Logic Toán (mệnh đề)

Đây là ebook logic mệnh đề của thầy Vũ Quốc Hoàng, giảng dạy tại trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, tài liệu rất hay và rất ý nghĩa

Logic Toán

Bài 1 Logic mệnh đề 1

Vũ Quốc Hoàng (vqhoang@fit.hcmus.edu.vn)

ĐTTX, FIT, HCMUS HCMC, 2013

Nội dung

• Cú pháp Logic mệnh đề

• Ngữ nghĩa Logic mệnh đề

• Chân lý và mâu thuẫn

• Hệ quả và tương đương logic

• Dạng chuẩn CNF

• Trí tuệ = Tri thức ⊕ Suy luận

(Intelligence = Knowledge ⊕ Reasoning)

– Hai vấn đề cơ bản là biểu diễn và xử lý tri thức

• Logic là một phương tiện gần gũi, mạnh mẽ và

hiệu quả để biểu diễn và xử lý tri thức của con

hiệu quả để biểu diễn và xử lý tri thức của con

người

• Logic là một ngôn ngữ hình thức:

– mỗi tri thức được biểu diễn bằng một câu logic đúng

cú pháp và có ngữ nghĩa xác định (chính xác và đơn giản)

– ngữ nghĩa của một câu logic là đúng hoặc sai

Cú pháp Logic mệnh đề (Propositional Logic)

• Tập các kí hiệu Logic mệnh đề (dictionary):

– ¬(A ∨ B) → C là biểu thức logic

– A¬ ∨ B) → là biểu thức logic

– A and B ? không là biểu thức logic vì and và ? không là những

kí hiệu logic

(4) Nếu α là câu thì (α) cũng là câu

(5) Ngoài ra, không còn câu nào khác

• Câu theo qui tắc (1), (2) gọi là câu đơn; câu theo qui tắc (3) gọi là câu phức

– ¬(A không là câu

– A¬ ∨ B) → không là câu

Cú pháp Logic mệnh đề

Độ ưu tiên của các toán tử

• Độ ưu tiên của các toán tử logic giúp xác định qui tắc cú pháp nào được áp dụng trước

• Các toán tử logic có độ ưu tiên giảm dần như sau: ¬, ∧,

∨, →, ↔

• Cặp ngoặc tròn xác định qui tắc cú pháp được áp dụng

• Cặp ngoặc tròn xác định qui tắc cú pháp được áp dụng trước tiên

• Ngữ nghĩa của một câu logic mệnh đề là một chân trị, tức là

• Ngữ nghĩa của một câu logic mệnh đề là một chân trị, tức là hoặc đúng (1) hoặc sai (0)

• Ngữ nghĩa của câu có chứa biến phụ thuộc vào chân trị của biến

• Ngữ nghĩa của câu phức thì phụ thuộc vào ngữ nghĩa của câu thành phần

Ngữ nghĩa Logic mệnh đề

• Cho Φ là một phép gán biến, A là một biến, ta kí hiệu Φ(A)

là chân trị được gán cho biến A trong phép gán biến Φ

– Ví dụ, Φ = {A = 1, B = 0, C = 1, …} thì Φ(A) = 1

• Ngữ nghĩa của một câu đơn được xác định theo các qui tắc ngữ nghĩa sau:

ngữ nghĩa sau:

– Φ(true) = 1 không phụ thuộc vào Φ

– Φ(false) = 0 không phụ thuộc vào Φ

– Với A là biến thì Φ(A) là chân trị được gán cho biến A trong phép

gán biến Φ

Ngữ nghĩa Logic mệnh đề

• Ngữ nghĩa của một câu phức được xác định theo các qui tắc ngữ nghĩa cho trong các bảng chân trị (truth table) như sau

Ngữ nghĩa Logic mệnh đề

• Các toán tử logic “phản ánh” các phát biểu thông thường của con người:

– ¬ (phủ định – negation): không, chẳng phải, …

– ∧ (hội – conjunction): và, vừa, hơn nữa, lại còn, …

– ∨ (tuyển – disjunction): hoặc, hay, vừa, …

– ∨ (tuyển – disjunction): hoặc, hay, vừa, …

– → (kéo theo – implication): suy ra, cho thấy, nếu/thì, …

– ↔ (tương đương – equivalence): khi và chỉ khi, nếu và chỉ nếu,

cũng như, …

• Tuy nhiên ngữ nghĩa của các toán tử logic là hoàn toàn xác

định (và đơn giản) như đã thấy

Ngữ nghĩa Logic mệnh đề

• Ví dụ, xét hai câu ngôn ngữ tự nhiên:

S1 : “Tôi bị đau và tôi đến khám bác sĩ”

S2 : “Tôi đến khám bác sĩ và tôi bị đau”

– ngữ nghĩa hai câu này là khác nhau

– tuy nhiên, trong logic mệnh đề thì câu α ∧ β luôn luôn cùng ngữ

– tuy nhiên, trong logic mệnh đề thì câu α ∧ β luôn luôn cùng ngữ nghĩa với câu β ∧ α

