CÁC MÔ HÌNH VÀ PHẦN MỀM TỐI ƯU - CHƯƠNG 5 potx

Chúng ta nhắc lại rằng trong mô hình này, các hệ số của các hàm mục tiêu và ràng buộc nói chung được giả sử là các giá trị thực xác định giá trị rõ.. Vì vậy, cần tìm kiếm một phương pháp

Chương V

MÔ HÌNH VÀ PHẦN MỀM TỐI ƯU PHI TUYẾN ĐA MỤC TIÊU

1 BÀI TOÁN TỐI ƯU PHI TUYẾN TRONG MÔI TRƯỜNG MỜ / NGẪU

NHIÊN

1.1 Phát biểu bài toán và phương pháp mức ưu tiên

Xét mô hình tối ưu đa mục tiêu:

Min fj(X), X = (x1, x2, …, xn) j=1, 2,…, p (p ≥2)

với: (i) gj(X) ≤ 0, j = 1, 2, …, k,

(ii) gj(X) = 0, j = k+1, k+2, …, m, (iii) ai ≤ xi ≤ bi, i = 1, 2, …, n

Chúng ta nhắc lại rằng trong mô hình này, các hệ số của các hàm mục tiêu và ràng buộc nói chung được giả sử là các giá trị thực xác định (giá trị rõ) Nhưng trong các bài toán thực tiễn không phải lúc nào cũng như vậy Các hệ số có thể thuộc loại mờ hay ngẫu nhiên tuỳ theo bản chất của chúng cũng như sự đánh giá chủ quan của con người Vì vậy, cần tìm kiếm một phương pháp tổng quát hơn có khả năng giải quyết các bài toán tối ưu đa mục tiêu (với hệ số) mờ và ngẫu nhiên sau đây:

với:

(5.1)

Ký pháp ~ được sử dụng để chỉ các tham số mờ, ký pháp ^ dùng để chỉ các tham

số ngẫu nhiên, ký pháp được hiểu là phép cộng trong môi trường mờ (trong trường hợp không gây ra hiểu nhầm, có thể vẫn dùng ký pháp +)

Trong bài toán trên yi(X), với i=1, 2, …, n, là các hàm tuyến tính hay phi tuyến của x1, x2, …, xp trong môi trường rõ và được xác định trong miền S = [a1,b1] × [a2,b2]×

… × [ap,bp] Є Rp Với n=p và yi=xi với mọi i=1, 2, …,n, thì bài toán trở thành bài toán tối ưu đa mục tiêu mờ/ngẫu nhiên tuyến tính (MultiObjective Mixed Fuzzy-Stochastic Linear Programming Problem-MOFSLPP)

Đồng thời cũng giả sử rằng các tham số mờ tuân theo quy luật phân bố khả năng Mỗi tham số mờ được viết dưới dạng bộ bốn số: điểm tham chiếu trái, điểm tham chiếu phải, độ căng trái và độ căng phải:

(5.2)

chiếu trái và phải trùng nhau và lúc đó, yếu tố mờ được biểu diễn bởi 3 điểm (dạng tam giác) Ngoài ra, chúng ta cũng giả sử các tham số ngẫu nhiên tuân theo các luật phân bố xác suất chuẩn và được coi là các biến ngẫu nhiên độc lập

Một trong các phương pháp giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu trong môi trường hỗn hợp mờ/ngẫu nhiên là phương pháp tương tác dựa trên mức ưu tiên (Preference Level Interative Method) với các mức ưu tiên được người ra quyết định sửa chỉnh dần trong quá trình đối thoại / tương tác với máy tính Như vậy, thông qua một quy trình tính toán được máy tính trợ giúp, người ra quyết định sửa chỉnh dần các quyết định trung gian để cuối cùng sẽ chọn ra trong các phương án tối ưu Pareto một phương án tốt nhất dựa trên cơ cấu ưu tiên của mình Phương pháp này cho phép giải các bài toán tuyến tính và phi tuyến với các biến nguyên cũng như biến liên tục Cần chú ý rằng, phương pháp này đã sử dụng hướng tiếp cận mờ hoá trong đó việc xử lý các mục tiêu ngẫu nhiên dựa trên cơ sở của mô hình kỳ vọng suy rộng E (Extended E-model) và các ràng buộc ngẫu nhiên được mờ hoá Do đó, người ra quyết định (decision maker)/ người giải bài toán tạo được sự cân bằng giữa mục tiêu/ràng buộc ngẫu nhiên

