đề thi học sinh giỏi Vật Lý quốc tế-phần Quang học Trong bài toán này ta sử dụng tọa độ trụ r,θ,z với trục Oz là trục của chùm laze cho mọi trờng hợp.. 1.a- Vẽ các tia sáng của chùm tia
Trang 1Bài toán: Sự hội tụ và phân kỳ của một chùm tia laze.
(đề thi học sinh giỏi Vật Lý quốc tế-phần Quang học)
Trong bài toán này ta sử dụng tọa độ trụ (r,θ,z) với trục Oz là trục của chùm laze cho mọi trờng hợp
1 Mô hình thô sơ nhất của một chùm laze là một sóng phẳng mà biên độ phức của
nó có dạng:
o _
o o
_
W r
khi
0
a
W r
khi ) / z j 2 exp(
A
a
≥
=
≤ λ
π
−
=
Wo =1mm là bán kính của chùm laze khảo sát có bớc sóng λ = 690nm
1.a- Vẽ các tia sáng của chùm tia laze tới và truyền qua một thấu kính hội tụ mỏng
tiêu cự f =1m, bán kính đờng biên b = 5cm, có quang trục trùng với trục chùm tia laze
1.b- Trong thực tế ngời ta quan sát thấy trên mặt phẳng tiêu của thấu kính một vết có
tâm ở tiêu điểm ảnh F với bán kính vết ρ≈ 0,2mm Hãy giải thích hiện tợng này
2 Điều quan sát thấy trong 1.b dẫn đến phải thừa nhận một mô hình bổ xung: Chùm
tia laze là một chùm Gauss với biên độ phức có dạng:
z
z z ) z ( R
; z
z 1 W ) z ( W
;
W
z
) ) z ( R
r j z j 2 exp(
) ) z ( W
r exp(
) z ( W
W
A
a
2 o 2
o
2 o
2 o
o
2 2
2 o
o
_
+
= +
= λ
π
=
λ
π
− λ
π
−
−
=
Với Wo và λ là các giá trị đã cho ở câu 1
2.a- Hãy tìm biểu thức công suất ánh sáng đi qua mặt phẳng đặt vuông góc với chùm
tia tại vị trí z Cho nhận xét về kết quả này
2.b- Hãy lợc vẽ đờng cong mô tả độ rọi I theo r ở vị trí z xác định và chỉ ra rằng từ
đây về sau ta có thể xem W(z) là bán kính vết của chùm laze Để ý đờng tiệm cận của W(z) và chỉ ra rằng chùm tia laze nh thể đợc tạo bởi các tia sáng làm với trục Oz một góc nhỏ hơn hoặc bằng αM = λ/πW o Từ đó giải thích việc tạo thành vết có bán kính
ρ trong câu 1b
3 Nửa không gian z ≥ 0 là một miền không đồng nhất với chiết suất có dạng:
0 a
; 0 n
; a
r 1 n
)
M
(
n = o − 2 2 o > >
Một tia sáng của chùm laze trên đến môi trờng này tại điểm M(ro,0,0) trong mặt phẳng θ = 0 làm với trục Oz một góc nhỏ αo với αo ≤αM và ro ≤ Wo Các tính toán
đợc giới hạn trong gần đúng bậc nhất đối với ro /a và αo
Trang 23.a- Chia môi trờng này thành các vành hình trụ vô cùng nhỏ, hãy chứng minh rằng
tia sáng luôn nằm trong mặt phẳng θ = 0 và góc giữa tia sáng với Oz tuân theo hệ thức : n(r) cos α(r) = hằng số
3.b- Hãy suy ra rằng phơng trình r(z) của tia sáng là nghiệm của phơng trình vi phân:
0 a
r
z
d
r
d
2
2
2
=
+ Từ đó xác định r(z) theo ro , a, αo và z
3.c- Xác định giá trị zF của điểm F trên quang trục gần với điểm O nhất nơi các tia sáng song song với Oz sẽ hội tụ Xác định bán kính ρ của vết quan sát thấy trên mặt phẳng F Đánh giá tiêu cự của thấu kính mỏng tơng đơng theo a So sánh hiệu quả của
sự hội tụ với trờng hợp một thấu kính mỏng
4 Trong câu hỏi này, nửa không gian z ≥ 0 là một môi trờng phi tuyến trong đó chiết suất phụ thuộc vào độ rọi I ( hiệu ứng Kerr): n = γ + βI với γ > 0 và β > 0
o ; W W
A << γ ≈
β hãy chỉ ra rằng môi trờng này có thể làm hội tụ ánh sáng , gần đúng với tình huống trong câu 3 và đánh giá tiêu cự của thấu kính mỏng
t-ơng đt-ơng theo Wo ,β và Ao Ưu điểm của thiết bị này so với thấu kính mỏng là gì?
