Cách thành lập ma trận bằng sự biến đổi trực tiếp

Cách thành lập ma trận bằng sự biến đổi trực tiếp

Eq

p

q

q

Ep

p

vpq= Ep-Eq

(a)

zpq

jpq

vpq= Ep-Eq

ypq

epq

ipq+jpq

ipq

ipq

(b)

Hình 4.7 : Thành phần biểu diễn mạng điện

(a) Hình thức tổng trở; (b) Hình thức tổng dẫn

Phương trình đặc tính của tổng trở nhánh là:

vpq + epq = zpqipq (4.6)

Hay tổng dẫn nhánh là:

ipq + jpq = ypqvpq (4.7)

Nguồn dòng mắc song song với tổng dẫn có liên hệ với nguồn áp mắc nối tiếp với tổng

trở như sau:

jpq = -ypqepq

Tập hợp các thành phần không liên hệ với nhau được gọi là mạng gốc Phương

trình đặc tính của mạng gốc có thể xuất phát từ (4.6) hay (4.7) được biểu diễn bởi các

biến là vectơ và các tham số là ma trận Phương trình đặc tính của tổng trở là:

[ ]z i e

vr+r= r

Hay đối với tổng dẫn là:

[ ]y v j

ir+ r= r

Thành phần trên đường chéo của ma trận [z] hay [y] của mạng gốc là tổng trở

riêng zpq,pq hay tổng dẫn riêng ypq,pq Các thành phần ngoài đường chéo là tổng trở tương

[y] có thể thu được bằng cách nghịch đảo ma trận tổng trở gốc [z] Ma trận [z] và [y] là

ma trận đường chéo nếu không có thành phần tương hổ giữa các nhánh Trong trường

hợp này tổng trở riêng đúng bằng số nghịch đảo của tổng dẫn riêng tương ứng

4.5 CÁCH THÀNH LẬP MA TRẬN MẠNG BẰNG SỰ

BIẾN ĐỔI TRỰC TIẾP

4.5.1 Phương trình đặc tính của mạng điện

Mạng điện là sự ghép nối tập hợp các nhánh cĩ mối liên hệ với nhau Trong cấu

trúc nút qui chiếu, thành phần của mạng điện cĩ mối liên hệ với nhau được diễn tả bởi

n-1 phương trình nút độc lập, với n là số nút Trong kí hiệu ma trận các thành phần của

phương trình đối với tổng trở là:

Nụt Nụt Nụt Z I

=

Hay đối với tổng dẫn là:

Nụt Nụt Nụt Y E

Nụt

Er

: Là vectơ điện áp nút đo được với nút qui chiếu đã chọn

Nụt

Ir

: Là vectơ dịng điện nút đưa vào

ZNút: Là ma trận tổng trở nút cĩ các thành phần của ma trận là tổng trở truyền hở

mạch giữa các điểm

YNút: Là ma trận tổng dẫn nút cĩ các thành phần của ma trận là tổng dẫn truyền

ngắn mạch giữa các điểm

Trong cấu trúc nhánh cây tham khảo thành phần của mạng điện cĩ mối liên hệ

với nhau được thể hiện bởi b phương trình nhánh cây độc lập Với b là số nhánh cây

Trong kí hiệu ma trận các thành phần của phương trình đối với tổng trở là:

cáy nhạnh cáy nhạnh cáy

nhạnh Z I

.

=

Hay đối với tổng dẫn là:

cáy nhạnh cáy nhạnh cáy

nhạnh Y E

.

=

Với: Ernhạnh cáy: Là vectơ điện áp qua nhánh cây

Irnhạnh cáy: Là vectơ dịng điện đi qua nhánh cây

tổng trở truyền hở mạch giữa các điểm của các nhánh cây trong mạng điện

tổng dẫn truyền ngắn mạch giữa các điểm của các nhánh cây trong mạng điện

Trong cấu trúc vịng tham khảo các thành phần của mạng điện cĩ mối liên hệ với

nhau được thể hiện bởi l phương trình vịng độc lập Với l là số nhánh bù cây hay số

vịng cơ bản Phương trình đặc tính đối với dạng tổng trở là:

Voìng Voìng Voìng Z I

.

=

Hay đối với dạng tổng dẫn là:

Voìng Voìng Voìng Y E

.

