Sự hội tụ theo phân phối của dãy đại lượng ngẫu nhiên

Trờng đại học vinhKhoa toán ========== Sự hội tụ theo phân phối của dãy các đại lợng ngẫu nhiên Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán ---Chuyên ngành: Xác suất thố

Trờng đại học vinh

Khoa toán

==========

Sự hội tụ theo phân phối

của dãy các đại lợng ngẫu nhiên

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Ngành cử nhân khoa học toán

-Chuyên ngành: Xác suất thống kê

Giáo viên hớng dẫn :PGS.TS Nguyễn Văn Quảng

Sinh viên thực hiện :Lại Thị Hiền

Lớp :43 E2 – Toán

Lời nói đầu

Trong lý thuyết xác suất thống kê, các định lý giới hạn nói chung và các

định lý giới hạn theo phân phối nói riêng đóng một vai trò rất quan trọng Mục

đích của khoá luận này là trình bày các định nghĩa, định lý và các tính chất sựhội tụ theo phân phối của dãy đại lợng ngẫu nhiên độc lập, cùng với các mệnh

đề có liên quan

Khoá luận đợc chia làm 4 phần:

Phần I Các kiến thức cơ bản.

Trong phần này chúng tôi nêu lên một số định nghĩa, các tính chất cơ bản

để phục vụ cho các phần sau

Phần II: Sự hội tự theo phân phối của dãy đại lợng ngẫu nhiên.

Trong phần này chúng tôi trình bày các định nghĩa, định lý và một số bàitập áp dụng đợc viết dới dạng mệnh đề của sự hội tụ theo phân phối của dãy đạilợng ngẫu nhiên

Phần III: Hàm đặc trng

Phần này đợc chia làm hai mục nhỏ

Trong mục 1 chúng tôi trình bày các định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơbản của hàm đặc trng

Trong mục 2 chúng tôi chứng minh một số tính chất khác của hàm đặc ng

tr-Phần IV: Định lý giới hạn trung tâm

Phần này chúng tôi nêu lên các định lý, hệ quả và một số bài tập đợcphát biểu dới dạng mệnh đề liên quan đến định lý giới hạn trung tâm

Khoá luận này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS.TS Nguyễn VănQuảng Tác giả xin trân trọng tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy ngời đã giúp đỡ

em trong cả quá trình học tập và nghiên cứu

Đồng thời tác giả xin cảm ơn đến các thầy, cô giáo Khoa Toán, gia đình

và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ, và có những đóng góp quí báu trong quátrình học tập và trong nghiên cứu ở trờng

Khoá luận này đợc thực hiện trong thời gian khá ngắn, tài liệu còn ít nêntác giả đã hết sức cố gắng, song khoá luận không thể tránh khỏi sai sót Tác giảrất mong nhận đợc sự góp ý của quí thầy cô cùng bạn bè

Vinh tháng 4 năm 2007

Tác giả

PhÇn i

C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n

1.1 §¹i sè.

Gi¶ sö Ω lµ mét tËp hîp tuú ý kh¸c φ Ký hiÖu P (Ω)

lµ tËp hîp gåm tÊt c¶ c¸c tËp con cña Ω

n k

1 ) 1 ( (Ai1…….Aik )

n

n

A

P (An) ∈F 8) Tính liên tục:

i) Nếu (An) là dãy đơn điệu tăng : A1⊂ A2⊂….⊂An⊂ thì tồn tại :

2) F liên tục trái tại mọi điểm

+ Chú ý: Kỳ vọng của đại lợng ngẫu nhiên X có thể tồn tại hoặc không

tồn tại Kỳ vọng của đại lợng ngẫu nhiên X tồn tại nếu tích phân vế phải côngthức trên tồn tại

ECX = CEX

3 Cho X, Y là đại lợng ngẫu nhiên ta có

E (X ± Y) = E X ± EY

4 Nếu X, Y độc lập thì E(X.Y) = EX.EY

Tổng quát : Nếu X1.X2… Xn là các đại lợng ngẫu nhiên độc lập thì :

i p x f

∑

= 1

) ( nếu x rời rạc và P(X = xi) = p i

Phần II

Sự hội tụ theo phân phối của dãy đại lợng ngẫu

nhiên

2.1 Định nghĩa

Giả sử Xn có hàm phân phối là Fn(x), X có hàm phân phối F(x)