và mục tiêu/ràng buộc mờ trong quá trình lặp để tìm phương án tối ưu thoả dụng

Phương pháp tương tác dựa trên mức ưu tiên giải bài toán bao gồm ba thành

iii) Một thuật toán tối ưu toàn cục cho phép giải bài toán tối ưu đơn mục tiêu được hình thành trong môi trường rõ tại mỗi pha lặp

1.2 Xử lý các ràng buộc

Các ràng buộc ngẫu nhiên (1(iv)) có thể được biểu diễn trong môi trường mờ

dựa trên ràng buộc khả năng được mờ hoá (fuzzified chance constraints) Giả sử người

ra quyết định đã xác định mức mong đợi mờ của xác xuất là ~p mà tại đó ràng buộc k'

ngẫu nhiên thứ k’ phải được thoả dụng:

(5.3) Bất đẳng thức (5.3) có thể được giải thích như sau: Xác suất vế trái phải thật sự lớn hơn ~p , với k' ~p được xác định bởi số mờ dạng tam giác k' ~p k' (p k p k p k')LK

' ' , ,

p và p là giá trị trung bình, độ căng trái và độ căng phải ( các hàm tham chiếu k'

L và R được coi là tuyến tính)

Để xác định mức mong đợi mờ ~p , người ra quyết định chỉ cần xác định giá trị k'

trung bình p k' và độ căng trái bởi vì độ căng phải không có ý nghĩa trong (5.3) So với phương pháp ràng buộc khả năng thông thường trong quy hoạch ngẫu nhiên, phương

pháp tiếp cận ràng buộc khả năng mờ cho phép sự linh động trong việc xác định mức xác suất cực tiểu của ràng buộc ngẫu nhiên Sử dụng ký hiệu:

, bất đẳng thức (5.3) được xử lý bởi:

(5.4) (5.5) Điều kiện (5.4) có nghĩa là các ràng buộc ngẫu nhiên phải được thoả mãn tối thiểu tại mức p k' –

μ là hàm thuộc (membership function) của Prob aˆk' (Y)−bˆk' ≤0 ]

biểu diễn đánh giá chủ quan (của người ra quyết định) về xác suất ứng với ~p Sử k'

dụng ký hiệu:Prob k' = Prob aˆk' (Y)−bˆk' ≤0 ] , (.)

'

~s

k C

μ được định nghĩa như sau:

μ cho trên hình sau:

(1(iii)) có mức hàm thuộc lớn hơn ε phải không vượt quá b j’ + b j’ (1-ε), với ε Є [0,1] là

mức tin cậy xác định bởi người ra quyết định Hàm thuộc (.)

'

~s k

C

μ có thể được giải thích như sự đánh giá chủ quan về ∑=

n

R

i y a

1 ' tương ứng với số mờ b ở vế phải Nó ~j'

có thể được biểu diễn bởi một hàm tuyến tính phân hai đoạn như sau:

(5.10)

1 ' tương ứng với độ thoả dụng chốt mong muốn đạt được λ* và có thể được thay đổi trong quá trình tương tác lặp Giá trị của nó được xác định bởi người ra quyết định và nằm trong khoảng b j’ và b j’ + b j’

Các mục tiêu ngẫu nhiên (1(ii)) có thể được giải thích dựa trên mô hình kỳ

vọng suy rộng và được xử lý trong môi trường mờ một cách thích hợp Trước hết, với mỗi mục tiêu ngẫu nhiên, giá trị kỳ vọng / mong đợi lớn nhất ( ký hiệu là e k) được tính

toán dựa trên các ràng buộc (5.7) và (5.8) Nói cách khác, chúng ta thu được e k từ bài toán tối ưu đơn mục tiêu sau:

Ở đây, E là ký hiệu của kỳ vọng toán (mathematical expectation) Ký hiệu

Xử lý mục tiêu này như mục tiêu mờ trong quy hoạch mờ, ta có:

