.0000000 MIN[2] = 30.0000000 III - Ket qua ham lien hop

Gia tri cac trong so - lan thu 1

w[1] = 0.50000

w[2] = 0.50000

HAM MUC TIEU LIEN HOP 1

Z = 0.1500000 X1 + 0.3000000 X2

Phan le = -3.1000000

*** Nhieu loi giai ***

*** Nghiem toi uu tim thay sau : 2 Buoc lap *** *** Nghiem suy bien ***

PHUONG AN TOI UU LIEN HOP 1

Bien Gia tri

X2 = 12.00000

X3 = 36.00000

X5 = 60.00000

X6 = 0.00000

Cac bien khac bang khong

CUC DAI : 3.6000000

Gia tri cua cac ham thoa dung - Lan thu 1

Z[1] = 72.0000000 pZ[1] = 0.0000000

Z[2] = 36.0000000 pZ[2] = 1.0000000

Gia tri Max cua ham lien hop 1 : 0.5000000

***** Ket thu ham muc tieu lien hop 1 ***** Gia tri cac trong so - lan thu 2

w[1] = 0.80000

w[2] = 0.20000

HAM MUC TIEU LIEN HOP 2

Z = 0.1400000 X1 + 0.1800000 X2

Phan le = -1.9600000

*** Nghiem toi uu tim thay sau : 3 Buoc lap *** *** Nghiem suy bien ***

PHUONG AN TOI UU LIEN HOP 2

Bien Gia tri

X1 = 12.00000

X2 = 6.00000

X5 = 0.00000

X6 = 6.00000

Cac bien khac bang khong

CUC DAI : 2.7600000

Gia tri cua cac ham thoa dung - Lan thu 2

Z[1] = 132.0000000 pZ[1] = 1.0000000

Z[2] = 30.0000000 pZ[2] = 0.0000000

Gia tri Max cua ham lien hop 2 : 0.8000000

***** Ket thu ham muc tieu lien hop 2 ***** Gia tri cac trong so - lan thu 3