vật lí đại cương - vật rắn

vật lí đại cương - vật rắn tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực k...

Vật rắn

Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com

Nội dung

1 Vận tốc góc và gia tốc góc

2 Momen ñộng và momen lực ñối với một trục

3 Định luật 2 Newton cho chuyển ñộng quay

4 Công và năng lượng trong chuyển ñộng quay

5 Chuyển ñộng lăn

1a Vị trí góc

• Khi vật rắn quay quanh một

trục cố ñịnh mỗi chất ñiểm

ñều chuyển ñộng tròn, với

tâm ở trên trục quay

• Chọn một chất ñiểm thuộc vật

rắn, có vị trí cho bởi các tọa

ñộ cực r, θ.

• θ cũng là vị trí góc của cả vật

rắn, chứ không phải của riêng

chất ñiểm ñang xét

r θ

∆θ < 0, ω < 0

cùng chiều kim ñồng hồ

1b Vận tốc góc

• Trong thời gian ∆t vật rắn

quay ñược một góc:

• Vận tốc góc trung bình ñược ñịnh nghĩa như sau:

i

f θ θ

θ = −

∆

t

av

∆

∆

ω

θ f

θ i

∆θ

∆θ

∆θ > 0, ω > 0

ngược chiều kim ñồng hồ

1b Vận tốc góc (tt)

• Vận tốc góc tức thời là một

vectơxác ñịnh bởi:

• với u z là vectơ ñơn vị trên

trục quay z, hướng theo

chiều thuận ñối với chiều

ngược chiều kim ñồng hồ

• Mọi chất ñiểm trong vật rắn

quay ñều có cùng vận tốc

góc

z

u

ω

ω =

ω

z

ω

z

1c Gia tốc góc

• Gia tốc góc trung bình:

• Gia tốc góc tức thời là một vectơ xác ñịnh bởi:

• Mọi chất ñiểm trong vật rắn quay ñều có cùng gia tốc góc

t

av

∆

∆

α

dt

dω

α =

z

u dt

α

ω

α = =

1d Liên hệ giữa vận tốc góc và vận tốc dài

• Ta có:

• Đạo hàm theo thời gian cho ta:

• hay tổng quát hơn nữa:

• R là vị trí của chất ñiểm ñối

với một ñiểm gốc bất kỳ trên

trục quay

r

s=θ

r

v=ω

R

v

×

=ω

r

×

=ω

θ r s

z

ω

r v

R

1e Liên hệ giữa gia tốc góc và gia tốc dài

• Gia tốc tiếp tuyến:

• Gia tốc pháp tuyến:

( )

dt

d r dt

r d dt

dv

=

=

=

r

a t =α

2

n

r v

a

ω

2

n

u t

a t

a n

2a Phụ lục toán

• Xét hình chiếu trên trục z

của vectơ R × A,

• R là vị trí của chất ñiểm ñối

với gốc O trên trục quay,

• còn A là một vectơ xác ñịnh

ở vị trí ñang xét

• Chúng ta cần tìm một biểu

thức thuận tiện cho ñại

lượng:

(R A) (z R A) u
z

⋅

×

=

×

z

u z

A

R

2a A useful formula (cont.)

• From vector calculus we get:

• Applying it here gives:

• Resolve R in to r|| parallel and

r perpendicular to z-axis, we

have:

• Furthermore:

⋅

×

=

⋅

×

=

⋅

×

(R A) u z (u z R) A

⋅

×

=

⋅

×

r u r u r u R

×

=

× +

×

=

t

z r r u

=

×

z

u z

R

r||

r

u t

u z

u t

r

= 0

2a Phụ lục toán (tt)

• A t là hình chiếu của A trên

phương pháp tuyến

• hay:

• l là chiều dài tay ñòn của A.

(R×A)z =r u t ⋅A
=rA t

(R×A)z =r u t ⋅A
=rAcosϕ

l

rcosϕ =±

(R×A)z =r u t ⋅A
=±lA

r

φ

φ

A

t

l

r φ

π–φ

A

t

l

2b Momen ñộng ñối với trục quay

• Momen ñộng ñối với trục

quay z là hình chiếu của momen ñộng trên z.