(5.11)

với h~k là mức độ mong muốn mờ xác định bởi người ra quyết định cho xác suất

vế trái Ký hiệu h~k = (h k , h k ) LL và xử lý (5.11) giống như đã làm với (5.3), ta được:

(5.12)

(5.13)với s

xác suất P ~ rob k , được định nghĩa như sau:

(5.14)

Trong (5.14), h c k ∈(h k −h k' ,h k)là giá trị xác định bởi người ra quyết định và có nghĩa tương tự như a

Xử lý các mục tiêu mờ (1(i)) tương tự như các ràng buộc mờ Ký hi ệu d~j = (d j ,

~

c k

Bất đẳng thức mờ này tương đương với hệ điều kiện sau:

(5.16) (5.17) Bất đẳng thức (5.16) có nghĩa là bất cứ giá trị có thể nào của mục tiêu thứ j

n jn j

c~ 1 1 +~ 2 2 + +~ với mức hàm thuộc lớn hơn ε đều không được nhỏ hơn d j – dj

i

L

jiy c

∑ =1 tương ứng với d~j ) được định nghĩa như sau:

(5.18)

trong đó, d được xác định bởi người ra quyết định và có thể được chỉnh sửa c j

trong quá trình tương tác lặp Rõ ràng là d là một kiểu mức ưu tiên / chốt của c j

∑=1 tương ứng với độ thoả dụng chốt mong muốn đạt được λ*

1.4 Sử dụng thông tin pay-off để đoán nhận e , k d~j

Với mục đích trợ giúp quá trình xác định mức ưu tiên / chốt cho độ trượt

với giá trị nhỏ nhất được chọn trong tập {Y s * = Y(X s * ), s = 1,2,…,m+q}

Giá trị (e k −e k) có thể coi như là độ trượt lớn nhất của e k, và vì thế người ra quyết định xác định giá trị của

trong đó, giá trị min được tính ra trên tập {Y s * = Y(X s * ), s = 1, 2,…, 2m+q} với

X s * (s = 1, 2,…, 2m+q) là các phương án tối ưu của 2m+q bài toán sau:

dạng pay-off ẩn chứa trong bài toán Tuy nhiên, người ra quyết định có thể chủ động xác định các mức ưu tiên trên kết hợp với / hay không kết hợp với thông tin pay-off

1.5 Mô hình tất định tương đương của bài toán

Với cách biểu diễn và xử lý các mục tiêu và ràng buộc như trên, MOFSPP được viết lại thành:

(5.26)

Sử dụng toán tử min (Bellman-Zadeh min-operator) làm toán tử kết hợp

tất định sau:

(5.27)

1.6 Khái niệm tối ưu hoá PL-Pareto

Khái niệm sau đây về phương án tối ưu PL-Pareto (Preference Level - PL) được

định nghĩa cho các bài toán dạng (5.1):

Định nghĩa 1 Phương án X của (5.26) được gọi là tối ưu PL-Pareto yếu với bài

toán (5.1) tại mức độ tin cậy ε và các độ trượt

k

e với mọi k, nếu không tồn tại một phương án khác X’ của (5.26) mà tại đó tất cả các mức xác suất của mục tiêu ngẫu nhiên và ràng buộc ngẫu nhiên (P ~ rob k với mọi k, P ~ rob k với mọi k’) và tất cả các giá

trị với độ thực hiện cao nhất (các điểm chốt trái của các mục tiêu mờ n i L i

ji y c

1 ' , ∀ ), đều tốt hơn các '

giá trị tương ứng đạt được tại X

Định nghĩa 2 Phương án X của (5.26) được gọi là tối ưu PL-Pareto với bài toán

(5.1) tại mức độ tin cậy ε và các độ trượt e k với mọi k, nếu không tồn tại một phương

án khác X’ của (5.26) mà tại đó tất cả các mức xác suất của mục tiêu ngẫu nhiên và ràng buộc ngẫu nhiên (P ~ rob k với mọi k, P ~ rob k với mọi k’) và tất cả các giá trị với độ thực

hiện cao nhất (các điểm chốt trái của các mục tiêu mờ và các điểm chốt phải của vế trái

của các ràng buộc mờ), lần lượt, đều không tồi hơn các giá trị tương ứng đạt được tại X,

và ít nhất một trong số các giá trị đó là tốt thực sự

Định lý 1

(i) Nếu X là phương án tối ưu toàn cục của (5.27) (λ là giá trị tối ưu của hàm mục tiêu của (5.27) đạt được tại X với 0<λ<1) thì X là phương án tối ưu PL-Pareto yếu của (5.1) với mức độ tin cậy ε và các độ trượt e k đã lựa chọn