=

Trong đĩ:ErVoìng

: Là vectơ điện áp của vịng cơ bản

IrVoìng

: Là vectơ dịng điện của vịng cơ bản

ZVịng: Là ma trận tổng trở vịng

YVịng: Là ma trận tổng dẫn vịng

4.5.2 Ma trận tổng trở nút và ma trận tổng dẫn nút

Ma trận tổng dẫn nút YNút có thể thu được bằng cách dùng ma trận nút A liên kết

với các biến và tham số của mạng điện gốc với lượng nút của mạng điện kết nối

Phương trình đặc tính của mạng điện gốc như sau:

[ ]y v j

ir+ r= r

Nhân hai vế với At là ma trận chuyển vị của ma trận nút ta thu được:

[ ]y v A j A i

A t.r+ t.r= t r (4.8)

Từ ma trận A cho thấy sự tác động của các nhánh với các nút, là vectơ ứng với mỗi

nhánh nó là tổng đại số của dòng chạy qua các nhánh trong mạng tại mỗi nút khác nhau

Theo luật Kirchhoff về dòng điện (định luật Kirchhoff I) tổng đại số của dòng điện tại

một nút là bằng 0 ta có:

i

i

Tương tự là tổng đại số của nguồn dòng tại mỗi nút bằng vectơ dòng điện nút Vì

Vậy:

j

A tr

j A

Nuït

r r

= (4.10)

Thay thế phương trình (4.9) và (4.10) vào trong phương trình (4.8) ta thu được:

A

Nuït r

(4.11) Công suất trong mạng điện là t Nuït

Nuït E

) ( * và tổng của công suất trong mạng điện nguồn

là Công suất trong mạng điện nguồn và mạng điện kết nối phải bằng nhau, công

suất phải không đổi khi có sự thay đổi của các biến

v

j tr

r

)

( *

v j E

Nuït

t

Nuït r r r

r

) ( )

( * = * (4.12)

Kết hợp với phương trình chuyển vị của (4.10)

*

*

* ) ( )

(I t j t A

Nuït

r

Ma trận A là ma trận thực nên:

A* = A

Do đó: I t j t A

Nuït) ( )

(r* = r*

(4.13) Thay thế phương trình (4.13) vào trong (4.12)

v j E

A

Nuït

r

) ( )

Phương trình trên đúng cho tất cả các giá trị của r,

đơn giản nó trở thành:

v E

A.rNuït=r (4.14)

Thay thế phương trình (4.14) vào trong (4.11)

t Nuït A y A E

= (4.15)

Từ phương trình đặc tính của mạng điện

Nuït Nuït Nuït Y E

= (4.16)

Từ phương trình (4.15) và (4.16) ta có:

A

Nuït=

Ma trận nút A là ma trận đơn giản vì vậy At [y] A là đơn giản với phép biến đổi của [y]

Ma trận tổng trở nút có thể thu được từ

− =

Nuït Nuït

4.5.3 Ma trận tổng trở nhánh cây và tổng dẫn nhánh cây

Ma trận tổng dẫn nhánh cây Ynhánh cây cĩ thể thu được bằng cách dùng ma trận

vết cắt cơ bản B liên kết các biến và tham số của mạng điện gốc với số nhánh cây của

mạng điện kết nối Phương trình đặc tính của mạng điện gốc đối với tổng dẫn khi nhân

cả hai vế với Bt thu được

[ ]y v B j B i

B t.r+ t.r= t r (4.17)

Từ ma trận B cho thấy sự liên hệ của các nhánh với các vết cắt cơ bản,B t ir

. là vectơ ứng với mỗi nhánh nĩ là tổng đại số của dịng chạy qua các nhánh trong mạng tại

mỗi vết cắt cơ bản khác nhau

Các nhánh của vết cắt cơ bản chia mạng điện ra thành hai mạng con liên kết Vì vậy

thành phần của vectơ là tổng đại số của dịng điện đi vào mạng con và theo định

luật Kirchhoff về dịng điện (định luật Kirchhoff I) ta cĩ:

i

.

i

. = 0 (4.18)

Tương tự B trj

là vectơ đối với mỗi nhánh là tổng đại số của nguồn dịng trong các nhánh với các vết cắt cơ bản và tổng nguồn dịng trong mạch mắc song song với nhánh

cây là:

j B

cáy

nhạnh

r r

.

= (4.19) Thay thế phương trình (4.18) và (4.19) vào trong (4.17) thu được:

B

cáy

nhạnh r

r

= (4.20) Cơng suất trong mạng điện là ( * ) ( )

cáy nhạnh

t cáy nhạnh E

và từ cơng suất khơng thay đổi ta cĩ:

v j E

cáy nhạnh

t cáy

r

) ( )

Thu được ttừ phương trình (4.19) và thay vào phương trình trên ta cĩ:

cáy nhạnh

( r *

v j E

B

cáy nhạnh

r

) (

)

( * * = *

Từ ma trận B là ma trận thực, ta cĩ:

B* = B do đĩ j B E j t v

cáy nhạnh

r

) (

) ( * = *

Phương trình trên đúng với mọi giá trị của r,

đơn giản nĩ trở thành như sau:

cáy nhạnh E B

.

