Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Một nhánh của đồ thị C cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B.. Tìm điểm C thuộc nhánh còn lại sao cho diện tích tam giác ABC bằng 3.. Một mặt ph
Trang 1TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
http://ductam_tp.violet.vn/
THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010
Môn: Toán Thời gian: 180 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1(2 điểm): Cho hàm số: 1
1
x y x
−
= +
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Một nhánh của đồ thị (C) cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B Tìm điểm C thuộc nhánh còn lại sao cho diện tích tam giác ABC bằng 3
Câu 2(2 điểm):
1 Giải phương trình:
x
x x
x
3 2
2
cos
1 cos cos
tan 2
2 Giải hệ phương trình:
2 2
1 4
Câu 3(1 điểm): Tính tích phân
3 2 1
ln
1 3ln
I
=
+
∫
Câu 4(1 điểm): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cá đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A’
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC và
vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 2 3
8
a Hãy tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Câu 5(1 điểm): Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z2−4z+ =11 0 Tính giá trị
của biểu thức
2
z z
+
Câu 6(2 điểm):
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0 Tìm tọa
độ các đỉnh của tam giác ABC
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Câu 7(1 điểm): Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức: a b c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu
P
========= Hết ========
Trang 2Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐÁP ÁN + THANG ĐIỂM
I
1
+TXĐ
+ Tính y’ đúng ,tiệm cận
+BBT
+Đồ thị
0,25 0,25 0,25 0,25
2
Tìm được tọa độ của A(1;0),B(0;-1) Þ phương trình của AB : x-y-1=0
Do MÎ (C) nên tọa độ M x;x 1 , x 1
x 1
æ - ÷ö
çè + ø , A, B thuộc nhánh các điểm có hoành độ lớn hơn -1 nên M thuộc nhánh đồ thị có các điểm có hoành độ x<-1
x 1
-+
+ 2
2
2
x 7x 6 0(loai)
0,25
0,25 0,5
II 1 ĐK cosx ≠ 0, pt được đưa về cos2x− tan 2x= + 1 cosx− + (1 tan ) 2x ⇔ 2cos 2x− cos -1 0x = 0.5
Giải tiếp được cosx = 1 và cosx = 0,5 rồi đối chiếu đk để đưa ra ĐS:
2 , 2 ; hay
x k= π x= ± π +k π x k= π
2
0
y≠ , ta có:
2
2 2
2
1
4
1 4
x
x y y
x y
y
+
0.25
Đặt
2 1 ,
x
y
+
+) Với v=3,u=1ta có hệ:
2, 5
+) Với v= −5,u=9ta có hệ:
+ = − = − − = − −
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.x y = −
0.25
III
dx
x
1
t
t
Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là
hình chiếu vuông góc của M lên AA’,
Khi đó (P) ≡ (BCH) Do góc ·A' AM
nhọn nên H nằm giữa AA’ Thiết diện
của lăng trụ cắt bởi (P) là tam giác BCH
0,25
C
’ B
’
A
’ H
Trang 3Do tam giỏc ABC đều cạnh a nờn
3
3 a AM 3
2 AO , 2
3 a
Theo bài ra
4
3 a HM 8
3 a BC HM 2
1 8
3 a S
2 2
0,25
4
a 3 16
a 3 4
a 3 HM
AM AH
2 2 2
=
Do 2 tg A’AO và MAH đồng dạng nờn
AH
HM AO
O '
A = nờn
3
a a 3
4 4
3 a 3
3 a AH
HM AO O '
0,25
Thể tớch khối lăng trụ:
12
3 a a 2
3 a 3
a 2
1 BC AM O ' A 2
1 S
O ' A V
3
V
Giải pt đó cho ta được cỏc nghiệm: 1 1 3 2 , 2 1 3 2
Suy ra
2 2
3 2 22
Đo đú
2
11
4
+
= =
VI 1 Gọi C = (c; 2c+3) và I = (m; 6-m) là trung điểm của BC
Suy ra: B= (2m-c; 9-2m-2c) Vỡ C’ là trung điểm của AB nờn:
m
( ; )
6 6
I
Phương trỡnh BC: 3x – 3y + 23=0
Tọa độ của C là nghiệm của hệ: 2 3 0 14 37;
x y
C
x y
− + =
0.5
Tọa độ của B = 19 4;
3 3
2 Ta cú: uuurAB=(2; 2; 2),− uuurAC=(0; 2; 2). Suy ra phương trỡnh mặt phẳng trung trực của
VTPT của mp(ABC) là nr=uuur uuurAB AC, = −(8; 4;4). Suy ra (ABC): 2 x y z− + + =1 0 0.25 Giải hệ:
Suy ra tõm đường trũn là (0; 2;1).I 0.25
Bỏn kớnh là R IA= = − −( 1 0)2+ −(0 2)2+ −(1 1)2 = 5 0.25
Ta cú a2+b2 ≥ 2ab, b2+ 1 ≥ 2b ⇒
1 b ab
1 2
1 2 1 b b a
1 3
b 2 a
1
2 2 2 2
Tương tự
1 a ca
1 2
1 3 a 2 c
1 , 1 c bc
1 2
1 3 c 2 b
1
2 2 2
0,50
2
1 b ab 1
b ab
1 b
ab 1
b ab
1 2
1 1 a ca
1 1 c bc
1 1 b ab
1 2
1
+ +
+ + +
+ + +
= + +
+ + +
+ + +
2
1
P= khi a = b = c = 1 Vậy P đạt giỏ trị lớn nhất bằng
2 1 khi a = b = c = 1 0,25
