Ôn tập lớp 9

y gọi là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x tương ứng chỉ một giá trị của y... Quĩ tích các điểm M là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng AB... Tỉ số hai diện tích bằng bình p

MỘT SỐ NỘI DUNG CƠ BẢN ÔN TẬP MÔN TOÁN 9

PHẦN ĐẠI SỐ:

ND1:Căn thức bậc hai

1 A xác định ⇔ A 0 ; Với ≥ A 0 tồn tại A có : A≥ ≥0 và ( A )2 = A

2 A≥0, B≥0 ⇒ A B = A B ; Đặc biệt: ( A ). 2= A =A (A2 ≥0)

3.Với A≥0 ; B>0 ta có: A

B =

A

B .

4.Hằng đẳng thức A2 = A ; A = A nếu A≥0, A = - A nếu A < 0

5.Các phép tính: a A + b A = (a +b) A ; a A - b A = (a - b) A ;

A B = A B ; A

B =

A

B ( Trong trường hợp các căn thức trên xác định)

6.Các phép biến đổi đơn giản

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với biểu thức B≥0 ta có A B2 = A B

Đưa thừa số vào trong dấu căn: Với A≥0; B≥0, ta có: A B = A B Với A<0 , B2 ≥0, ta có A B = - A B2 Khử mẫu biểu thức láy căn: A AB

B = B ( B > 0 ) Trục căn thức ở mẫu: A A B

B

−

±

m

A≥0; B≥0; A≠B

ND2:Hàm số

1.Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x y gọi là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x tương ứng chỉ

một giá trị của y

2.Hàm số đồng biến, nghịch biến:Với x1,x2 ∈R

Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R

Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R

3.Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các số cho trước và a≠0

4.Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi x thuộc R; đồng biến trên R khi a>0, nghịch biến trên R khi a<0 5.Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax +b:

Cách 1:Cho hai điểm thuộc đồ thị , vẽ đường thẳng qua hai điểm đó

Cách 2: Vẽ đường thẳng qua hai điểm ( )0;b và b;0

a

− 

6.Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b’* a≠a’ ⇔(d) và (d’) cắt nhau;

* a = a’; b ≠b’ ⇔(d) và (d’) song song với nhau; * a = a’; b = b’ ⇔(d) và (d’) trùng nhau

7 Hàm số bậc nhất y = ax2 xác định với mọi x thuộc R

Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

8 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax 2

Lập bảng các cặp số ( x; y )

Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ

Nối các điểm, Kết luận đồ thị

Ví dụ : Vẽ đồ thị của hàm số y = -0,5x2

x -2 -1 0 1 2

y -2 -1 0 -1 -2

Kết luận

ND3: Phương trình bậc nhất hai ẩn- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1.Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: ax + by = c ( a, b, c là các số đã biết, a,b không đồng thời bằng 0 )

Phương trình bậc nhất có vô số nghiệm

2 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: ax

by c

a x b y c





3.Cách giải hệ phương trình bằng

a) Phương pháp cộng: Ví dụ: xét hpt 2 1

2

x y

x y

− =



 + =

x y x

− =



 =

1

x

x y

=



 − =

1

x y

=



 − =

1 1

x y

=



 =



2

-2

-4

O 1

-2 -0,5

b)Phương pháp thế: Ví dụ: xét hpt⇔ 2 1

2

x y

− =



 = −

2 1

x

y

=

 = −



1 1

x y

=



 =



ND4: Phương trình bậc hai một ẩn số: Dạng tổng quát: ax2 + bx + c = 0

1.Công thức nghiệm: Lập ∆ = b2 – 4ac

*Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 ; 2

− + ∆ − − ∆

*Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép: 1 2

2

b

a

−

= =

*Nếu ∆ < 0 phương trình vô nghiệm

Ví dụ giải phương trình 5x2 + 2 10 x + 2 = 0

∆ =b2−4ac= ( )2

2 10 - 4.5.2 = 0 Phương trình có nghiệm kép 1 2 10

5

x = =x −

+ Công thức nghiệm thu gọn : Lập ∆' =b' 2 −ac

∆’>0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 b' ';x2 b' '

∆’=0 phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b'

a

−

= =

∆’<0 phương trình vô nghiệm

2.Hệ thức Vi-et:

Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình :ax2+ bx + c = 0 (a≠0) thì: S = x1 + x2 = b

a

−

a

Áp dụng Hệ thức Vi-et:

+Nếu phương trình ax2+ bx + c = 0 (a≠0) có a + b + c = 0 thì pt có nghiệm là x1 =1 nghiệm còn lại x2 = c

a

+Nếu phương trình ax2+ bx + c = 0 (a≠0) có a - b + c = 0 thì pt nghiệm là x1=-1 nghiệm còn lại x2 = - c

a

+ Nếu có hai số u và v mà u + v = S uv = P thì u và v là nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (S2≥P)

Ví dụ: Tìm hai số u, v biết: u + v = -7; uv = - 30

Giải: u và v là nghiệm của phương trình x2 + 7x - 30 = 0 x1 = 3, x2 = -10

Vậy u = 3; v = -10 hoặc u = -10; v = 3

+Phân tích đa thức thành nhân tử: Nếu đa thức ax2+ bx + c có hai nghiệm x1; x2 thì ax2+bx +c = a (x–x1)( x– x2 ).Ví dụ đa thức x2 + 7x - 30 có hai nghiệm x1 = 3, x2 = -10, ta được x2 + 7x - 30 = ( x- 3 ) ( x + 10 )

3.Phương trình qui về phương trình bậc hai: Phương trình trùng phương, phương trình bậc cao (đưa về phương

trình tích ), phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ: 1) x 4 - 5x 2 + 4 = 0 Đặt t = x2 (đk: t ≥ 0)

Ta có pt ẩn t: t2 – 5t + 4 = 0 pt có dạng a + b + c = 0 => t1 = 1 (thoả đk).; t2 = 4 (thoả đk)

t1 = 1 => x2 =1 => x =±1;t2 = 4 => x2 =4 => x =±2.Vậy pt đã cho có 4 nghiệm x1=-1; x2=1; x3 =-2; x4=2

2) 2x 3 – 5x = 0 ⇔ x ( 2x2 – 5 ) = 0 ⇔ x=0 hoặc 2x2 – 5 = 0 => x2 = 5

2=>

5 2

x= ±

3)

x

1 1 9

14

*QĐ khử mẫu ta được pt:

14 = x2- 9 + x + 3  x2 + x –20 = 0 x1= 4 (thoả đk); x2 = - 5 (thoả đk).Nghiệm của pt là x1= 4; x2 = - 5

PHẦN HÌNH HỌC:

ND1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1.Hệ thức về cạnh và đ/cao :∆ ABC vuông tại A => AC2=BC.CH hay b2 = a b/

có AH ⊥BC AH2 = HB.HC hay h2 = b/ c/

AB = c; AC = b BC.AH = AC.AB hay a h = b c

BC = a 1 2 12 12

AH =AB + AC hay 12 12 12

BC2 = AB2 + AC2 hay a2 = b2 + c2

A

H

2.Tỉ số lượng giác của góc nhọn:

∆ ABC vuông tại A: sinC AB; osc C AC;tg C AB;cotg C AC

AB = BC.sinC = BC.cosB

AB = AC.tgC = AC.cotgB

Tính chất: Với góc nhọn α : sinα < 1; cosα < 1; cot g 1

tg

α α

= ; sin

os

tg c

α α

α

= ; sin2α + cos2α = 1;

sinα = cos(900-α ); tgα = cotg(900-α )

Với góc nhọn α ; β; α < β thì: sinα < sinβ; tgα < tgβ; cosα > cosβ; cotgα> cotgβ

ND2: Đường tròn

1 Vị trí: a) Điểm và đường tròn

- Điểm N nằm ngoài (O; R) Û OM > R

- Điểm M nằm trên (O; R) Û OM = R

- Điểm P nằm trong (O; R) Û OM< R

b) Đường thẳng a và đường tròn (O;R)

1 a và (O;R) không giao nhau Û OI > R

2 a và (O;R) tiếp xúc nhau Û OI = R ( a là tiếp tuyến của (O,R)

3 a và (O;R) cắt nhau Û OI < R

c) Đường tròn ( O; R ) và (O; r )