5 Về phơng diện thực nghiệm ta nhận thấy rằng một chùm laze mạnh khi truyền
trong không khí bị phân kì nhiều hơn so với dự đoán theo mô hình chùm Gauss trong câu hỏi 2 Hãy giải thích định tính hiện tợng này biết rằng chiết suất n của một chất khí loãng thỏa mãn ( n-1) tỷ lệ với khối lợng riêng của không khí ( định luật Gladstone)
Câu hỏi 1:
Mô hình thô sơ nhất của một chùm laze là một sóng phẳng mà biên độ phức của nó
có dạng:
o _
o o
_
W r
khi
0
a
W r
khi ) / z j 2 exp(
A
a
≥
=
≤ λ
π
−
=
Wo =1mm là bán kính của chùm laze khảo sát có bớc sóng λ = 690nm
1.a- Vẽ các tia sáng của chùm tia laze tới và truyền qua một thấu kính hội tụ mỏng
tiêu cự f =1m, bán kính đờng biên b = 5cm, có quang trục trùng với trục chùm tia laze
1.b- Trong thực tế ngời ta quan sát thấy trên mặt phẳng tiêu của thấu kính một vết có
tâm ở tiêu điểm ảnh F với bán kính vết ρ≈ 0,2mm Hãy giải thích hiện tợng này
Bài giải:
1a Do giả thiết sóng phẳng nên mặt sóng là các mặt phẳng z = const và các tia sáng
đợc biểu diễn bằng các đờng thẳng song song với Oz trong một hình trụ bán kính Wo Sau khi truyền qua thấu kính hội tụ mỏng sẽ hội tụ tại tiêu điểm ảnh F
1b Do Wo =1mm << b =5cm << f =1m các tia sáng của chùm laze song song và rất gần trục Oz hiện tợng tạo vết có bán kính ρ≈ 0,2mm tại F không thể là do quang
Trang 3sai Nh vậy chùm sáng thực tế không phải là song song Ta dễ dàng đánh giá độ lớn
của góc phân kì
1 10
2
f
4 <<
=
ρ
<
Câuhỏi 2
Điều quan sát thấy trong 1.b dẫn đến phải thừa nhận một mô hình bổ xung:
Chùm tia laze là một chùm Gauss với biên độ phức có dạng:
z
z z ) z ( R
; z
z 1 W ) z ( W
;
W
z
) ) z ( R
r j z
j 2 exp(
) ) z ( W
r exp(
) z ( W
W A
a
2 o 2
o
2 o
2 o o
2 2
2 o
o
_
+
= +
= λ
π
=
λ
π
− λ
π
−
−
=
Với Wo và λ là các giá trị đã cho ở câu 1
2.a- Hãy tìm biểu thức công suất ánh sáng đi qua mặt phẳng đặt vuông góc với chùm
tia tại vị trí z Cho nhận xét về kết quả này
2.b- Hãy lợc vẽ đờng cong mô tả độ rọi I theo r ở vị trí z xác định và chỉ ra rằng từ
đây về sau ta có thể xem W(z) là bán kính vết của chùm laze Để ý đờng tiệm cận của W(z) và chỉ ra rằng chùm tia laze nh thể đợc tạo bởi các tia sáng làm với trục Oz một góc nhỏ hơn hoặc bằng αM = λ/πW o Từ đó giải thích việc tạo thành vết có bán kính
ρ trong câu 1b
Bài giải:
2.a Độ rọi I = a =A W W ( z ) exp−W 2 2 r ( z )
2 2
2 o 2
o
2 _