• Ví dụ, xét câu sau trong ngôn ngữ tự nhiên:

S : “ Nếu tôi sinh ra trước Albert Einstein thì tôi sẽ phát minh

ra thuyết tương đối”

– câu này có lẽ được xem là “không tưởng” (sai) hoặc “có vấn đề” – tuy nhiên, trong logic mệnh đề thì câu α → β là đúng bất cứ khi

Chân lý và mâu thuẫn

• Nếu một câu α đúng theo phép gán biến Φ, tức là Φ(α) =

1, thì ta nói Φ là một mô hình (model) của α, kí hiệu Φ |= α

• Một câu α được gọi là chân lý hay hằng đúng (tautology) nếu α đúng với mọi phép gán biến (nói cách khác là không phụ thuộc vào phép gán biến), kí hiệu |= α

• Một câu được gọi là thỏa mãn được (satisfiable) nếu có

• Một câu được gọi là thỏa mãn được (satisfiable) nếu có một phép gán biến làm cho nó đúng

• Một câu được gọi là mâu thuẫn hay hằng sai

(contradiction) nếu không có phép gán biến nào làm cho

nó đúng

• Chúng ta thường kí hiệu α ⇒ β để chỉ α → β là hằng đúng

và α ⇔ β để chỉ α ↔ β là hằng đúng

Chân lý và mâu thuẫn

• Ví dụ:

– true là hằng đúng (và do đó thỏa mãn được)

– false là hằng sai (và do đó không thỏa mãn được)

– A ∨ ¬A là hằng đúng

– A ∧ ¬A là hằng sai

– A ∧ ¬A là hằng sai

– A ∨ B → A

• là thỏa mãn được vì đúng với phép gán biến {A = 1, B = 1, …}

• nhưng, không là hằng đúng vì sai với phép gán biến {A = 0, B = 1, …}

– A ∧ B ⇒ A vì A ∧ B → A là hằng đúng

– ¬¬A ⇔ A vì ¬¬A ↔ A là hằng đúng

Chân lý và mâu thuẫn

• Bảng chân trị là một công cụ mạnh để kiểm tra một

câu logic mệnh đề có thỏa mãn được, có là hằng đúng hay là hằng sai

Hệ quả và tương đương logic

• Câu β được gọi là hệ quả logic (consequence) của câu α

nếu với mọi phép gán biến Φ, nếu Φ |= α thì Φ |= β, kí hiệu

α |= β

• Nếu β là hệ quả logic của α và α là hệ quả logic của β thì α

và β được gọi là tương đương logic (equivalent) với nhau,

và β được gọi là tương đương logic (equivalent) với nhau,

kí hiệu α ≡ β

• Định lý:

– α |= β khi và chỉ khi α ⇒ β

– α ≡ β khi và chỉ khi α ⇔ β

Hệ quả và tương đương logic

Qui tắc tương đương

Hệ quả và tương đương logic

• Bảng chân trị là một công cụ mạnh để kiểm tra hệ

quả và tương đương logic của logic mệnh đề

Hệ quả và tương đương logic

• Câu α được gọi là biến đổi tương đương thành câu β nếu α

≡ β

– Chúng ta thường dùng các qui tắc tương đương đã nêu để biến đổi tương đương

• Rút gọn câu α là biến đổi tương đương câu α thành câu β

“đơn giản” hơn

“đơn giản” hơn

– Đơn giản hình thức nhưng giữ nguyên ngữ nghĩa

Dạng chuẩn CNF (Conjunctive Normal Form)

• Một trực kiện (literal) là một biến hoặc phủ định (¬) của một biến; tương ứng gọi là trực kiện dương hoặc trực kiện âm

• Một mệnh đề (clause) là tuyển (∨) của các trực kiện Một mệnh đề (clause) là tuyển ( ) của các trực kiện

• Một câu CNF là hội (∧) của các mệnh đề

• Ví dụ:

– A ∧ (A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B ∨ ¬D) là câu CNF

– ¬¬A ∨ (A ∧ B) không là câu CNF

Định lý: Mọi câu logic mệnh đề đều có thể chuyển về

• Định lý: Mọi câu logic mệnh đề đều có thể chuyển về

dạng chuẩn CNF Thực hiện theo các bước:

– Bước 1: Xóa ↔

– Bước 2: Xóa →

– Bước 3: Đưa mọi phủ định không là trực kiện âm vào trong

α ≡ ((¬A ∧ ¬B) ∨ ¬B)) ∧ ((¬A ∧ ¬B) ∨ A))

α ≡ ((¬A ∨ ¬B) ∧ (¬B ∨ ¬B)) ∧ ((¬A ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))

α ≡ ((¬A ∨ ¬B) ∧ ¬B) ∧ (true ∧ (¬B ∨ A))

α ≡ (¬A ∨ ¬B) ∧ ¬B ∧ (¬B ∨ A)