DE&DA CHUYEN HUYENH MAN DAT KIENGIANG

Xác định m để: a Hàm số là hàm số bậc nhất nghịch biến.. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. H’ là điểm đối xứng của H qua AC.. a Chứng minh rằng hai tam giác AHC và AH’C là hai tam giác bằng nhau

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC 2010 – 2011 – KIÊN GIANG

THỜI GIAN: 150 PHÚT ; NGÀY THI 16/07/2010

Câu 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức

a) A  7 4 3  7 4 3

b)   1     1  1 1  

P

Tìm giá trị x , y nguyên để P = 2 (với x > 0 , y > 0 , y  1)

Câu 2: (1,5 điểm)

Cho hàm số y = (m – 3)x + 2 + m Xác định m để:

a) Hàm số là hàm số bậc nhất nghịch biến

b) Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (1 ; 1)

c) Đồ thị cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 3

Câu 3: (1,5 điểm)

Cho phương trình x2 – (2m + 1)x + m2 + m – 6 = 0 (1) a)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm âm

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: 3 3

x  x 

Câu 4: (1,5 điểm)

Tìm a, b để biểu thức: X = 2a2 + 9b2 + 2a – 18b – 6ab + 2010 đạt giá trị nhỏ nhất

Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Câu 5: (2,5 điểm)

Cho H là trực tâm của tam giác ABC H’ là điểm đối xứng của H qua AC

a) Chứng minh rằng hai tam giác AHC và AH’C là hai tam giác bằng nhau

b) Chứng minh rằng H’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

c) Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB, BHC và AHC có bán kính bằng nhau

Câu 6: (1 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh rằng: ACB AB

-HỀT -LỜI GIẢI

Câu 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức

a) A  7 4 3  7 4 3 = 2 32  2 32  2 3  2 3  2 3 2  32 3 b)   1     1  1 1  

P

1 1

1 1





 





1

1

y



P = 2 thì x xy y  2 x xy y1 1

x1 y  y1  1 1 y  x1 1 (bài toán đến đây có thể lí luận khác!)

y y x U 

Nếu x1 1 x  0 x 0 y 2 Vô lí

Nếu x1 1  x  2 x 4 y  0 y0

Thử lại Ta có với x = 4 và y = 0 thi P = 2

Câu 2: (1,5 điểm) Cho hàm số y = (m – 3)x + 2 + m Xác định m để:

a) Để hàm số là hàm số bậc nhất nghịch biến thì:

m – 3 < 0 suy ra m < 3

b) Khi đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (1 ; 1) ta có :

(m – 3).1 + 2 + m = 1  m = 1

c) Đồ thị cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 3.

Để đồ thị cắt 2 trục tọa độ: Cắt Ox tại A(xA; 0) và cắt Oy tại B(0 ; yB) thì điều kiện m  3 Thay tọa độ điểm A ta có: (m – 3)xA + 2 + m = 0  (2 )

3

A

m x

m

 





Thay tọa độ điểm B ta có: yB = 2 + m (có thể tính OA, OB theo x A và y B )

Ta có tam giác OAB vuông tại O nên diện tích S = 1 1 3

2OA OB2 x A y B 

2

6

A B

2

(2 )

3

m

m

 



 ' 52 ( 14) 39 0   m1;2  5 39

TH2:  

2

(2 )

3

m

m

 



  ' ( 1)2 2221 0  m 

Vậy giá trị tìm được : m  1;2 5 39

Câu 3: (1,5 điểm) Cho phương trình x 2 – (2m + 1)x + m 2 + m – 6 = 0 (1)

a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm âm.

= (2m + 1)2 – 4(m2 + m – 6) = 4m2 + 4m + 1 – 4m2 – 4m + 24 = 25 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 2 1 5 3 ; 2 2 1 5 2

x     m x     m

m



(Có thể tính S = x 1 + x 2 ; P = x 1 x 2 Điều kiện để Pt có 2 nghiệm đều âm thì

0 0 0

S P

 









 



Giải các bpt tìm m)

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn hệ thức: x13 x23 50

2

2

Giải từng bước 2 Pt trên:

1;2

2

Vậy 1;2 1 5

2

m  

(Có thể từ 3 2 3 7 10 3 2 7 10

3

m  m   m m  Nhận xét 2 7

0, 3

m m    m Nên: 3m23m  =10 rồi giải Pt này)7

Câu 4: (1,5 điểm)

Tìm a, b để biểu thức: X = 2a2 + 9b2 + 2a – 18b – 6ab + 2010 đạt giá trị nhỏ nhất

Tìm giá trị nhỏ nhất đó

X = (3b)2 -2.3b.(3 + a) + 9 + 6a + a2 + a2 – 4a + 4 + 1997

= (3b)2 -2.3b.(3 + a) + (3 + a)2 + (a2 – 4a + 4) + 1997

= (3b – 3 – a)2 + (a – 2)2 + 1997  1997

Dấu “=” xảy ra khi

5

3

2

a



Vậy với a = 2 và b = 5

3 thì Xmax = 1997

Câu 5: (2,5 điểm)

a) Chứng minh rằng hai tam giác AHC và AH’C là hai tam giác bằng nhau.

Vì H’ đối xứng với H qua AC nên: AH = AH’ ; CH = CH’ ; AC cạnh chung

    

b) Chứng minh rằng H’ nằm trên đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC.

0

0

' 180

180

Mà  

B C (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

C3 C 2 (Do AHCAH C' )

 

Vậy BH C BAC'  mà A, H kề nhau cùng nhìn

đoạn BC

Nên ABCH’ cùng nằm trên đường tròn (O ; R)

c) Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam

giác AHB, BHC và AHC có bán kính bằng nhau.

Kẻ tia AH cắt (O) tại A’, tia CH cắt (O) tại C’

Xét BHC và BA’C có:

C A (cùng chắn cung A’B) ; C1A1(cùng phụ với góc ABC)  

 

B A (cùng chắn cung A’C) ; B2 A2(góc có cạnh tương ứng vuông góc)  

Mặt khác BC là cạnh chung

BHC BA C g c g

    

Chứng minh tương tự ta có: BHABC A g c g' (   )

Các tam giác AC’B, BA’C, AH’C đều nội tiếp đường tròn (O ; R)

Nên các tam giác AHB, BHC, AHC cũng sẽ nội tiếp các đường tròn có cùng bán kính R

Câu 6: (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh rằng: ACB AB

Kẻ phân giác CD (DAB ) của ACB

2

ACB

Xét tam giác ACD vuông tại A ta có:

1

2

ACB AD

tgC tg

AC

Mặt khác theo tính chất đường phân giác ta có:

AD BD

AC BC



Từ (1) và (2) thì ACB AB

GV sưu tầm và giải: Lê Trọng Hiếu, trường THCS Lê Quý Đôn – Tp Rạch Giá - Kiên Giang Xin quý đồng nghiệp góp ý, nhận xét gởi qua Email: lehieukg@yahoo.com.vn (ĐT: 0917773123) Vui lòng cho biềt họ tên, địa chỉ Nếu cần gì xin chia sẻ!

2

1

1

//

//

H C'

A'

H'

O

C

2

A

B

2

1 2 D

B