1 ( O; R ) và (O; r ) cắt nhau Û R- r < OO’ < R + r

2 ( O; R ) và (O; r ) tiếp xúc nhau

Tiếp xúc ngoài Û OO’ = R + r Tiếp xúc trong Û OO’ = R – r

3 ( O; R ) và (O; r ) không giao nhau

Ngoài nhau Û OO’> R + r Đựng nhau Û OO’< R – r Đồng tâm Û OO’ = 0

2.Tính chất tiếp tuyến

a là tiếp tuyến của (O;R) ; tiếp điểm là I SA, SB là các tiếp tuyến của (O;R)

=> a ⊥OI tại A =>SA=SB; ˆASO BSO AOS= ˆ ; ˆ =BOSˆ

3 Chứng minh a là tiếp tuyến của (O;R)

Cách 1: a và (O;R) chỉ có một điểm chung => a là tiếp tuyến của (O;R)

Cách 2: a ⊥OI; I ∈(O;R) => a là tiếp tuyến của (O;R)

4.Tính chất đối xứng: OI ⊥ AB => IA =IB AB = CD Û OH =OK

IA =IB => OI ⊥ AB AB > CD Û OH <OK

ND3: Góc và đường tròn:

1.Liên hệ giữa cung và dây: AB = CD Û AB = CD

AB >CD Û AB > CD

2.Góc và đường tròn:

Góc ở tâm: DOCˆ = sđDC; Góc nội tiếp ˆ 1

2

BDC= sđ DC;

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: GCx = ˆ 1

2sđDC Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn: ˆ 1

2

BEC= (sđ BC + sđAD) Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn: ˆ 1

2

BGC= ( sđBC – sđ AD )

3.Tính chất hai dây song song: AB // CD => AC = BD

A

P

O

N

M

a

a

a O

I I

I

r

r

R

r R

R

O' O' O'

O

O

O

r

R O'O

a

O

I

a

O

I

j

O S A

B

O

C

D

H K

O B

A

D C

E

C O

G

B

D A

O

4 Tính chất đường kính và cung: OC ⊥AB => IA = IB => IA = IB

5.Cung chứa góc: Cho trước hai điểm A và B, điểm M bất kì sao cho AMBˆ =α Quĩ tích các điểm M là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng AB Đặc biệt khi α =900 thì quỹ tích M là đường tròn đường kính AB

6.Tứ giác nội tiếp

A,B,C,D ∈ ( O;R ) => Tứ giác ABCD nội tiếp Đặc biệt:

A Cˆ+ =ˆ 1800 => Tứ giác ABCD nội tiếp

7.Độ dài đường tròn.Diện tích hình tròn:

Độ dài đường tròn bán kính R: C = 2πR; Độ dài l của cung tròn bán kính R ứng với cung n0:

180

Rn

l=π

Diện tích hình tròn bán kính R: S = πR2; Diện tích hình quạt tròn bán kính R ứng với cung n0: Sq =

2 360

R n

π

ND4: Hình trụ, hình nón, hình cầu:

1.Hình trụ: 2.Hình nón: Sxq = πrl Hình nón cụt:

Sxq = 2πrh Stp = πrl + πr2 Sxq = π +(r r l1 2)

Stp = 2πrh + 2πr2 V = 1 2

3πr h 1 (12 22 1 2)

3

V = πh r +r +r r

V = πr2h

3.Hình cầu:Diện tích mặt cầu bán kính R: S = 4πR2; Thể tích hình cầu bán kính R: 4 3

3

PHẦN ÔN KIẾN THỨC BỔ SUNG:

1.Diện tích:

Diện tích hình chữ nhật:

SABCD= AB.BC= ab S = ab

2

1

Diện tích hình vuông cạnh a : S = a2

Diện tích tam giác

Diện tích tam giác ABC

b SABC =

2

1 AH.BC

Diện tích hình thang

SABCD=

2

1 (AB+CD).AH SABCD= AH.CD = AK.BC

Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

SABCD=

2

1 AC.BD

SABCD=AH.BC; SABCD=

2

1 AC.BD

2.Định lí Ta-let:

DE//BC => AD AE

AB = AC ( Định lí Ta-let ) ( hình 1 )

AD AE

AB = AC=> DE//BC; AD AE

DB = EC=> DE//BC; DB EC

AB = AC=> DE//BC hình 1 hình 2 (Định lí Ta-let đảo ) ( hình 1 )