theo định nghĩa là công suất nhận đợc bởi một đơn vị diện tích bề mặt Từ đó ta có thể tính công suất
ánh sáng truyền qua mặt phẳng z nh sau:
θ
−
=
∫∫
=
π
= θ
=
) z ( W
r 2 exp
) z ( W
W A dS
I
0 r
2
2 2
2 o
2 o
Tích phân theo θ bằng 2π Đổi biến số trong tích phân theo r còn lại :
F
f
Trang 4Đặt
) z ( W
4rdr du
) z ( W
r 2
u
2 2
2
=
>
−−
−
=
Ta có :
2
W A du ) u exp(
4
W A 2 dr r ) z ( W
r 2 exp
) z ( W
W A 2 P
2 o
2 o u
0 u
2 o
2 o r
0
2 2
2 o
2
=
π
=
− π
=
∞
=
=
Nhận xét: Công suất P không phụ thuộc vào z Biểu thức biên độ phức a đảm bảo sự
bảo toàn công suất chùm sáng
2.b Biếu diễn độ rọi I theo r trên đồ thị (I,r) ta đợc một đờng cong dạng Gauss.
−
=
) z ( W
r 2 exp
) z ( W
W A
2 2
2 o 2
o
Tại r =W(z) ta có:
I / Io = exp(-2) = 1/e2 =0,135
Vì vậy W(z) đợc xem là bán kính tiết diện ngang
của chùm tia
Theo biểu thức của W(z),với z >> z0 ta có:
0 0 2
0
2 0 2 0
2
z W z
z W z
z 1 W
)
z
(
Khi đó bán kính W(z) tăng tuyến tính theo z sao cho chùm laze
gần đúng đợc giới hạn trong một hình côn với 1/2 góc ở đỉnh là:
rad 10 2 , 2 W z
W z
)
z
(
0 0
0
π
λ
=
=
=
α
Điều này phù hợp với quan sát thực nghiệm nói trên
Các tia sáng nghiêng góc tới thấu kính sẽ họi tụ trên tiêu điểm phụ , dẫn đến một vết trên tiêu diện với bán kính:
mm 22 , 0 W
f
f
0
π
λ
= α
=
Câu hỏi 3:
Nửa không gian z ≥ 0 là một miền không đồng nhất với chiết suất có dạng:
0 a
; 0 n
; a
r 1 n
)
M
(
2
=
Một tia sáng của chùm laze trên đến môi trờng này tại điểm M(ro,0,0) trong mặt phẳng θ = 0 làm với trục Oz một góc nhỏ αo với αo ≤αM và ro ≤ Wo Các tính toán
đợc giới hạn trong gần đúng bậc nhất đối với ro /a và αo
3.a- Chia môi trờng này thành các vành hình trụ vô cùng nhỏ, hãy chứng minh rằng
tia sáng luôn nằm trong mặt phẳng θ = 0 và góc giữa tia sáng với Oz tuân theo hệ thức : n(r) cos α(r) = hằng số
W(z) r I(r)
Io
Trang 53.b- Hãy suy ra rằng phơng trình r(z) của tia sáng là nghiệm của phơng trình vi phân:
0 a
r
z
d
r
d
2
2
2
=
+ Từ đó xác định r(z) theo ro , a, αo và z
3.c- Xác định giá trị zF của điểm F trên quang trục gần với điểm O nhất nơi các tia sáng song song với Oz sẽ hội tụ Xác định bán kính ρ của vết quan sát thấy trên mặt phẳng F Đánh giá tiêu cự của thấu kính mỏng tơng đơng theo a So sánh hiệu quả của
sự hội tụ với trờng hợp một thấu kính mỏng
Bài giải:
3.a Các mặt chiết suất n không đổi là các mặt trụ trục Oz