• Với chất ñiểm ở vị trí R và

có ñộng lượng p:

• Dùng công thức trong phụ lục toán vừa rồi ta ñược:

⋅

×

=

rmv rp

L z = t =

z

u z

R

r

u t p

2b Momen ñộng ñối với trục quay (tt)

• Biểu diễn qua vận tốc góc ta có:

• Lấy tổng theo tất cả các chất ñiểm thuộc vật rắn:

• Momen quán tính của vật rắn ñối với trục z ñược

ñịnh nghĩa là:

• Vậy:

mr r

rm rmv

ω













i

i i

∑

=

i

i

i r

m

ω

I

L z =

2c Momen lực ñối với trục quay

• Momen lực ñối với trục

quay z là hình chiếu của momen lực trên z.

• Với một chất ñiểm:

• Theo phụ lục ta có thể viết:

(+) khi lực có xu hướng quay chất ñiểm ngược chiều kim ñồng hồ

z R F u

⋅

×

= τ

lF

z =± τ

z

u z

R F

F

l

3a Định luật 2 Newton cho chuyển ñộng quay

• Khi vật rắn quay quanh trục z:

• Momen quán tính I càng lớn vật càng khó quay.

tot

dL

dt =τ

,

z tot z

dL

dt =τ

=

i

i

i F l dt

d

lực ñối với trục quay

3b Bài tập 3.1

• Tìm momen quán tính của một vành tròn ñồng

nhất khối lượng M, bán kính R ñối với:

• (a) trục ñối xứng của vành,

• (b) trục song song với trục ñối xứng, ñi qua một ñiểm trên vành tròn

3b Trả lời bài tập 3.1

• Chia vành làm nhiều phần

tử nhỏ khối lượng dm, ta có:

• Dùng ñịnh lý Steiner:

• Suy ra:

2 2

2

MR dm

R dm

r

2

Md I

I b = a +

2 2

2MR

MR

I

R dm

(a) (b)

d

Momen quán tínhcủa một số vật thường gặp

3c Bài tập 3.2

• Một ròng rọc có dạng như hình vẽ

• Phần dây quấn quanh hình

trụ bán kính R1, tác ñộng một

lực T1 nằm ngang lên nó

• Phần dây quấn quanh hình

trụ bán kính R2 tác ñộng

một lực T2 hướng thẳng ñứng xuống

3c Bài tập 3.2 (tt) (a) Tìm biểu thức của momen lực toàn phần tác

ñộng lên ròng rọc ñối với trục quay z.

(b) Xét trường hợp T1 = 5,0 N, R1 = 1,0 m, T2 =

15,0 N và R2 = 0,50 m,

– Tìm momen lực toàn phần ñối với trục quay,

– Ròng rọc sẽ quay theo chiều nào, biết rằng lúc

ñầu nó ñứng yên?

3c Trả lời bài tập 3.2

• Momen lực toàn phần tác ñộng lên ròng rọc ñối với

trục quay z là:

• Thay bằng số ta có:

• τ z > 0, ròng rọc quay ngược chiều kim ñồng hồ

tot z R T R T

τ = − +

3.d Bài tập 3.3

• Hai vật khối lượng m1 và

m2 ñược nối với nhau

bằng một dây nhẹ, dây

vắt qua hai ròng rọc

không ma sát (hình vẽ)

• Mỗi ròng rọc có momen

quán tính I và bán kính R.

• Tìm gia tốc của mỗi vật

và các sức căng dây

3.d Trả lời bài tập 3.3 - 1

• Dùng ñịnh luật 2 Newton cho

• m1trên y hướng xuống:

• m2trên y hướng lên:

• ròng rọc quanh trục z

hướng ra ngoài:

1 1 1

1a m g T

g m T a

m2 2 = 2 − 2

R

R

m1g

T1

2g

T2

y

R

T1

T’

mg

N

R

T2

T’

mg N

3.d Trả lời bài tập 3.3 - 2

• Hai vật có gia tốc bằng nhau:

• Dây không trượt nên vận tốc của một ñiểm trên

vành ròng rọc = vận tốc vật:

• Ta có hệ phương trình sau:

a a

a1 = 2 ≡

a

R =

v

R =

ω

1 1

1a m g T

g m T

a

T T

R

/

2 2

(1) (2) (3) (4)

3.d Trả lời bài tập 3.3 - 3

• Lấy tổng các pt (1) – (4) ta ñược:

• Thế gia tốc a vào (1), (2) và (3) ta có các sức

căng

a R

I m









2 2

1

2 1

2

R

I m

m

g m m a

+ +

−

=

4a Động năng của vật rắn quay

• Động năng của một chất ñiểm vận tốc v ở khoảng

cách r ñối với trục quay:

• Lấy tổng theo tất cả các chất ñiểm, ta có ñộng

năng của vật rắn quay:

2 1 2 2

1 2

2

2 2

2











i

i

i r m K

2

2

1

ω

I

K =

4b Công trong chuyển ñộng quay

• Công sơ cấp:

• Ta có:

• Do ñó:

• Suy ra công và công suất:

( R)dt F

dt v F

×

⋅

=

⋅

⋅

×

=

×

F

θ τ ω τ ω

τ dt dt d

∫

=

f

i

d

θ

θ

θ

τ P =τzω

z

ω

R

F

dr

4c Bài tập 4.1

• Một thanh ñồng nhất chiều

dài L, khối lượng m có thể

quay không ma sát quanh

một trục ngang ñi qua một

ñầu thanh Thanh ñược thả

không vận tốc ñầu khi

ñang nằm ngang Tìm:

• (a) vận tốc góc khi thanh ở

vị trí thẳng ñứng,

• (b) vận tốc khối tâm ở vị

trí ñó

4c Trả lời bài tập 4.1 - 1

• Vì không có ma sát nên

cơ năng thanh bảo toàn:

• Khối tâm là ñiểm ñặt của toàn bộ trọng lượng, do

ñó thế năng trọng trường của thanh là:

∆

=

2 2

1Iω

K

∆

CM

g mgy

U =

Thế năng trọng trường của một vật rắn:

U g = mgy CM

4c Trả lời bài tập 4.1 - 2

• Với trục y hướng lên ta có:

• Suy ra:

2 /

mgL y

mg

∆

0

2 1 2 2

=

I

mgL

=

3 /

4 / 12

/

2 /

2

2 2

2

mL

mL mL

L m I

=

+

=

+

=

L

g

3

=

ω

y

4c Trả lời bài tập 4.1 - 3

• Giữa vận tốc dài của một chất ñiểm của vật rắn và vận tốc góc có hệ thức:

• r là khoảng cách từ chất

ñiểm ñến trục quay

• Với khối tâm thì r = L/2:

v CM

r

v=ω

gL L

L

g L

2

1 3

2

1 2

2 =

⋅

=

=ω

4d Bài tập 4.2

• Hai vật khối lượng m1 và m2

ñược treo ở hai bên một ròng

rọc không ma sát bằng một dây

nhẹ

• Ròng rọc có bán kính R và

momen quán tính I ñối với trục

quay Lúc ñầu hệ ñược thả

không vận tốc

• Tìm vận tốc dài của hai vật vào

lúc vật 2 xuống ñược một

khoảng h.

4d Trả lời bài tập 4.2

• Vì không có ma sát nên cơ năng bảo toàn:

• Độ biến thiên ñộng năng:

• Ta cũng có:

• Do ñó:

∆

=

2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2

K

∆

v v

2 1 2

1 m m I/R v

∆

4d Trả lời bài tập 4.2 (tt)

• m1 ñi lên một khoảng h khi m2 ñi xuống cùng một

khoảng, vì vậy ñộ biến thiên thế năng của hệ là:

• Vậy ta có:

gh m gh m

∆

2

=

2 2

1

1 2

/

2

R I m m

gh m m

v

+ +

−

=

5a Chuyển ñộng lăn của vật rắn

• Khi một xe ñạp chuyển ñộng, khối tâm của mỗi bánh xe có chuyển ñộng tịnh tiến

• Tuy nhiên, một ñiểm trên vành bánh xe lại có quỹ

ñạo là một cycloid.