= (4.21)

Thay thế phương trình (4.21) vào trong (4.20) thu được:

[ ] nhạnh cáy

t cáy

nhạnh B y B E

.

= (4.22) Mối liên hệ giữa dịng điện chạy qua nhánh cây và điện áp trên nhánh cây là:

cáy nhạnh cáy nhạnh cáy

nhạnh Y E

.

= (4.23)

Từ phương trình (4.22) và (4.23) ta cĩ:

B

cáy

nhạnh =

Ma trận vết cắt cơ bản B là ma trận đơn giản vì vậy B t[ ]y.Blà đơn giản với sự biến đổi

của [y]

Ma trận nhánh cây cĩ thể thu được từ

cáy nhạnh cáy

nhạnh

4.5.4 Ma trận tổng trở vịng và ma trận tổng dẫn vịng

Ma trận tổng trở vịng ZVịng cĩ thể thu được bằng cách dùng ma trận vịng cơ bản C liên

kết các biến và tham số của mạng điện gốc với số vịng của mạng điện kết nối

Phương trình đặc tính của mạng điện gốc là:

[ ]z i e

=

+

Nhân hai vế phương trình với Ct ta thu được:

[ ]z i C e C v

= + (4.24)

Ma trận mạng

Bảng 4.1 : Thành lập ma trận mạng bằng phép biến đổi đơn giản

Gốc

[y]

Ct[z] C

ZVịng

YVịng

At[y] A

Bt[y] B

ZNút

YNút

Znhánh cây

Ynhánh cây

Bảng 4.2 : Dịng điện và điện áp liên hệ giữa ma trận gốc và ma trận kết nối

Cấu trúc tham khảo

j B

cáy nhạnh

r r

.

=

cáy nhạnh E B

.

=

j A

Nụt

r r

=

Nụt

E A

=

Voìng

I C

=

e C

r

=

Từ ma trận C cho thấy sự tác động của nhánh tới vịng cơ bản, là tổng đại

số của điện áp vịng trong mỗi vịng lặp cơ bản Nĩ phù hợp với định luật Kirchhoff về

v

điện áp (định luật Kirchhoff II) là tổng đại số của điện áp vịng trong một vịng cơ bản

là bằng 0

Nên: C t.vr= 0 (4.25)

Tương tự C t.er là tổng đại số của nguồn điện áp vịng trong mỗi vịng cơ bản

Vì vậy:

e C

Voìng r

r

.

= (4.26)

Từ cơng suất khơng đổi ta cĩ:

e i e C

Voìng r r r

r

) ( ) ( * = *

Phương trình trên đúng với mọi giá trị er nên ta đơn giản nĩ trở thành như sau:

t t Voìng

( r * = r *

Nên:

Voìng I C

.

*

=

Từ ma trận thực C, ta cĩ:

C* = C và ir=C.IrVoìng (4.27)

Thay thế phương trình (4.25), (4.26) và (4.27) vào trong (4.24) ta thu được:

[ ] Voìng

t Voìng C z C I

.

= (4.28)

Phương trình đặc tính của mạng điện trong cấu trúc vịng tham khảo là:

Voìng Voìng Voìng Z I

.

= (4.29)

Từ phương trình (4.28) và (4.29) ta cĩ:

C

Voìng=

Ma trận C là ma trận đơn giản, nên C t[ ]z C là đơn giản với sự biến đổi của [z]

Ma trận tổng dẫn vịng cĩ thể thu được từ

Y =(Z )−1 =(C t[ ]z C)−1

Voìng Voìng

Ma trận mạng thu được từ phép biến đổi đơn giản được tổng kết trong bảng 4.1 Quan

hệ dịng và áp giữa mạng điện gốc và mạng điện kết nối được tổng kết trong bảng 4.2

