Cho đường tròn tâm O đường kính CD.. Cho tam giác ABC.. Từ C dựng tiếp tuyến thứ hai CE với đường tròn này E là tiếp điểm.. Trung tuyến AM của tam giác ABC M∈BC cắt CE tại I.. Chứng minh
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2010 LÂM ĐỒNG Khóa ngày 25 tháng 6 năm 2010
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1,75điểm) Tính giá trị của biểu thức: 4 9
Câu 2: (1,75điểm) Giải phương trình: x4−10x3+25x2−36 0=
Câu 3: (1,5điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính CD Gọi H là điểm trên đoạn OC
(H ≠O H; ≠C), qua H vẽ dây AB vuông góc CD
Chứng minh: 4OH2 =CD2−AB2
Câu 4: (1,75điểm) Cho tgα = −2 3 (α là góc nhọn)
Không dùng máy tính, hãy tính: 2cos sin
cos 2sin
−
=
Câu 5: (1,75điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2 2
x − −xy y − =
Câu 6: (1,75điểm) Giải hệ phương trình: ( )
2
x y
xy x y
+ =
Câu 7: (1,5điểm) Cho C= − + − +1 2 22 23 2+ 2010 Tính giá trị của biếu thức: 3C−22011
Câu 8: (1,75điểm) Cho hai số a, b thỏa mãn hệ thức: 5a2+b2 =6ab; (a≠0;b≠0;a b≠ ) Tính
giá trị biểu thức: D a b
a b
−
= + .
Câu 9: (1,5điểm) Cho tam giác ABC Qua trọng tâm G của tam giác vẽ đường thẳng d cắt hai
cạnh AB và AC lần lượt tại M và N (M N; ≠ A) Chứng minh: AB AC 3
AM + AN =
Câu 10: (1,75điểm).Chứng minh với mọi số thực a, b ta luôn có: a2+ + ≥b2 1 ab a b+ +
Câu 11: (1,5điểm) Cho tam giác ABC có · 0
120
BAC= , AB=6cm AC, =3cm Vẽ phân giác AD
của ·BAC (D BC∈ ) Tính AD.
Câu 12: (1,75điểm).Cho tam giác ABC vuông tại A Trên cạnh AB lấy điểm D (D≠ A D B, ≠ ),
vẽ đường tròn (D R; ) tiếp xúc với cạnh BC ( R < DA) Từ C dựng tiếp tuyến thứ hai CE với đường tròn này (E là tiếp điểm) Trung tuyến AM của tam giác ABC (M∈BC) cắt CE tại I Chứng minh: IA IE= .
Hết
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ……… Chữ ký của giám thị 1:………Chữ ký của giám thị 2:………
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2010
LÂM ĐỒNG Khóa ngày 25 tháng 6 năm 2010
Môn thi: TOÁN
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN ĐIỂM BIỂU ĐÁP ÁN ĐIỂM BIỂU
Câu 1: (1,75điểm) Tính:
5 5 2
= −
Câu 2: (1,75điểm) Giải phương trình:
x4−10x3+25x2−36 0=
* Biến đổi dẫn đến phương trình
2
2
x x
* Tìm được tập nghiệm của phương trình:
S = −{ 1;2;3;6}
Câu 3: (1,5điểm).
* Lập luận để có hệ thức: OH2+AH2 =OA2
AH = OA= ,
suy ra:
2
CD AB
OH = − ⇒4OH2 =CD2−AB2
Câu 7: (1,5điểm).
0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,75đ
0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ
Câu 4: (1,75điểm).
cos sin 2
cos sin
2
1 2
B
tg B
tg
α α
−
−
−
= +
* Thay giá trị tgα = −2 3 vào biểu thức B
- Tính được: 6 5 3
13
B= + .
Câu 5: (1,75điểm).
x xy y
x xy y
x x y y x y
x y x y
− − − =
* Vì x, y nguyên dương, Nên x +y > x – 2y >0
− = =
Câu 6: (1,75điểm).
3
3
2 2
2
1 2
x y
xy x y
x y xy x y
xy x y
xy
xy x y
+ =
⇔
+ =
+ = + =
⇔ + = ⇔ =
* Suy ra x, y là nghiệm của phương trình: X2 – 2X +1 = 0 (*)
* Giải phương trình (*) tìm được:
X1 = X2 = 1
* Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 1
1
x y
=
=
0,5đ 0,5đ
0,75đ
0,25đ 0,75đ 0,25đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,25đ
Trang 32 3 2010
2011
1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
C
C
C C C
C
= − + − + +
⇒ = − + − + +
⇒ = + = +
Câu 8: (1,75điểm).
* Từ:
a b ab
a ab b ab
a b a b
+ =
* Vì
0; 0;
⇒ − = ⇔ =
Do đó:
a b a a A
a b a a
Câu 9: (1,5điểm).
* Vẽ
BH // MN và CK // MN (H K tia AG, ∈ )
* Gọi I là giao điểm của AK và BC
* Xét : ∆ABH MG BH( // )
AB AH ( )1
AM AG
* Xét : ∆ACK NG CK( // )
AC AK ( )2
AN AG
Từ (1) và (2) suy ra:
AB AC AH AK
+
* Mà HI =IK (∆BHI = ∆CKI)
Suy ra: AH+AK = 3AG (4)
Từ (3) và (4), suy ra : AB AC 3
AM + AN =
0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,75đ
0,5đ 0,5đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ
Câu 10: (1,75điểm).
2
1
a b ab a b
a ab b a a
b b
+ + ≥ + +
+ − + ≥
⇔ − + − + − ≥ Bất đẳng thức luôn đúng với mọi ,
a b R∈ Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = 1
Câu 11: (1,5điểm).
* Kẻ tia Bx //DA cắt đường thẳng AC tại E
* Tam giác ABE đều, suy ra: AE = BE = AB = 6cm
* Xét : ∆BCE AD BE( // )
3
2
CA AD
CE BE AD
AD cm
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,25đ
0,5đ
0,5đ 0,5đ
Trang 4Câu 12: (1,75điểm).
* Ta có:··
0 0
90 90
DAC DEC
= ⇒
= AEDC nội tiếp.
* Chỉ ra :
1
2
ADC AEC ADC DBC BCD
=
Từ (1) và (2) ⇒·AEC DBC BCD=· +· ( )*
* Lại có:
EAI EAD DAI EAD BCD DAI DBC EAI BCD DBC
Từ (*) và (**) ⇒·AEC EAI=· Suy ra: ∆IAE cân tại I, nên IA = IE
0,5đ
0,5đ
0,5đ 0,25đ
* Học sinh có thể giải bằng cách khác, nếu đúng thì căn cứ vào biểu điểm để cho điểm từng phần.