DE//BC => AD AE DE

AB = AC = BC (Hệ quả định lí Ta-let ) ( hình 1 và hình 2 )

3.Tam giác đồng dạng: DE//BC => ∆ADE ∆ABC ( Định lí hai tam giác đồng dạng ) ( h.1 và h.2 )

I O

C

O

D

A

B

C

D A

B C

R

0

r

2

r1

C D

a

b

H

A

A

A

H H

b

a

h

b

H

K

A

C

A

C H

a b

D E

D

A

A B

C E

Hai tam giác A’B’C’ và ABC có: A B' ' A C' ' B C' '

AB = AC = BC =>∆A’B’C’ ∆ABC Hai tam giác A’B’C’ và ABC có: A B' ' A C' ' ˆ ˆ; '

AB = AC = =>∆A’B’C’ ∆ABC Hai tam giác A’B’C’ và ABC có: ˆA'=A Bˆ ˆ; '=Bˆ =>∆A’B’C’ ∆ABC

Với hai tam giác vuông:

Hai tam giác A’B’C’ và ABC có: A B' ' A C' ' ˆ ˆ; '

AB = AC = = 900 =>∆A’B’C’ ∆ABC Hai tam giác A’B’C’ và ABC có: Aˆ'= =Aˆ 90 ; '0 Bˆ =Bˆ =>∆A’B’C’ ∆ABC Hai tam giác A’B’C’ và ABC có: A B' ' B C' ' ˆ ˆ; '

AB = BC = = 900 =>∆A’B’C’ ∆ABC

Ghi nhớ: Khi có ∆A’B’C’ ∆ABC ta có tỉ số đồng dạng là : k A B' ' B C' ' C A' '

- Tỉ số hai đường cao, tỉ số hai đường phân giác, tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng

- Tỉ số hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng Tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng

4.Tính chất đường phân giác:AD,AE lần lượt là phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC

ta có: DB EB AB

DC = EC = AC

5.Tính chất ba đường của tam giác:

a Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác:

Ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua một điểm ( điểm G), điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC có : 2

3

b Tính chất ba đường phân giác của tam giác:

Ba đường phân giác AD, BE, CF của tam giác ABC cùng đi qua một điểm ( điểm I ),điểm I

gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

c Tính chất ba đường trung trực của tam giác:

Ba đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua một điểm ( điểm O ),điểm O

gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

d Tính chất ba đường cao của tam giác:

Ba đường cao AA’, BB’, CC’của tam giác ABC cùng đi qua một điểm (điểm H)

H gọi là trực tâm của tam giác ABC

Đề Tự luyện:

Câu 1(2đ):

a) Rút gọn M

b) Tìm x N∈ để M có giá trị là số tự nhiên

c) Tìm x dể M có giá trị lớn nhất, tìm GTLN đó.

Câu 2 (2đ): Cho hàm số 1 2

2

y= − x

1) Nêu tính chất và vẽ đồ thị (P) của hàm số

2) Tìm a, b để đường thẳng y= ax + b cắt (P) tại hai điểm A và B

có hoành độ lần lượt -1 và 2.Tìm SOAB ?

Câu 3 (1đ) : Cho phương trình bậc hai (ẩn số x)

x 2 – 6mx + 4 = 0

Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn

x1 + x2 = 3m + 141.

Câu 4 (4đ): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC), đường cao AH Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC a) Chứng minh: ∆AMN ∆ACB

b) Gọi D,E lần lượt đối xứng của H qua AB, AC DE cắt AB,AC lần lượt tại P và Q Chứng minh tứ giác BPQC nội tiếp.

c) Giả sử BACˆ =70 ,0 ABCˆ =600.Tính các góc của tam giác PHQ.

Câu5 (1đ) : Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (O), có đường cao AH.Cho hình quay một vòng quanh đường cao

AH một vòng được hình nón ngoại tiếpmột hình cầu Biết thể tích phần hình nón bên ngoài hình cầu

là 5 3 cmπ 3 Tính cạnh của tam giác đều ABC

A

A'

C' C

B'

B

A'

A

G

A

M

N P

O

A

I

A

D

E F

H

C C'

C'

C

A

A' A

A'

H

O

A

H

A

E