Chuyên đề BDHSG

Chứng minh rằng: MN là phân giác của góc PMQ.. Bài 3: Giả sử tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường thẳng CD.. Chứng minh rằng nếu AD // BC thì đường thẳng AB tiếp x

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC.

Bài 1: Cho hình thang cân ABCD( BC // AD) Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD.

Trên AB kéo dài về phía A lấy điểm P bất kì, PN cắt BD tại Q Chứng minh rằng: MN là phân giác của góc PMQ

Hướng dẫn: Gọi I, K, R thứ tự là giao điểm của PM, MQ với AD; PQ

với BC

Ta có: M, N thứ tự là trung điểm của AD, BC => MN ⊥ AD

Do đó, để cm: MN là phân giác của góc PMQ,

ta chỉ cần chứng minh: ∆IMK cân tại M Thật vậy:

Do BC // AD => IN PN AN; PN IN AN

MR = PR BR = PR => MR = BR

Và: KN NQ NQ; ND NK ND

MR = QR QR = BR ⇒ MR = BR

Mà: N là trung điểm của AD => AN = ND => AN ND IN NK IN NK

BR = BR ⇒MR = MR⇒ =

∆IMK có MN vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến => ∆IMK cân tại M

=> đpcm

Bài 2: Cho hình vuông ABCD Lấy điểm M ở miền trong hình vuông sao cho · · 0

15

MDC MCD= = Lấy điểm N ở miền ngoài hình vuông sao cho tam giác NDC đều

a) Chứng minh: Tứ giác MNCB là hình thoi

b) Chứng minh: Tam giác MAB đều

Hướng dẫn:

a) ∆MDC cân tại M( vì ·MDC MCD=· =150) => MD = MC; CMD· =1500

∆NDC đều => ND = NC = DC

 MN là đường trung trực của CD => MN ⊥CD

∆MDC cân tại M, MN là đường trung trực

 MN là tia phân giác của góc CMD

75 2

NMC= CMD=

Mà: NCM· =NCD DCM· +· =600+150 =750

 ∆MNC cân tại N => MN = NC = CD = BC

Mặt khác: MN ⊥CD; BC⊥CD => MN // BC

Tứ giác MNCB có: MN // BC; MN = BC; MN = NC

 MNCB là hình thoi

b) MNCB là hình thoi => MB = BC = AB

Chứng minh tương tự ta cũng có: MNDA là hình thoi => MA = AD = AB

Vậy: MB = MA = AB => Tam giác AMB đều

Bài 3: Giả sử tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường thẳng CD Chứng

minh rằng nếu AD // BC thì đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD

Hướng dẫn:

Gọi M là trung điểm AB; N là trung điểm CD Kẻ MH ⊥CD; NK ⊥AB

Theo giả thiết: MH = ½.AB

AB NK

CD MH AB CD

Mà: AD // BC => BC // AD // MN => SNAM = SBMN và SAMN = SDMN

R

K I

Q

P N

M

D

C B

A

N

M

B A

 . . 1

AB NK AB CD

NK CD

= ⇔ = ⇔đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB tại N.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A D là 1 điểm trên AC( khác A và C) Vẽ đường tròn tâm D

tiếp xúc với BC tại E Từ B kẻ tiếp tuyến thứ 2 BF với (O) Gọi M là trung điểm của BC, BF cắt

AM tại N Chứng minh rằng: AN = NF

Hướng dẫn: Gọi I là trung điểm của BD.

90

BAD BFD BED= = =

 5 điểm: A, B, E, D, F cùng thuộc đường tròn đường kính BD

 AFN· =·ADB( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) (1)

Mà: ·ADB ACB DBC=· +· ( góc ngoài tam giác BDC)

Mặt khác: tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến

=> MA = MB = MC => tam giác AMC cân tại M

=> ·ACB MAC=·

DBC DBF= ( hai tiếp tuyến tại E, F của (O) cắt nhau tại B)

DBF =D ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung DF)

=> ·NAF=D· AF+MAC DBF ACM· =· +· =·ADB (2)

Từ (1) và (2) => AF· N =N· AF=> tam giác ANF cân tại N => AN = NF

Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn BD, CE là các đường phân giác trong của tam giác Biết

24

BDE= ; CED· =180 Hãy tính số đo các góc của tam giác ABC

Hướng dẫn: Lấy M đối xứng với D qua CE;

N đối xứng với E qua BD

=> M, N thuộc BC

Gọi I, O thứ tự là giao điểm của ME và BD; BD và CE

Ta có: ·ECB DBC BOE+· =· ( góc ngoài của tam giác BOC)

Mà: góc EOB cũng là góc ngoài của tam giác DOE nên:

EOB BDE CED· =· +· =240+180 =420

Và: BD, CE là các đường phân giác nên: · · µ µ µ µ

B C B C ECB DBC+ = + = +

Do đó : B Cµ + =µ 42 2 840 = 0 ⇒góc A = 1800 – 840 = 720

Mặt khác : Do DM ⊥CE =>

Còn: ·NDB BDE=· =240( Vì E, N đối xứng với nhau qua BD) => ·NDE=2.240 =480

Vậy: MDN· =MDE NDE· −· =720−480 =240

K

H

C B

D A

N M

I N

M

F

E

B

A

O I N M

B C

A

Ta có: ·MDN=·NDB=240=> DN là tia phân giác của góc MDB

Chứng minh tương tự, ta có: MEN· =300⇒MIN· =2.MEN· =600( góc ngoài của tam giác cân NIE) Và: · · · 600

2

EIN EIB BIN= = =

Do đó: IN là tia phân giác của góc BIM hay IN là tia phân giác ngoài của tam giác MDI

Như vậy: N là giao điểm của đường phân giác trong DN và đường phân giác ngoài IN của tam giác MDI => N là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác MDI ứng với góc D

=> · · 1800 · 1800 720 0

54

DME

Vậy: góc C = 1800 – 2.góc CMD = 1800 – 1080 = 720

 góc B = 120

Bài 6: Cho ngũ giác đều ABCDE có tâm O Gọi O1, O2 thứ tự là các điểm đối xứng với O qua BC,

DE Chứng minh rằng: O là trọng tâm tam giác AO1O2

Hướng dẫn: Gọi M, N thứ tự là giao điểm của BO2 với AO1; EO1

với AO2

Để chứng minh O là trọng tâm tam giác AO1O2 Ta đi chứng minh:

M, N thứ tự là trung điểm của AO1; AO2

DOE

B =BOC COD D+ + =BOC COD+ + = BOC

=> · 0 0

2

5

2

B = = ( ABCDE là ngũ giác đều)

=> B, O, O2 thẳng hàng

Chứng minh tương tự, ta cũng có: E, O, O1 thẳng hàng

Gọi I là trung điểm của AC => I ∈BO

Do tính chất đối xứng của ngũ giác đều và của O, O1 qua BC; O, O2

qua DE mà O1C // MI => M là trung điểm của AO1

Chứng minh tương tự, ta có : N là trung điểm của AO2

 đpcm

Bài 7: Cho tam giác ABC Các đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C của tam giác tiếp xúc

với các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại A1, B1, C1 Chứng minh rằng: Nếu AA1 = BB1 = CC1 thì tam giác ABC đều

Hướng dẫn: Giả sử các đường tròn (O1); (O2); (O3) bàng tiếp

trong các góc A, B, C Các tiếp điểm trên BC thứ

tự là M, A1, N Các tiếp điểm trên AB thứ tự là

M1, C1, N1

Ta có: 2p = AB + BC + AC = AB + BC + AB1 + B1C

( với p là nửa chu vi của tam giác ABC)

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AB1 = AM1; B1C = CM; BM = BM1

Do đó 2p = AB + AM1 + BC + CM = BM1 + BM = 2.BM

 BM = BM1 = p

Chứng minh tương tự, ta có: CN = p

 BM = CN => BN = CM => BC1 = CB1

Theo giả thiết: BB1 = CC1 nên: ∆BC1C = ∆CB1B(c.c.c) => góc B = góc C

Chứng minh tương tự, ta có: góc A = góc B

 đpcm

N M

O 2

O 1

C

B

A

O

I

N 1

M 1

C 1

B 1

A 1

O 3

O 2

O 1

C B

A

Làm thêm:

Bài 8: Cho tam giác ABC đều Gọi M, N là các điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho tam giác

AMN có chu vi bằng nửa chu vi tam giác ABC Gọi D là trung điểm của BC

Hãy tính số đo góc MDN

Bài 9: Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh BC = a; AC = b; AB = c Một đường thẳng d đi qua A

và song song với BC; trên d lấy hai điểm D, E đối xứng với nhau qua A Gọi M, N thứ tự là giao điểm của tia BD với BC; giao điểm của tia CE với AB Hãy tính theo a, b, c độ dài AD, AE sao cho MN qua tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 10: Cho hình vuông ABCD, I là một điểm bất kì trên cạnh AB( I khác A, B) Tia DI cắt tia CB

tại E Đường thẳng CI cắt AE tại M Chứng minh rằng: DE ⊥ BM

Bài 11: Cho tam giác ABC có góc C < góc B < 900 Đường cao AH, đường trung tuyến AM, đường phân giác trong AD

a) Chứng minh rằng: D nằm giữa hai điểm H, M

S = S S = S Hãy tính số đo góc BAC.