de thi 8

trên đường chéo BD lấy một điểm M, ttrên tia AM lấy điểm E sao cho M Là trung... điểm của AM.. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của E trên BC và DC.. Tứ giác HEKC là hình chữ nhật.. Gọi

UBND HUYỆN CẦU KÈ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

(Đề chính thức) MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:

1 4x2 – 8x + 3

2 x2 – y2 + 10 x – 6y + 16

3 x5 + x + 1

4 a (b2 – c2) + b (c2 – a2) + c (a2 – b2)

Giải :

1 4x2 – 8x + 3 = 4x2 – 2x – 6x + 3

= 2x(2x – 1) – 3(2x – 1)

= (2x – 1)(2x – 3)

2 x2 – y2 + 10x – 6y +16 = x2 + 10x + 25 – y2 – 6y – 9

= (x2 + 10x + 25) – (y2 + 6y + 9)

= (x + 5)2 – (y + 3)2

= (x + 5 + y + 3)(x + 5 – y – 3)

= (x + y + 8)(x – y + 2)

3 x5 + x + 1 = x5 – x2 + x2 + x + 1

= x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)

= x2(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)( x3 - x + 1)

4 a (b2 – c2) + b (c2 – a2) + c (a2 – b2) =

= a (b2 – c2) + b(c2 – b2 + b2 – a2) + c (a2 – b2)

= (b2 – c2)(a – b) + (a2 – b2)(c – b)

= (b + c)(b – c)(a – b) – (a + b)(a – b)(b – c)

= (a – b)(b – c)(c – a)

Bài 2: (5 điểm)

1 Xác định hệ số a, b sao cho đa thức: x4 + ax3 + b chia hết cho x2 – 1

2 Cho biểu thức:

a. Rút gọn P

b. Tìm các giá trị của x để P = 1

c. Tìm các giá trị của x để P > 0

Giải :

1 Thực hiện phép chia đa thức x4 + ax3 + b cho đa thức x2 -1 ta được thương là

x2 + ax + 1, số dư là ax + (b + 1)

Do đó: a = 0 và b + 1 = 0

Vậy: a = 0 và b = - 1

2

b ĐKXĐ: x ≠ 0 ; x ≠ - 3; x ≠ ± 2

P = 1 <=> = 1 <=> x + 4 = 6 <=> x = 2 (không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị nào của x để P = 1

c P > 0 <=> > 0 <=> x + 4 > 0 (vì 6 > 0)

<=> x > - 4 (và x ≠ 0 ; x ≠ - 3 ; x ≠ ± 2)

Bài 3: (4 điểm)

1 Phân tích đa thức thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc

2 Cho và x, y, z khác 0 Tính giá trị của biểu thức:

Giải :

1 a3 + b3 + c3 – 3abc = a3 + (b + c)3 – 3bc (b + c) – 3abc

= (a + b + c){a2 – a(b + c) + (b + c)2} – 3bc (a + b + c)

= (a + b + c) (a2 – ab – ac + b2 + 2bc + c2 – 3bc)

= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)

2

Áp dụng câu 1: nếu a + b + c = 0 thì: a3 + b3 + c3 = 3abc

Vậy: A = xyz = 3

Bài 4: (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm đối xứng là điểm O trên

đường chéo BD lấy một điểm M, ttrên tia AM lấy điểm E sao cho M Là trung

điểm của AM Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của E trên BC và DC Chứng minh rằng:

1 Tứ giác HEKC là hình chữ nhật

2 OM // CM

3 HK // AC

4 Ba điểm M, H, K thẳng hàng

Giải :

2 2

I 1

1

B

E

K

O

M H

C D

tứ giác HEKC là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)

2 Gọi I là giao điểm của

HK và CE, O là giao điểm của AC và BD

Ta có: OM là đường trung bình của ACE

Vậy: OM // CE

3 Ta có: = (góc đồng vị) (1)

V COD cân tại O; VCIK cân tại I

Do đó: = (2)

= (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra : =

Vậy: HK // AC

4 Xét V ACE có đường thẳng HK đi qua trung điểm I của CE và HK // AC nên đường thẳng HK đi qua trung điểm của AE, tức đi qua điểm M

Vậy 3 điểm M, H, K thẳng hàng

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ở đỉnh A Điểm E nằm trong tam

giác sao cho: Tính số đo góc AEB ?

Giải :

E

C

B

A

Trong tam giác ABC lây điểm K sao cho

⇒ V KAB = V EAC (c – g – c)

Do đó: AK = AE ⇒ tam giác AKE cân tại A

= 900 – 2 150 = 600

Nên tam giác AKE là tam giác đều Mà = 3600 – (1500 + 600) = 1500

⇒

Ta có: V BAK = V BEK (c – g – c)

⇒

Vậy: = 600 + 150 = 750