4.6 CÁCH THÀNH LẬP MA TRẬN MẠNG BẰNG PHÉP

BIẾN ĐỔI PHỨC TẠP

4.6.1 Ma trận tổng trở nhánh và tổng dẫn nhánh

Ma trận tổng dẫn nhánh Ynhánh cây cũng cĩ thể thu được bằng cách dùng ma trận vết cắt

tăng thêm Bˆ liên kết với các biến và các tham số của mạng điện gốc với mạng điện liên

thơng thêm vào Mạng điện thêm vào thu được bằng sự kết nối với một nhánh cây giả

mắc nối tiếp với mỗi nhánh bù cây của mạng điện gốc Để giữ nguyên các đặc tính

trong mạng liên thơng tổng dẫn của mỗi nhánh cây giả bằng 0 và nguồn dịng đúng

bằng dịng qua nhánh bù cây liên kết, được biểu diễn trên hình 4.8a Hiệu điện thế đi

qua nhánh cây giả là bằng 0 Vết cắt ràng buộc được xem như vết cắt giữa nhánh bù cây

liên thơng với nhánh cây giả, được thể hiện trên hình 4.8b

Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào trong cấu trúc nhánh cây tham

khảo như sau:

cáy nhạnh cáy nhạnh cáy

nhạnh Y E

Ma trận Ynhánh cây sẽ thu được trực tiếp từ ma trận tổng dẫn của mạng điện thêm

vào

cáy nhạnh Yˆ

Phương trình đặc tính của mạng điện gốc

[ ]y v j

ir+ r= r

Nhân hai vế với Bˆ t thu được:

[ ]y v B j B i

Bˆt.r + ˆt.r= ˆt r (4.30)

Phương trình (4.30) cĩ thể viết lại với hình thức ma trận phân chia như sau:

Nút giả

jl

il

v = 0 l

4

2

il

cây giả

(b)

0

3

2

4

1

l

Vết cắt ràng buộc G

Nút

cây giả

Hình 4.8 : Trình bày mạng điện thêm vào (a) Nhánh cây giả nối tiếp với

nhánh bù cây; (b) Thể hiện vết cắt ràng buộc

ib

it

Bt

Ut

t

Ub

0

Bt

Ut

t

Ub

0

jb

jt

v y

Btt

Ut

Ub

0

(4.31)

Trong đĩ: Vectơ dịng gốc và ir

j

r được phân chia thành vectơ dịng irb

và rj b

, nĩ liên kết với nhánh cây của mạng, vectơ dịng irt

và rj t

liên kết với nhánh bù cây Vế trái của phương trình (4.31) là:

ib+Btt it

it

jb+Btt jt

jt +

Khi i B i B t i

t

t t b

r r

r

= + và j B j B t j

t

t t b

r r

r

= +

Tuy nhiên:

0

.t =

t i

và B t rj =Irnhạnh cáy

Thì vế trái của phương trình (4.31) là:

Inhánh cây

it+jt

0

it jt

Inhánh cây = +

Từ mỗi thành phần của vectơ irt

là bằng nguồn dịng của nhánh cây giả, irt +rj t

là vectơ trong đĩ mỗi thành phần của nĩ bằng tổng đại số nguồn dịng của nhánh cây giả với

nhánh bù cây liên kết Vì vậy:

Inhán cây h

=

cáy

nhạnh

Iˆ

it+jt

Và phương trình (4.30) trở thành

B

cáy

nhạnh ˆ r

ˆ = (4.32)

Hiệu điện thế qua nhánh cây giả là bằng 0, vectơ điện áp của mạng điện thêm vào là:

=

cáy nhạnh

0

Điện áp qua các nhánh của mạng điện gốc theo phương trình (4.21) là:

cáy nhạnh E B

.

=

Tuy nhiên:

cáy nhạnh cáy

nhạnh B E

E

ˆ

Nên vr B Ernhạnh cáy (4.33)

.

ˆ

=

Thế phương trình (4.33) vào trong phương trình (4.32) ta được

[ ] nhạnh cáy

t cáy

nhạnh B y B E

ˆ ˆ

ˆ = (4.34)

Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào là

cáy nhạnh cáy nhạnh cáy

nhạnh Y E

ˆ

ˆ = (4.35)

Từ phương trình (4.34) và (4.35) ta cĩ ma trận tổng dẫn của mạng điện thêm vào là:

B

cáy

nhạnh ˆ ˆ

ˆ = (4.36)

Phương trình (4.36) cĩ thể viết theo hình thức phân chia như sau:

Y

Y4

2

Y1

Y3

Bt

Ut

t

Ub

0

yb l

yll

yb

ylb

Ut

Ub

Bt

(4.37)

=

Với: [ybb]: Là ma trận tổng dẫn gốc của nhánh cây

[ybl] = [ylb]t: Là ma trận tổng dẫn gốc, mỗi thành phần là tổng dẫn tương hỗ

giữa nhánh cây với nhánh bù cây

[yll]: Là ma trận tổng dẫn gốc của nhánh bù cây

Phương trình (4.37) viết lại như sau

t t t bl lb

t t

bb B y y B B y B y

Y1= + + + (4.38)