(ii) Nếu X là phương án tối ưu toàn cục duy nhất của (5.27) (λ là giá trị tối ưu của hàm mục tiêu của (5.27) đạt được tại X với 0<λ<1) thì X là phương án tối ưu PL-Pareto của (5.1) với mức độ tin cậy ε và các độ trượt e k đã lựa chọn

Để giải quyết bài toán max-min (5.27), cần một giải thuật tính toán hiệu quả Thuật giải RST2ANU được thiết kế bởi C.Mohan và Nguyễn Hải Thanh có thể được áp dụng trong thành phần thứ ba của phương pháp tương tác dựa trên mức ưu tiên

2 THUẬT GIẢI TƯƠNG TÁC LẶP PRELIME VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

2.1 Phát biểu thuật giải

Có thể tóm tắt các bước giải bài toán tối ưu đa mục tiêu mờ / ngẫu nhiên như sau:

Bước khởi tạo

(Cụm từ “xác định” dùng để chỉ hành động của người ra quyết định)

Bước 1: Giải bài toán tất định max-min (5.27), sau đó cung cấp cho người ra

quyết định / người sử dụng các thông tin sau :

(i) Phương án thoả hiệp (compromising solution) ( 1 , 2 , , l )

p l l

tương ứng của hàm mục tiêu tổng hợp λ l

(ii) Giá trị của các điểm tham chiếu trái của các mục tiêu mờ n i L i

ji y c

(iii) Giá trị của các điểm tham chiếu phải của vế trái của các ràng buộc mờ

b ', j’= 1 ,2,…,m’; e k , k=1,2,…,q để cải thiện kết quả

(iii) Nếu λ1 < λ* + δ thì Xl không phải là phương án thoả mãn Cần phải tăng ít nhất một trong các đại lượng: a

(iv) Tăng l lên 1 đơn vị rồi quay lại bước 1

2.2 Bài toán Chakraborty

Một xí nghiệp sản xuất ba loại sản phẩm 1, 2, và 3 Các dữ liệu về giá cả, chi phí, lợi nhuận,… của các loại sản phẩm và mức dự trữ hiện có được cho trong bảng sau Bài toán đặt ra là xác định số lượng các loại sản phẩm (sản xuất trong một ngày) sao cho:

i) Tổng lợi nhuận thu được là lớn nhất

ii) Tổng mức độ mong muốn sử dụng sản phẩm của khách hàng là lớn nhất

Tiêu hao / đơn vị

sản phẩm

Sản phẩm 1 Sản phẩm 2 Sản phẩm 3 Mức dự trữ

hiện có Điện và thiết bị 0,5 4 2 130 Thời gian N(2,1) N(3,1) N(1, 0,4) N(102, 2) Nguyên liệu (7, 7, 2, 2)LR (10, 10, 1, 1)LR (9, 9, 2, 2)LR (420, 20)RRLợi nhuận N(11,1) N(14, 2) N(5, 0,5)

Độ thỏa mãn của

người tiêu dùng (2, 2, 1, 1)LR (7, 7, 2, 2)LR (5, 5, 1,1)LR

Ví dụ trên dẫn đến việc giải bài toán sau:

