SỞ GD& ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT TIẾN THỊNH
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ 11
Năm học: 2010- 2011 Thời gian: 120 phút
ĐỀ BÀI
Câu 1: (2 điểm)
Giải các bất phương trình sau:
,
+
x a
, − 3 + + > 1 3 0
Câu 2:(2 điểm)
Cho hệ phương trình: 2 2
2 3
+ = −
+ + =
a, Giải hệ với m=1
b, Tìm m để hệ có nghiệm
Câu 3: (1 điểm)
2 = − 7
a cos và π < <a 2 π
Tính sin a, cosa
Câu 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có đỉnh C(-2; -4), có trọng tâm G(0; 4)
a, Viết phương trình đường trung tuyến hạ từ đỉnh C của tam giác ABC
b, Gọi điểm M(2; 0) là trung điểm của cạnh BC Tìm toạ độ A, B
c, Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng CG
Câu 5: (1 điểm)
Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn: a b c+ + = 1
Chứng minh rằng: 1 1 1 7
2 + + + + + <
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM
điểm
1
a, đk x≠ − 1
2
2 2
0
0
−
Lập bảng xét dấu vế trái ta được tập nghiệm của bất phương trình là:
( ; 1) [ ]0;1
= −∞ − U
T
1 đ
b, đk x≥ − 1
, − 3 + + > ⇔ 1 3 0 3 + < + 1 3
b x x x x Vì x≥ − 1 nên x+ > 3 0,Bình phương 2
vế ta được ( ) ( )2 2 0
3
<
+ < + ⇔ − > ⇔ >x
x
Kết hợp với đk ta có tập nghiệm của bất phương trình là:
[ 1;0) (3; )
T
1đ
2
a, Với m=1 ta có hệ phương trình 2 2
1 3
+ =
+ + =
x y
Vậy x, y là nghiệm của phương trình 2 1
2 0
2
= −
− − = ⇔ =X
X
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (-1; 2) và (2; -1)
0,5đ
0,5đ
Vậy x, y là nghiệm của phương trình 2 2
Để hệ có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm nên ∆ ≥ 0
2
0,5đ
0,5đ
Trang 3Vậy0 ≤ ≤m 4 thì hệ phương trình có nghiệm
3
2 2
< <a ⇒ < < π a
2 >
a
Vậy sin 2 5
2 = 7
a
Khi đó sin 2sin 2.2 5. 3 12 5
2
= − = − ÷ − = −
a
0,5đ
0,5đ
4
a, Phương trình đường trung tuyến CG là: − + − = 4x y 4 0 1đ
b, Vì M là trung điểm BC nên
Vậy điểm B(6; 4)
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên
Vậy điểm A(=4; 12)
1đ
1đ
c, Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng chứa cạnh CG chính là bán
kính của đường tròn:
2 2
4.( 4) 12 4 24 ( ; )
17 ( 4) 1
− − + −
− +
d A CG
Phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng chứa cạnh
CG là: ( ) (2 )2 576
17
0,5đ
0,5đ
5 Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương a+1 và 1 ta có
1 ( 1).1 1 1 1
+ +
Tương tự 1 1
2 + ≤ +b
2 + ≤ +c
c
0,5 đ
Trang 4Cộng tương ứng 3 vế của 3 bất đẳng thức trên ta được
7
+ +
Dấu bằng xẩy ra khi a= b= c= 0 khi dó a+ b+ c= 0 (vô lí)
Vậy dấu bằng không xảy ra hay 1 1 1 7
2 + + + + + <