TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA HÀM SỐ 1.. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Bài 2... TÍCH PHÂN CÁC HÀM HỮU TỈ 1.. TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC 1... CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN:... C
Trang 1Bài toán 1 TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA HÀM SỐ
1 Cho hàm số y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2, tìm m để hàm số :
a) Đồng trên R
b) Đồng biến trên (2, +∞)
c) Nghịch biến trên (0,1)
d) Nghịch biến trên một khoảng bằng có độ dài 1
2 Tìm m để hàm số :
a) y =
m x
m x
−
+
tăng trên từng khoảng xác định của nó;
b) y =
m x
m mx x
2
3
2
−
+
− đồng biến trên (1, +∞)
Bài toán 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1 Cho hàm số : y = x3 – 3mx2 + 6(1+ m)x + 1,( C) Định m để hàm số :
a) Có CĐ & CT
b) Đạt CĐ tại x = 1
c) Đạt cực tiểu tại x = 1
d) Có 2 điểm cực trị nằm 2 bên Oy
e) Có 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua d: x – 2y + 7 = 0
2 Cho hàm số : y = x2 mx m
x m
+ Định m để :
a) Có 2 điểm cực trị nằm 2 bên Ox
b) Đoạn nối 2 điểm cực trị bằng 4
c) Có 2 cực trị thoả:y cd −y ct <4
3 Cho hàm số : y = x4 – mx3 + ( m - 2)x2
Tìm m để hàm số b) có 3 cực trị ?c) có 1 cực trị ? có cực tiểu mà không có cực đại
Bài toán 3 MIỀN GIÁ TRỊ , GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT
1 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) y = 2x – sin4x [ ; ]
2 2
x∈ −π π
b) y = 2x + đs: min(y) = -2; max(y) = 5
c) y = 3sin2x – 2sin3x
d) y =
x
x x
cos 2
2 sin cos
+
− +
e) y = sinx + cos2x + 1
f) y = x + 4 x− 2 (ĐH 2003, khối B) (đs: max y = 2, min y = - 2)
g) y =
1
1
2 +
+
x x
trên đoạn [-1, 2] ĐH 2003, khối D (đs: max y = , min y = 0)
Trang 2Bài toán 4 LỒI – LÕM – ĐIỂM UỐN
1 Định m để các đường cong sau đây :
a) y = m + 1 + 2mx2 – x4luôn luôn lồi
b) y =
1
1 2
2
+
− +
x
mx
c) y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x + 2m có điểm uốn nằm trên đường thẳng y = x
2 Định a, b để đồ thị hàm số :
a) y = ax3 + bx2 nhận U(1, 3) làm điểm uốn
b) y = x3 – ax2 + x + b nhận I( 1, 1) làm điểm uốn
TIỆM CẬN
1 Tìm m để các đồ thị hàm số sau không có tiệm cận:
a) y =
m x
m x x
−
+
−
2 2
b) y =
1
2 )
1 ( 2
+
− +
− +
x
m x m x
2 Cho ( Cm ) : y =
2
2 )
1 ( 2
−
− +
−
−
x
m x m mx
a) Tìm m để ( Cm ) không có tiệm cận
b) Tìm m để tiệm cận xiên đi qua điểm A( 1,3)
c) Tìm m để tiệm cận xiên vuông góc với đường thẳng d : x + 2y –1=0
d) Tìm m để tiệm cận xiên song song với phân giác góc phần tư thứ nhất
3 Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = 2 ( 1) 4
1
x
− tạo với 2 trục toạ
độ một tam giác có diện tích bằng 8 đơn vị
4 Cho hàm số y = 2 6
1
mx x x
− + + Tìm m để khoảng cách từ gốc O đến tiệm cận xiên
lớn nhất
Vấn đề SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Bài 1 Cho Cho hàm số y = + +
+
2 2 2
x ( C), & d: y = mx – m tìm m để : a) ( C) cắt d tại 1 điểm
b) ( C) cắt d tại 2 điểm
c) ( C) cắt d tại 2 điểm có hoành độ âm
d) ( C) cắt d tại 2 điểm nằm 2 bên Oy
e) ( C) cắt d tại 2 điểm A, B sao cho đoạn AB = 1
f) ( C) cắt d tại 2 điểm tại 2 điểm thuộc 2 nhánh khác nhau
g) ( C) cắt d tại 2 điểm M, N sao cho OM vuông góc với ON
Bài 2 Cho hàm số y = -x3 + (m + 1)x2 – (2m + 1)x + 6 Tìm m để :
a) ( C) cắt Ox tại 1 điểm
Trang 3b) ( C) cắt Ox tại 2 điểm
c) ( C) cắt Ox tại 3 điểm
d) ( C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ dương
e) ( C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ lớn hơn 1
f) ( C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ thoả: x12 + x22 + x32 < 11
Bài 3 Chứng minh (d) : y = -x +m luôn cắt ( C): y =
2
1 2
+
+
x
x
tại 2 điểm A, B phân biệt Tìm m để AB ngắn nhất
Bài 4 Cho ( C): y =
x
1 và ( C’): y = d
c
x +
−
3
Tìm c > 0 và d > 0 để hai đồ thị cắt nhau Tại 2 điểm có hoành độ là 1 và 2 Khảo sát , vẽ đồ thị của (C), (C’) với c, d vừa tìm được trên cùng một hệ trục toạ độ
Vấn đề BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Bài 2 Cho ( C): y =
1
4 5
2 2
−
+
−
x
x x
a) Khảo sát-vẽ đồ thị (C)
b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm phương trình:
2.4t – (5 + m).2t + m + 4 = 0
Bài 3 Cho (C): y =
1 2
2 2
−
x x
a) KS-vẽ đồ thị (C)
b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm phương trình:
2cos2x – 2mcosx + m = 0, x ∈[0, 1800]
Bài 4 (CĐTCKT4, 2003) Cho (C ): y = - x3 + 3x2 – 2
a) Ks – vẽ đồ thị của (C)
b) Tìm t để phương trình: −x3+3x2−2−log2t=0 có 6 nghiệm đs: 1 < t < 4
Bài 5 (KHỐI A, 2002) Cho y = -x3 + 3x2
a) Ks – vẽ đồ thị
b) Tìm k để phương trình : - x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài 6 Cho (C): y = x3 – 3x
a) Ks – vẽ đồ thị (C)
b) Tìm m để phương trình : - x3 + 3x + log3m = 0 có đúng 2 nghiệm âm
Vấn đề TIẾP TUYẾN
Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) tại điểm chỉ ra:
a) (C): y = x3 –3x2 + 4 tại điểm uốn, C/m tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất trong số các tiếp tuyến của (C)
b) (C): y =
1
1 2
+
−
x x
tại giao điểm với đường x –2y – 2 = 0
Trang 4Bài 2 Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) thoả điều kiện đã chỉ ra, và tìm toạ độ tiếp
điểm :
a) (C): y =
2
1 2
−
−
x
x
, i ) tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3 , tìm tọa độ tiếp điểm ii) tiếp tuyến song song với y = -12x + 4, tìm tọa độ tiếp điểm b) (C): y =
1
1 3 2
+
−
−
−
x
x
i) tiếp tuyến vuông góc với đường x –2y + 3 = 0, tìm tọa độ tiếp điểm
ii) tiếp tuyến song song với trục hoành , tìm tọa độ tiếp điểm
c) (C): y = x3 – 3x2 + x – 2
tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc 450
Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm đã chỉ ra:
a) y =
x
x x
−
+
−
1
4 4
2
tiếp tuyến qua ( -1,0), tìm toạ độ tiếp điểm
Bài 4 Tìm điểm từ đó vẽ được tiếp tuyến với (C) cho trước:
a) Tìm những điểm trên Oy sao từ đó vẽ được ít nhất 1 tiếp tuyến tới ( C):
y =
1
1 2
−
+
−
x
x x
b) Tìm những điểm trên y = -2 sao từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến tới ( C):
y = x3 – 3x2 + 2
c) Tìm những điểm trên x = -2 sao từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến tới ( C):
y = x3 – 3x2 + 2
Bài 6 Tìm m để đồ thị hàm số sau:
a) y = x3 – m(x – 1) – 1 , tiếp xúc với trục Ox, tìm toạ độ tiếp điểm
b) y =
1
2 )
1 2 ( 2
−
+ +
− +
x
m x m
Bài 7 Tìm m, n để đồ thị hàm số sau:
a) y = 2x3 –3(m + 3)x2 + 18mx + n , tiếp xúc với trục Ox tại A(1,0)
b) y =
1
2 )
1 2 ( 2
−
+ +
− +
x
m x m
mx có TCX tiếp xúc với (P): y = x2 + n
tại điểm có hoành độ x = 2
Vấn đề SỰ ĐỐI XỨNG
1 Cho hàm số (C): y = x3 + (m – 2)x2 + 3x + m + 1
a) Cho m = 3, tìm trên (C) 2 điểm M, N đối xứng nhau qua I(0 , 1)
b) Cho m = 1, tìm trên (C) 2 điểm M, N đối xứng nhau qua I(0 ,-2)
c) Tìm m để trên (C) tồn tại 2 điểm M, N đối xứng nhau qua I(0, - 1)
2 (ĐH 2003, khối B) Tìm m để trên đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + m có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ (đs: m > 0)
3 Tìm trên (C): y =
2 2
4 3 2
−
+
−
x x
x 2 điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
Trang 5TÍCH PHÂN
I TÍCH PHÂN CÁC HÀM HỮU TỈ
1.
2 2 2 0
dx
∫
2.
2 0
3
x x dx
+
∫
3.
2 1
4
x dx
−
−∫ + +
4.
2 2 0
1
1dx
x +
∫
5.
2 2 0
x dx
− +
∫
II TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
1 A = 2
0
cos
1 sin
xdx x
π
+
∫ ; B =
3 2
6
cos sin
xdx x
π
π∫ ; C = 2 5
0 cos x dx
π
∫ ; D = 4 3
0
tg x dx
π
∫
2 L = 6
3
cot 2g xdx
π
π
π
+
2 0
3 1
4
x cos
xdx
cos 0
sin2 x e x.dx
π
∫
0
sin xcos xdx
π
2 2 4
cos sin
xdx x
π
π∫ ;
4 O = 2
dx
π
03 5sin 3cos
dx
π
đs: 1/5 (ln8 – ln3)
x cos
dx J
; x sin
dx
6 Tính ∫/2 + +
0 1 3cos
sin 2 sin
π
dx x
x x
(ĐH Khối A-2005) Đáp
27
34
7 Tính ∫/2 +
0 1 cos
cos 2 sin
π
dx x
x x
(ĐH Khối B-2005) Đáp 2ln2−1
8 E = ∫
π
2
0
42xdx cos ; F = ∫
π
π
2
4
4x sin
dx
16
3
1 / I = π / J =
: Đáp
Trang 69 G = 6 3
0cos2
tg x dx x
π
∫ ; H = 2
01 sin2
dx x
π
+
∫ ( t = tgx )
12
3
cos (1/ )dx
π
π
∫ 3 1−
10*
1 Tính
x cos x
sin
dx 2 2
4
∫
π
đặt t = tgx
18
3
π
=
I : Đáp
x g cot tgx
x sin x sin
2
4 3
C x cos x cos x cos x cos I
:
−
=
5
5 9
9 3
3 4 1
6
3
6sin sin( )
6
dx
π
0
dx
π
+ +
∫
III TÍCH PHÂN CÁC HÀM CHỨA CĂN THỨC :
e
e
x
x
1
2
2 ∫x2 4−x dx2
x
x
1
ln 1
0
3
5 x 1 dx
45 1192
5 x x2 4
dx
( ĐH 2003,khối A)
3
5 4
1 ln
6 ∫exln+xdxlnx
5 46
7 ∫3 xdx+ x 2 x− 3 3 x+ 6 6 x− 6 ln 6 x+ 1 +C
0 2 4
1
dx
x +2
5 1 ln
k x
dx
Trang 7I. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. ∫e x e x dx
1
5 2
2
) 2 2
e
e+ e − +
−
2. ∫2
0
2 sin
π
xdx
e x
5
1
2eπ+
3. ∫2
0
2 cos3
π
xdx
e x
13
2
− eπ
4. ∫4
0
2
sin
π
dx
5. ∫2
0
2cos
π
xdx x
4
8
2− π
6. ∫4
0
2
π
xdx
2
1 4 32
2
+ +
7. ∫e dx
x
x
1
3
ln
2
2 4
1 4
e
e +
−
8. ∫ex + ln xdx
9. ∫sinxdx2x
+lnx e dx x
x 1
11. ∫π
0
2xdx cos x sin
12
+
x
x ln x 1
1
.(ĐH Hàng hải 1998)
14. ∫
π
2 0
3 2
xdx cos x sin
2
15. ∫
π
e
dx x
1
) cos(ln
2
1
+
−eπ
16. ∫/2 +
0 1 sin2
π
dx x
x
4
π
17. ∫/2
0
) ln(cos 2
cos
π
dx x x
4
π
VI CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN:
Trang 81 a) Cho f (x)là hàm số liên tục trên đoạn [0; CMR: 1] ∫xf(sinx)dx=
0
π
2
π
∫
π
0
)
(sin dx x
b) Tính I= ∫π +
0
2
1 cos x
xdx sin x
; J = ∫π
0
3
4xsin xdx cos
4
I =π 2
35
J = π
2 a) Chứng minh rằng nếu f (x)là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [ - a ; a ] thì
∫ ( ) =0
−
a
a dx x
f Aùp dụng, tính A =
-4
sin ; B = x
x
π
π
−
+
3 a) Cho a > 0 và f(x) là một hàm số chẵn, liên tục và xác định trên R
Chứng minh rằng ∀x∈ R, ta đều có ∫ =∫
+
−
x 0
x x
t (t)dt 1
a
dt ) t (
b ) Tính A = dx
2 1
x 1 1 x
4
∫
1 1
x
2 1)(e 1) x
(
dx
Đs: 1;
A= B =π
4 a) f là hàm liên tục trên [ a ; b ] CMR : ∫b =∫ + −
a
b a
dx ) x b a ( dx ) x
b) Tính I = ∫
π
+
4 0
1 tgx)dx ln( Đáp : 2/ I =π8 ln2
− +
≤ 1
1 2
3
2
x x
dx
−
−
≤
2 4
dx
IV DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y= cosx trên đoạn [ ; ]
2
π π
−
và trục hoành
2 Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi các đường : x = 1, x = e, y = 0, y =
x
x
2 ln
) đvdt ( e :
Đáp 2 −
3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : (ĐH 2002 , khối A)
3 3
4
6 109
4 Cho (P) : y2 = 2x Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) , trục Ox và tiếp tuyến của (P) tại A(2 , 2) Đáp : 34 (đvdt)
5 Tính thể tích hình tròn xoay được tạo thành khi ta quay hình phẳng giới hạn các đường sau quanh Ox : y =lnx;y=0;x=2 Đáp 2 π (ln 2 − 1 ) 2 (đvtt)
Trang 9GIẢI TÍCH TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON
1 Trong các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu :
1/ Số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau
2/ Số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau
Đáp : 1/ 288 số 2/ 312 số
2 Có bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số phân biệt lấy từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 biết rằng số đó lớn hơn 5000 ?
Đáp : 60 số
9 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số phân biệt , trong đó có chữ số 0 và chữ số 1?
Đáp : 42000 số
10 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số (chữ số đầu tiên phải khác 0), biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần , chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá
1 lần ? Đáp : 11340 số
11 Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, chữ số 1 có mặt ba lần , các chữ số khác có mặt một lần ? Đáp : 5880 số
12 Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số chẵn
Đáp : 4500000 số
13 Từ các số 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8 Lập các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau thoã:
a) chia hết cho 3 b)tổng của 4 chữ số lẻ b) tổng của 4 chữ số đó bằng 10
21 Một lớp học có 30 học sinh trong đó có 20 nam Có bao nhiêu cách chọn 4 HS : 1 làm lớp trưởng; 1 làm trực nhật; 1 đi thi HS giỏi; 1 làm văn thể mỹ, chọn sao cho :
a) chọn tuỳ ý b)có đúng 1 nam; c) không có nam
25 Xác định số cạnh của một đa giác lồi , biết số đường chéo gấp đôi số cạnh
Đáp : 7 cạnh
26 Trên đường tròn cho 12 điểm Có bao nhiêu tứ giác nhận các điểm đã cho làm đỉnh ?
Đáp : 495 tứ giác
27 Cho ∆ABC Có 4 đường thẳng song song với AB , 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với AC Chúng tạo ra bao nhiêu :
1/ Tam giác?
2/ Hình thang (không kể hình bình hành)?
Đáp : 1/ 120 tam giác 2/ 720 hình thang
10 Có 10 điểm , trong đó có đúng 6 điểm đồng phẳng, ngoài ra không còn bộ 4 điểm nào đồng phẳng Chúng tạo ra bao nhiêu :
1/ Mặt phẳng ? 2/ Tứ diện ? Đáp : 1/ 101 mặt phẳng 2/ 195 tứ diện
11 Đa giác đều 20 cạnh Xét các tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác
1/ Có bao nhiêu tam giác như vậy?
2/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác?
Trang 103/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác?
4/ Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác?
NHỊ THỨC NEWTON
1 Cho khai triển : (1 + x)9 + (1 + x)10 + + (1 + x)14 , tìm hệ số của x9 đs: 3003
1. Cho ( x2 + 3x + 2)10 Tìm hệ số chứa x19
2. Cho khai triển (x2 + 1)n(x + 2)n , tìm n biết a3n – 3 = 26n (hệ số a3n-3của số hạng chứa
x3n –3 ) đs: n = 5
3. Cho khai triển ( )15
3 4 7
x −x y tìm số hạng có số mũ của x bằng số mũ của y
4. Cho khai triển ( 3 )9
2
3+ , tìm hạng tử nguyên Đs: 4536 & 8
5. Cho
n x x
+ −15
28
3 , Tìm số hạng không chứa x biết : + − 1+ n − 2 =79
n
n n
n
6. Cho
n x x
−
3 2
1 2
2 , Biết rằng trong khai triển đó C3n =5C1n và số hạng thứ tư bằng 20n Tìm x và n đs: x = 4; n = 7
7. Tìm số n nguyên dương thoả: 0 1 2 n 1024
C +C +C + +C =
8. Tìm số n nguyên dương thoả: 0 +2 1 +4 2 + +2 n =243
n
n n
n
n C C C
C
9. Tính đạo hàm hàm số : f(x) = (2 + x)n , từ đó tính
a) S = 2n 1 2.2n1 2 3.2n 2 3 20 n
C + −C + −C + +n C
b) S = 2n1 1 2.2n 2 2 3.2n 3 3 20 n
− + − + − + +
10. Tính tích phân : I =
1 0 (1+x dx) n
∫ bằng 2 cách Từ đó tính
S = 1 + 1 1 1 2 1 3 1
n
n
+
11. Tính tích phân : I =
2 0 (1−x dx) n
∫ bằng 2 cách Từ đó tính
S = 2 0 122 1 123 2 ( 1)2 1
n
+
−
+
12. Tính tích phân : I = ∫1 + 2
0 (1 x ) n xdx bằng 2 cách Tính:
S = + + + +
+
n
n
13. Tính tích phân : I = ∫3 +
1 (1 2 ) x dx bằng 2 cách Tính : n
Trang 11S = + − + − + + + − +
+
0 3 2 1.2 3 2 2 22 3 2 .2
n n
n