với các ràng buộc

.0793 0832 0871 0910 0948 0987 1026 1064 1103 1141 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224 2258 2291 2324 2357 2389 2422 2524 2486 2518 2549 2580 2612 2642 2673 2704 2734 2764 2794 2823 2852 2881 2910 2939 2967 2996 3023 3051 3078 3106 3133 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389 3413 3438 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 3621 3643 3665 3686 3708 3729 3749 3770 3790 3810 3830 3849 3869 3888 3907 3925 3944 3962 3980 3997 4015 4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 4177 4192 4207 4222 4236 4251 4265 4279 4292 4306 4319 4332 4345 4357 4370 4328 4394 4406 4418 4429 4441 4452 4463 4474 4484 4495 4505 4515 4525 4535 4545 4554 4564 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 4633 4641 4649 4656 4664 4671 4678 4686 4693 4699 4706 4713 4719 4726 4732 4738 4744 4750 4756 4761 4767 4772 4778 4783 4788 4793 4798 4803 4808 4812 4817 4821 4826 4830 4834 4838 4842 4846 4850 4854 4857 4861 4864 4868 4871 4875 4878 4881 4884 4887 4890 4893 4896 4898 4901 4904 4904 4909 4911 4913 4916 4918 4920 4922 4925 4927 4929 4931 4932 4934 4936 4938 4940 4941 4943 4945 4946 4948 4949 4951 4952 4953 4955 4956 4957 4959 4960 4961 4962 4963 4964 4965 4966 4967 4968 4969 4970 4971 4972 4973 4974 4974 4975 4976 4977 4977 4978 4979 4979 4980 4981 4981 4982 4982 4983 4984 4894 4985 4985 4986 4986 4987 4987 4987 4988 4988 4989 4989 4989 4990 4990 4990 4991 4991 4991 4992 4992 4992 4992 4993 4993 4993 4993 4994 4994 4994 4994 4994 4995 4995 4995 4995 4995 4995 4996 4996 4996 4996 4996 4996 4997 4997 4997 4997 4997 4997 4997 4997 4997 4997 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000

Cuối cùng ta thu được file kết quả đầu ra như sau:

File MP1.OUT

noninteger variables are:

x[0]x[1]x[2]Parameters for crs() are:

0-stoch-cons hold with probability=0.606047

NEW PARAMETERS ARE:

0-stoch-cons hold with probability=0.597184

NEW PARAMETERS ARE:

epsilon = ε = 0.1 là 10% đáy số mờ bỏ qua,

lamda =λ = 0.5 là mức mong muốn 50% của tất cả các hàm thoả dụng,

anpha[0] = h1 = 0.60 là mức xác suất cao nhất cho mục tiêu ngẫu nhiên,

denanpha[0]= h = 0.20 là lượng cho phép giảm tối đa của h1 1,

anpha1[0] = h1c=0.45 là mức xác suất thoả mãn 50%,

anpha[0]~(0.400000,0.450000,0.600000) là mức xác suất mờ cho mục tiêu mờ, gama[0] = 0, luôn đặt γ = 0,

ps[0] = p1−p1= 0.55 là mức xác suất thoả mãn 0% của ràng buộc xác suất, beta1[0] = p1a =0.570000 là mức xác suất thoả mãn 50% của ràng buộc xác suất, beta[0] = p1 = 0.650000 là mức xác suất thoả mãn 100% của ràng buộc xác suất, ps(0) =p1 =0.1 là lượng cho phép giảm tối đa của mức xác suất từ p1,

Da[0]=d1c=150= là mức thoả mãn 50% đối với hàm mục tiêu mờ,

d[0]=(116.699371,150.000000,256.724731) là mức mong muốn mờ của mục tiêu,

Ga[1] = b = 465 là mức thoả mãn 50% đối với ràng buộc mờ, 2a

bf[1] = (450.000000,465.000000,468.000000) là hệ số vế phải của ràng buộc mờ, U[0] = e1 = 509.498840 là giá trị kỳ vọng cực đại của mục tiêu ngẫu nhiên U[0]-DenUl[0] = Min1 = 445.414215 là giá trị chặn dưới của hàm ngẫu nhiên DenU[0]=e1 =30 là mức giảm cho phép của kỳ vọng hàm ngẫu nhiên,

U[0]-DenU[0]=479.498840 U[0]-DenUl[0]=445.414215

2.3 Bài toán xác định cơ cấu đầu tư cho các hộ chăn nuôi cá

Thủ tục tính giá trị hàm mục tiêu và các ràng buộc

void ren(int index)

{ int i;

switch(index)

{ case 0:

y[0]=pow(x[0],0.236)*pow(x[1],0.104)*pow(x[2],0.096)*pow(x[3],0.056); y[0]=y[0]*pow(x[4],0.056)*exp(0.168*x[5])*exp(0.066*x[6]);