Chia cắt môi trờng thành các hình trụ đồng trục và xem rằng chiết suất giữa hai mặt trụ liên tiếp là đồng nhất
Một tia sáng ban đầu nằm trong mặt phẳng θ=0 chứa pháp tuyến u - chính là mặt phẳng tới
Theo định luật khúc xạ, tia khúc xạ cũng nằm trong mặt phẳng θ = 0
Xét 2 lớp môi trờng mỏng ứng với chiết suất n (r) và n(r') góc tới mặt phân cách là
θ = π/2 - α (α là góc nghiêng của tia sáng với Oz)
Theo định luật khúc xạ: n(r) sinθ (r) = n(r') sinθ (r')
Từ điều kiện ban đầu suy ra: n(r) cos α(r) = n(r') cos α(r')= n0 cos α0.=const
3.b Lân cận một điểm M, xét đoạn MM' = dr u r +dz u z theo phơng tiếp tuyến với tia
sáng nghiêng góc α với Oz tại M
Từ hình vẽ ta có:
1 cos
do
)
a
r
1
(
) a
r 1 ( cos
1 cos
n
n
cos n
n cos
1
tg 1
dz
dr
1
tg
dz
dr
0
2
2
2
2 2 0
2 0
2
2
0
2
2 2
2 2
2 2
≈
α
−
≈
− α
= α
=
α
=
α
=
α +
=
+
α
=
Lấy đạo hàm ta đợc:
n(r) n(r') r
z
θ (r')
θ (r)
z
dz
α
Trang 6) a / z sin(
B ) a / z cos(
A
)
z
(
r
0 a
r dz
r d
dz
dr a
r 2 dz
r
d
dz
dr
+
=
= +
>
−−
−
−
=
Từ điều kiện ban đầu:
sin(z/a) a
) a / z cos(
r r(z)
a B
;
r
A
tg a
B ) 0 z ( dz
dr
; A ) 0
z
(
r
r
0 0
0 0
0 0 0
α +
=
>
α
=
=
α
≈ α
=
=
=
=
=
=
3.c Các tia sáng ứng với α0 = 0 có r(z) = r0 cos (z/a) sẽ lần đầu tiên hội tụ tại F trên trục đối xứng khi r ( z = zF ) = 0 Từ đó suy ra : zF = πa/2
Những tia có α0 ≠ 0 sẽ cắt mặt phẳng z= ở vị trí:
a
Do
a )
2 / sin(
a )
2 / cos(
r
r
M M
0
0 0
0
α
= ρ
>
α
≤
α
α
= π
α + π
=
Vậy thiết bị có tiêu cự f = zF = πa/2.và vết hội tụ có bán kính:
π
α
= α
=
Thiết bị làm giảm đợc bán kính vết hội tụ so với thấu kính 1- 2/π =30%
Câu hỏi 4
Trong câu hỏi này, nửa không gian z ≥ 0 là một môi trờng phi tuyến trong đó chiết suất phụ thuộc vào độ rọi I ( hiệu ứng Kerr): n = γ + βI với γ > 0 và β > 0
o ; W W
A << γ ≈
β hãy chỉ ra rằng môi trờng này có thể làm hội tụ ánh sáng , gần đúng với tình huống trong câu 3 và đánh giá tiêu cự của thấu kính mỏng
t-ơng đt-ơng theo Wo , β và Ao Ưu điểm của thiết bị này so với thấu kính mỏng là gì?
Bài giải:
Trong gần đúng bậc nhất ta có:
2 0
2 0 0
2
2 0
2 0
2 2 0 2
0
2 2 0
2 0 2
0
2 2
0
0 2
2 2
2
A 2
W
; n
voi
; a
r 1
n
)
r
(
n
W
r A 2 1 W
r A 2 1
W
r 2 1 A )
r
(
n
W W ; W
r 2 1 W
r
2
exp
β
γ
= α γ
=
−
≈
γ
β
− γ
≈
γ
β
− γ
βα + γ
=
− β
+
γ
=
≈
−
≈
−
Theo 3.c ta nhận đợc một thiết bị tơng đơng một thấu kính có tiêu cự điều chỉnh đợc nhờ thay đổi A0 nghĩa là thông qua thay đổi công suất của chùm laze