• Chuyển ñộng của bánh xe là chuyển ñộng lăn

5b Vận tốc của khối tâm

• Xét bánh xe lăn không

trượt,

• Khi một ñiểm trên vành ñi

ñược một cung tròn có

chiều dài s = rθ,

• thì khối tâm cũng tịnh tiến

ñược cùng một khoảng ñó

• Do ñó ta có:

dt

d

r

dt

r

v CM =

r

s = rθ

5c Kết hợp tịnh tiến và quay

• Lăn không trượt là sự kết hợp của chuyển ñộng tịnh tiến của khối tâm,

• và chuyển ñộng quay quanh một trục ñi qua khối tâm

• Do ñó một chất ñiểm thuộc vật có vận tốc cho bởi:

rot

CM v v

+

=

r v

× +

v CM

r

v rot

v

5c Kết hợp tịnh tiến và quay (tt)

• Một chất ñiểm trên vành có

vận tốc quay là v rot = ωr.

• Ở vị trí thấp nhất:

• Ở vị trí giữa:

• Ở vị trí cao nhất:

• Minh họa

0

=

−

=v CM v rot

v

r v

v

v= CM + rot =2ω

2

2 2

r v

v

v CM

v rot = – vCM

v rot = vCM

v CM

v rot v

v = 2vCM

5d Động năng của chuyển ñộng lăn

• Động năng của chuyển ñộng lăn là tổng

• ñộng năng tịnh tiến của khối tâm,

• và ñộng năng quay quanh trục ñi qua khối tâm

• trong ñó M, I là khối lượng và momen quán tính

ñối với trục quay của vật

2 2 1 2 2

5e Bài tập 5.1

• Một quả cầu khối lượng

M và bán kính R lăn

xuống một mặt phẳng

nghiêng với vận tốc ñầu

bằng không

• Tìm vận tốc khối tâm quả

cầu ở cuối mặt phẳng

nghiêng

5e Trả lời bài tập 5.1 - 1

• Khi vật lăn không trượt vận tốc của tiếp ñiểm luôn băng không,

• vì vậy ma sát là ma sát tĩnh, không thực hiện công

• Cơ năng ñược bảo toàn:

• Độ biến thiên ñộng năng:

∆

=

2 2 1 2 2

K

∆

5e Trả lời bài tập 5.1 - 2

• Do lăn không trượt nên:

• Suy ra:

• Độ biến thiên thế năng:

• Vậy:

R

v CM

=

ω

2

1

CM

v R I M

∆

Mgh y

Mg

∆

2

=

2

1

2

MR I

gh

v CM

+

=

5e Trả lời bài tập 5.1 - 3

• Momen quán tính của quả cầu ñối với một trục ñi

qua tâm là I = 2MR2/5

• Do ñó:

• Nếu vật là vành tròn có cùng khối lượng và bán

kính, momen quán tính sẽ là I = MR2:

• Vật với tỷ số I/MR2 nhỏ hơn sẽ lăn xuống nhanh hơn (Ví dụ1, 2)

7

10 5

2 1

+

=

gh

gh

+

=

1 1 2

5f Bài tập 5.2

• Trong bài tập 5.1, hãy tìm

biểu thức của gia tốc khối

tâm

5f Trả lời bài tập 5.2 - 1

• Dùng ñịnh luật 2 Newton cho

• khối tâm trên trục x:

• quả cầu quay quanh trục z

hướng ra ngoài:

• Vì ω (< 0) giảm dần khi lăn xuống nên α < 0.

mg

N

f s

x

s

R f

Iα =− s

Trục z hướng ra

ngoài nên vật lăn

xuống có ω < 0.

5f Trả lời bài tập 5.2 - 2

• Vì lăn không trượt nên giữa gia tốc góc và gia tốc

khối tâm có hệ thức: α = – a CM /R.

• Ta có hệ phương trình sau:

• Giải hệ ta ñược:

• Vật với tỷ số I/MR2nhỏ hơn sẽ có gia tốc lớn hơn.

s

(I R2)a CM = f s

/

θ

θ

sin 7

5 /

1

sin

MR I

g

+

=