Từ Y B t[ ]y B

cáy

nhạnh = ˆ

Hay

Ub Btt

Ynhánh cây =

Ub

Bt

yb l

yll

yb

ylb b

t t bl lb

t t bb cáy

Y = + + + (4.39)

Từ phương trình (4.38) và (4.39) ta cĩ:

Ynhánh cây = Y1

Ma trận tổng trở nhánh cây cĩ thể thu được từ

Znhánh cây = Y1-1

4.6.2 Ma trận tổng trở vịng và tổng dẫn vịng

Ma trận tổng trở vịng ZVịng cũng cĩ thể thu được bằng cách dùng ma trận tổng trở vịng

thêm vào C liên kết với các biến và các tham số của mạng điện gốc liên hệ với mạng

điện thêm vào Mạng điện thêm vào thu được bằng sự nối kết với một nhánh bù cây giả

mắc song song với mỗi nhánh cây của mạng điện gốc Giữ nguyên trật tự các thành

phần liên kết trong mạng, tổng trở của mỗi nhánh bù cây giả bằng 0 và nguồn áp bằng

nhưng ngược hướng với áp qua nhánh cây liên kết trình bày trên hình 4.9.a Dịng qua

nhánh bù cây giả bằng 0 Vịng hở cĩ thể xem như vịng liên thơng giữa nhánh cây và

nhánh bù cây giả tưởng cho trên hình 4.9b

ˆ

1

vb

vb

i = 0

Nhánh bù cây giả

eb

2

1

Vòng

hở A

Nhánh bù cây giả

0

2 (a)

(b)

Hình 4.9 : Trình bày mạng điện thêm vào (a) Nhánh bù cây giả song song

với nhánh cây; (b) Thể hiện vòng hở

Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào trong cấu trúc vòng tham khảo

như sau:

Voìng Voìng Voìng Z I

Ma trận Zvòng sẽ thu được trực tiếp từ ma trận tổng trở Zˆ Voìng của mạng điện thêm vào

Phương trình đặc tính cho mạng điện gốc là:

[ ]z i e

=

+

Nhân hai vế với Cˆ t ta thu được:

[ ]z i C e C v

ˆ ˆ

ˆ + = (4.40)

Phương trình (4.40) có thể được viết dưới dạng phân chia như sau:

eb

et

vb

vt

0

Ut

Ub

Cbt

0

Ut

Ub

Cbt

i z

0

Ut

Ub

Cbt

=

Trong đó: Vectơ điện áp gốc và vr er được phân chia thành vectơ điện áp và vr b er b liên

kết với nhánh cây của mạng và vectơ điện áp vr t và er t liên kết với nhánh bù cây Vế trái

của phương trình (4.41) là

vb

Cbtvb+vt

eb

Cbteb+et

+

Khi C v v C t v

t b

t

b.r + r = .r và C e e C t e

t b

t

b.r + r = .r Tuy nhiên

0

.v=

C t r và C t.er =ErVoìng

Vế trái của phương trình (4.41) trở thành

vb

0

eb

EVòng

vb+eb

EVòng

Các thành phần của là bằng nguồn áp của nhánh bù cây giả tưởng, là vectơ

trong các nhánh, mỗi thành phần là bằng tổng đại số nguồn áp trong vòng hở Vì vậy

b

vb + eb

EVòng

(4.42)

=

Voìng

Eˆ

Và từ phương trình (4.40) và (4.42)

(4.43)

C

Voìng

r ˆ

ˆ =

Ta có dòng trong vòng hở bằng 0, vectơ dòng của mạng điện thêm vào là:

0

IVòng

=

Voìng

Iˆ

Dòng điện đi qua các nhánh của mạng điện gốc từ phương trình (4.27) là

Voìng I C

.

=

Tuy nhiên:

Voìng Voìng C I

I

Thì ir=Cˆ.IˆVoìng (4.44)

Thay thế phương trình (4.44) vào trong phương trình (4.43)

[ ] Voìng

t Voìng C z C I

Eˆ = ˆ ˆ.ˆ (4.45)

Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào là:

Voìng Voìng Voìng Z I

Eˆ = ˆ .ˆ (4.46)

Từ phương trình (4.45) và (4.46) ta có ma trận tổng trở của mạng điện thêm vào là:

(4.47)

C

Voìng ˆ .ˆ

ˆ =

Phương trình (4.47) có thể được viết dưới dạng phân chia như sau: