Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.. a Chứng minh: NE2 = EP.EM b Chứng minh: Tứ giác DEPN là tứ giác nội tiếp... I H ớng dẫn chung: - Thí sinh làm bài theo cách riêng nhng
Trang 1sở giáo dục và đào tạo
Hải dơng kỳ thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2009 - 2010
Môn thi: toán
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày 08 tháng 07 năm 2009 (buổi chiều)
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: (2,0 điểm)
a) Giải phơng trình: x 1 1 x 1
b) Giải hệ phơng trình: x 2y
x y 5
=
− =
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: 2 ( x 2 ) x
A
−
− + với x 0 ≥ và x 4 ≠
b) Một hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 2 cm và diện tích
của nó là 15 cm2 Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho phơng trình x2 - 2x + (m - 3) = 0 (ẩn x)
a) Giải phơng trình khi m = 3.
b) Tính giá trị của m, biết phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
1 2
x , x và thỏa mãn điều kiện: 2
x − 2x + x x = − 12
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác MNP cân tại M có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp
đờng tròn (O; R) Tiếp tuyến tại N và P của đờng tròn lần lợt cắt tia
MP và tia MN ở E và D
a) Chứng minh: NE2 = EP.EM
b) Chứng minh: Tứ giác DEPN là tứ giác nội tiếp.
c) Qua điểm P kẻ đờng thẳng vuông góc với MN cắt đờng tròn (O) tại
điểm K (K không trùng với P) Chứng minh rằng: MN2 + NK2 = 4R2
Câu 5: (1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = 6 8x2
− +
- Hết
-Họ, tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị
2:
Sở giáo dục và đào tạo
Hải d ơng
Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Năm học 2009 – 2010 Môn: Toán
hớng dẫn chấm
Đề thi chính thức
Trang 2I) H
ớng dẫn chung:
- Thí sinh làm bài theo cách riêng nhng đáp ứng đợc với yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ
điểm
- Việc chi tiết hóa điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải đợc thống nhất trong Hội
đồng chấm
- Sau khi cộng toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm
II) Đáp án và thang điểm:
1
Phơng trình có nghiệm: x= −1 0,5 b) x 2y
2y y 5
=
− =
Hệ phơng trình có nghiệm là (x; y) = (10; 5) 0,5
2
A
x 2
x 2 x 2
−
+
x 2 x 2
0,5
x 2
x 2
+
b) Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x cm (x > 0)
⇒ Chiều dài hình chữ nhật là (x + 2) cm 0,25 Theo bài ra ta có phơng trình:
x(x + 2) = 15 0,25 2
x 2x 15 0
Ta đợc nghiệm x1 = 3 (thỏa mãn), x2 = -5 (loại) 0,25 Vậy chiều rộng và chiều dài hình chữ nhật lần lợt là 3 cm, 5 cm 0,25
3
a) Khi m = 3 ta có phơng trình x2 - 2x = 0 0,5 Tìm đợc nghiệm: x = 0 hoặc x = 2 0,5 b) Phơng trình x2 - 2x + (m - 3) = 0
Để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì:
' 0∆ > ⇒ − + > ⇒ <1 m 3 0 m 4 0,25 Khi đó x1+x2 =2, x x1 2= −m 3 0,25
Từ 2
x −2x +x x = − ⇒12 x (x +x ) 2x− = −12 ⇒2x1−2x2 = − ⇒ −12 x1 x2 = −6
Kết hợp với x1+x2 =2ta đợc x1 = -2, x2 = 4 0,25
Từ x x1 2 = − ⇒ − = − ⇒ = −m 3 m 3 8 m 5 (thỏa mãn)
4 a) Vẽ hình đúng Ta có ãNMP ENP =ã 0,5
(Góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung NP)
0,25 MEN
∆ và NEP∆ có:
ãNMP ENP =ã , góc NEM chung
⇒∆MEN đồng dạng với NEP∆ 0,5
Trang 3b a
O
y x
E D
P N
NE ME.EP
b) Do tam giác MNP cân tại M nên MN = MP ⇒MaN MbPẳ =ẳ
Mặt khác ãMNx 1sđMaNẳ
2
= , ãMPy 1sđMbPẳ
2
Lại do ãMPy DPE=ã (đối đỉnh), ãMNx DNE=ã (đối đỉnh) 0,25
⇒ ãDPE = ãDNE ⇒ tứ giác DNPE nội tiếp. 0,25 c)
A
K
O
E D
P N
M Kẻ đờng kính KA
⇒KPA 90ã = 0⇒ AP KP⊥ mà KP MN⊥
⇒MN //PA ⇒ ãNMP = ãMPA
ã ã
MA NP MAP NPA MNP NMA
⇒ NA = MP, mặt khác MP = MN
Tam giác KNA vuông ở N
⇒ KN2 + NA2 = KA2
⇒ KN2 + MN2= 4R2
0,25
5
2 x 1 2 x 2 2 x 2
6 8x 2x 2 2x 8x 8
A 2
⇒ ≥ − Vậy giá trị nhỏ nhất của A = - 2 khi x = 2
0,25 0,25
8 x 1 2 2x 1 2 2x 1
6 8x 8x 8 8x 8x 2
A 8
⇒ ≤ Vậy giá trị lớn nhất của A = 8 khi x = 1
2
−
0,25 0,25
Trang 4híng dÉn chÊm M«n To¸n
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x= −1 0,5 b) x 2y
2y y 5
=
− =
0,5
Trang 5Hệ phơng trình có nghiệm là (x; y) = (10; 5) 0,5
2
A
x 2
x 2 x 2
−
+
x 2 x 2
0,5
x 2
x 2
+
+
0,5 b) Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x cm (x > 0)
⇒ Chiều dài hình chữ nhật là (x + 2) cm 0,25 Theo bài ra ta có phơng trình:
x(x + 2) = 15 0,25 ⇔x2+2x 15 0− =
Ta đợc nghiệm x1 = 3 (thỏa mãn), x2 = -5 (loại) 0,25 Vậy chiều rộng và chiều dài hình chữ nhật lần lợt là 3 cm, 5 cm 0,25
3
a) Đờng thẳng y = 2x + (3 - m) đi qua A(-3; 1) nên ta có:
Giải và kết luận đúng: m = - 4 0,5 b)
Giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ y = 2x + (3 - m) 2
y=x
Ta suy ra x2 - 2x + (m - 3) = 0 0,25
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì ∆ > ⇒ − + > ⇒ <' 0 1 m 3 0 m 4
Khi đó x1+x2 =2, x x1 2 = −m 3 0,25
Từ 2
x −2x +x x = − ⇒12 x (x +x ) 2x− = −12
2x 2x 12 x x 6
⇒ − = − ⇒ − = −
Kết hợp với x1+x2 =2ta đợc x1 = -2, x2 = 4 0,25
Từ x x1 2= − ⇒ − = − ⇒ = −m 3 m 3 8 m 5 (thỏa mãn)
4
Ta có: ãCAB 90= 0(góc nội tiếp
chắn nửa đờng tròn tâm O) 0,25
AEH AKH 90= = (góc nội tiếp
chắn nửa đờng tròn tâm I)
0,5
Vậy tứ giác AKHE là hình chữ
b) Tam giác vuông AHC có đờng cao HE nên HC2= EC.AC
Tam giác vuông AHB có đờng cao HK nên HB2= BK.AB
⇒(HB.HC)2 = EC.AC.BK.AB 0,5 Tam giác vuông ABC có đờng cao AH nên AH2= HB.HC
⇒AH4 = EC.AC.BK.AB 0,25
Do AKHE là hình chữ nhật nên AH = EK⇒EK4 = EC.AC.BK.AB 0,25
Trang 6Vẽ Ax là tiếp tuyến của đờng tròn (O), khi đó ta có: xAB ACB = sđABã ã 1 ằ
2
Mặt khác HAB ACB ã = ã (cùng phụ với góc CAH) ⇒ ãxAB = ãHAB
Do IA = IK ⇒ ∆AKI cân tại I ⇒ ãHAB = ãIKA⇒ ãxAB = ãIKA⇒KI//Ax (1) 0,25
Do Ax⊥AO (Ax là tiếp tuyến của (O)) ⇒KI⊥AO
Do IA = IM, OA = OM nên OI là trung trực của MA⇒OI⊥MA⇒OI⊥MN
Tam giác ANO có OI⊥MN, AI⊥NO ⇒ I là trực tâm⇒NI⊥AO
Vì KI⊥AO, NI⊥AO ⇒ N, K, I thẳng hàng (2)
5
Đặt n 19 = p, n - 48 q (p,q N)+ = ∈
p n 19, q n 48 (p q)(p q) 67
p q 1 p 34 vì 67 là số nguyên tố, p > q và p + q > p - q nên
p q 67 q 33
n 1137
+ = =
A
K
O
P N
M