C(F) = x∈R :F(x) liên tục tại x

Nếu nlim→+∞Fn(x) = F(x) ∀x ∈ C(F) thì ta nói dãy ( Xn) hội tụ theo phân phối (hội tụ yếu) đến X

Vì Xn P X

→ khi n→∞

nên: nlim→∞ p(X <x′′, Xn > x) ≤ nlim→∞ P (Xn - X> x′′-x) = 0 Mặt khác : F (x′′) = P( X< x′′) ≤ P (Xn < x) + P (X<x′′, Xn≥ x)

F (x′′) ≤ nlim→∞ Fn(x) ∀x′′< x (2)

Từ (1) và (2) suy ra F(x’) ≤ nlim → ∞Fn(x) < F (x′′)

Khí x’ ↑ x, x′′↓ x thì F(x’) , F(x′′) hội tụ về F(x)

(Vì x ∈ C(F) )

Do đó F(x) = nlim→∞Fn(x) ∀x ∈ C(F)

Nhận xét: Từ định lý trên ta nhận thấy hội tụ theo phân phối yếu hơn hội

tụ theo xác suất Tuy nhiên trong đại lợng ngẫu nhiên giới hạn là hằng số ta có

Giả sử : Xn D C

→ suy ra Fn (x) → F(x) ∀x ≠ CKhi đó nlim→∞ p(Xn < x) = p (X< x) ∀x ≠ C

0 víi x−k >1/2Do: gk liªn tôc vµ bÞ chÆn : Pn   →D

P Nªn : Pn(k) =+∞∫ →

∞

−

) ( )

Gi¶ sö Pn(k) → P(k) víi mäi k

n k

P ( ) ≤ 1- ∑

≤m k

k

P( )

≤m k

k

P( )- ∑

≤m k

n k

P ( )=

1 ∑

≤m k

k

P( )+ (P(k) P n(k))

m k

Suy ra P = P’ suy ra mâu thuẫn với giả thiết cho P ≠ P’

Vậy điều chứng minh ngợc lại là hiển nhiên

P(AnBn) = P (An) - P(A n B n) → P(A)Lấy x∈C(F) tuỳ ý ta có:

∀ε > 0, khi đó ∃σ > 0 sao cho σ < ε và x ±σ∈ C(F

Ta có: P(Xn +Yn< x) = P (Xn +Yn< x, Y n < σ + P (Xn +Yn< x, Y n ≥σ )

≤

≤ P ( Y n ≥σ ) + FXn( x+σ)Vậy :

a f X f

f( ) − ( 0 )

-1   →P 0Nhng Xn[f(Yn) →f(0)] =(XnYn) Tn+ XnYn

Phần III

Hàm đặc trng

A Định nghĩa và một số tính chất cơ bản.

3.1 Định nghĩa.

Giả sử X là đại lợng ngẫu nhiên Khi đó hàm số :

ϕX(t) = E.eitX = E.CostX + iE SintX (t∈R)

k n itk C p q

2) X ~ U[ -a,a ] , p(x) = 0 nếu x ∉ [- a,a]

1/2a nếu x ∈ [- a,a]

Cos iSinat Cosat

=

at

Sinat ait

e−

π

Ta có :

itx x

e x it

t

.

.

2

1

2

2 2

n

i i

it

e e

0

lim

σ ϕ(t).e−t2 σ 2dt (3)b) Nếu ϕ(t)/t khả tích trên phần bù của một lân cận nào đó của 0 thì:

F(y) - F(x) = ∫ − − −

R

yti itx

it

e e

π

2 1

ϕ(t).dt (4)

c) Nếu ∫

R |ϕ(t) |dt <∞ thì X có mật độ f(x) và : f(x) = ∫ −

FX+Y(y) - FX+Y(x) = ∫y

x

du u

g( ) = 21π+∞−∫∞e−itx it−e−ity ϕ(t).e−t2 σ 2.dt (7)

Thay Y bởi Yn trong đó Yn∼ N(0,2σn ) , σn → 0 lúc đó Yn   →P

0 và

do đó: FX+Y   →D F

Vì vậy, nếu x,y ∈ C(F) thì :

F(y) - F(x) = limx→∞[ FX+Y (y) - FX+Y(x)]

Nhận xét.

Trong chứng minh (3) ta đã sử dụng nhân tử khả tích Tuy vậy có thểchứng minh rằng (3) tơng đơng với công thức sau :

e e

π

2

1 lim ϕ(t).dt Với x,y ∈ C(F)

k

Xk t

1

) (

ϕ (t1,….,tn) ∈Rn (*)

Chứng minh.

Ký hiệu F = FX , G = F1 F2….Fn

Trong đó Fn là hàm phân phối của Xn

Nếu X1,….,Xn độc lập thì (*) đúng Đảo lại, nếu có (*) thì do vế trái làhàm đặc trng tơng ứng với F, còn vế phải tơng ứng với G Do hàm đặc trng xác

≤ 2 [1- [+∞∫

∞

−

) ( cos txdF x ]]2 = 2 [1- (Reϕ(t))2] ( )

a

+

π ( a> 0) Khi đó X có hàm đặc trng: ϕ(t) = e−a t

= +∞∫ −

0

) 1 ( 2

0 ) 1 (

1 2

πMÆt kh¸c ta cã :

x a

a

e itx

) ( 2 + 2

∫+∞

1 1

1 ( ) 2

1 σ

t iat−

ϕx2(t) = e 2

2 2

2 ( ) 2

1 ( ) 2

1 σ

t

2 2

2 ( ) 2

X1+ 2+ + n

) 1 , 0 (

Mặt khác : Tồn tại EX k2 = 1 = DXk suy ra ϕ(t) có đạo hàm đến cấp 2, do

đó có triển khai Macloranh

ϕ(t) = ϕ(o) + o t

!

) ( '

ϕ

! 2

) ( ''

t o

ϕ

+ R(t)Với R(t) = 0(t) (t→0)

−

2 1

−

2 1

2

= nlim→∞

n

n t

2

= e−2t2 Vậy Yn   →D N(0,1) ( )

S n −

 →

D N(0,1) VËy : S n npq−np

 →

D N(0,1) ( )

np X npq

2 1

X

X X

X

+ +

+ +

n   →D Y ∼ N(o,1)

2

2 1

2 1

X

X X X

+ + +

2 1

X

X X

X

+ +

+ + +

 →

D N(0,1)

4.4.2 Mệnh đề

Giả sử (Xn) là dãy các đại lợng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với phơng sai dơng, Sn = X1+….+Xn Khi đó

i) Nếu a > 0 thì bn→Φ (-∞)

ii) Nếu a = 0 thì bn →Φ −n −

na y

σ Φ  −n 

na x

σ = Φ(0) - Φ(0) = 0iii) Nếu a < 0 thì bn → Φ − n −

na x

σ Φ  −n 

na y

ii) Nếu a = 0 thì dn→ Φ (0) =1/2

ii) Nếu a < 0 thì với mọi C > 0, ∃nc sao cho :

C n

na x

〉

−

σ , n ≥ nc

Suy ra dn →Φ (+∞) =1

4.4.3 Mệnh đề

Giả sử cho đại lợng ngẫu nhiên X có tính chất DX = σ2 và nếu X,Y là 2

đại lợng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối thì :

2

Y

X +

D X Khi đó:

2 1 2 1 2

X

2

'

'

' ' 1 + + + 2− 1 + 1 + + 2 − 1

D X Mặt khác ta có :

2 −

=

∑ + + +

n i

i i i

i X Y Y X

∞

n

na Y

Y

3

áp dụng mệnh đề ta có kết luận :

n

Sn n

Kết luận

Khoá luận đã đạt đợc một số kết quả sau:

Trình bày các khái niệm, các định nghĩa và các định lý của sự hội tụ theophân phối của dãy đại lợng ngẫu nhiên

Chứng minh thêm một số các mệnh đề về sự hội tụ theo phân phối củadãy đại lợng ngẫu nhiên

Trình bày khái niệm, các định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ bản củahàm đặc trng

Chứng minh thêm một số tính chất khác của hàm đặc trng

Trình bày các định lý, hệ quả và các mệnh đề của định lý giới hạn trung tâm.Chứng minh thêm một số mệnh đề xung quanh định lý giới hạn trung tâm./

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] NguyÔn Duy TiÕn, Vò ViÖt Yªn: Lý thuyÕt x¸c suÊt

Mục lục

Trang

Lời nói đầu 1

Phần I: Các kiến thức cơ bản 2

Phần II: Sự hội tụ theo phân phối của dãy đại lợng ngẫu nhiên 6

Phần III: Hàm đặc trng 12

A Định nghĩa và một số tính chất cơ bản 12

B Một số tính chất khác của hàm đặc trng 15

Phần IV: Định lý giới hạn trung tâm 18

Kết luận 25

Tài liệu tham khảo 26