Bài tập Hình TS 10_12 bài có đáp án

Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.. Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.. c Xác định vị trí tơng đối của ID và đờng tròn tâm O với đờng

12 BÀI HÌNH HỌC 9 ÔN TUYỂN SINH 10 –có đáp án ( St)

Bài 1 *Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt Đường

thẳng OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai E, F.

1 Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I.

2 Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.

3 Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P ∈ (O), Q ∈ (O’)) Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.

Giải:

1

Ta có : ·ABC = 1v

·ABF = 1v

⇒ B, C, F thẳng hàng.

AB, CE và DF là 3 đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy.

2.

·ECA = ·EBA (cùng chắn cung AE của (O)

Mà ·ECA = ·AFD (cùng phụ với hai góc đối đỉnh)

⇒ ·EBA = ·AFD hay EBI =EFI· ·

⇒ Tứ giác BEIF nội tiếp.

3.

Gọi H là giao điểm của AB và PQ

Chứng minh được các tam giác AHP và PHB đồng dạng

HB = HP ⇒ HP 2 = HA.HB

Tương tự, HQ 2 = HA.HB

⇒ HP = HQ ⇒ H là trung điểm PQ.

Bài 2 : Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA ; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với

C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H

a) Chứng minh ·BMD= ·BAC , từ đó => tứ giác AMHK nội tiếp

b) Chứng minh : HK // CD

c) Chứng minh : OK.OS = R 2

B A

C

D E

F I

P

Q H

H

I

F O

A

B E

K

Giải

a) Ta có ằBC BD=ằ (GT) → BMD BACã =ã (2 góc nội

tiếp chắn 2 cung băng nhau)

* Do BMD BACã =ã → A, M nhìn HK dời 1 góc

bằng nhau → MHKA nội tiếp

b) Do BC = BD (do ằBC BD=ằ ), OC = OD (bán

kính) → OB là đờng trung trực của CD

→ CD⊥AB (1)

Xet MHKA: là tứ giác nội tiếp, ãAMH =900 (góc nt

chắn nửa đờng tròn) → ãHKA=1800−900 =900 (đl)

→ HK⊥AB (2)

B

O

S

Bài 3)* Cho hỡnh vuụng ABCD cú tõm O , vẽ đường d quay quanh O cắt 2 cạnh AD và

BC lần lượt ở E và F ( E,F khụng trựng cỏc đỉnh hỡnh vuụng).Từ E và F lần lượt vẽ cỏc đường thẳng song song với BD và AC cắt nhau ở I.

a) Tỡm quỹ tớch của điểm I.

b) Từ I vẽ đường vuụng gúc với EF tại H.Chứng tỏ rằng H thuộc đường trũn cố định

và đường IH đi qua điểm cố định.

a)Tỡm quỹ tớch

• Thuận :∆ AEI vuụng cõn => AE = AI ; ∆ AOE = ∆OCF

=>AI = CF => FI //AB=> I ∈ AB ( cố định)

* Giới hạn I ∈ AB và trừ 2 điểm A và B

* Đảo : Gọi I’ bất kỳ trờn AB ( ≠A , ≠B ) Gọi E’, F’ là điểm đối xứng của I’ qua AC

và BD

=>OA là phõn giỏc của I OEẳ' ' ; OB là tia phõn giỏc của ã 'I OF'

* Kết luận : I∈ AB ngoại trừ 2 điểm A và B

45 IHF

45

chớnh giữa cung ằAB ( cố định )

* Bài 4 Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm C

a) Tứ giác AMCN là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh tứ giác NIDC nội tiếp?

c) Xác định vị trí tơng đối của ID và đờng tròn tâm (O) với đờng tròn tâm

(O ' ).

Giải

I

D

N

M

O' O

A

C B

a) Đờng kính AB⊥MN (gt) ⇒I là trung điểm của MN (Đờng kính và dây cung)

IA=IC (gt) ⇒Tứ giác AMCN có đơng chéo AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi

đờng và vuông góc với nhau nên là hình thoi.

b) ãANB=900 (góc nội tiếp chắn 1/2 đờng tròn tâm (O) )

⇒BN ⊥AN.

AN// MC (cạnh đối hình thoi AMCN).

⇒BN ⊥MC (1)

ã 900

BDC= (góc nội tiếp chắn 1/2 đờng tròn tâm (O ' ) )

BD ⊥MC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ N,B,D thẳng hàng do đó ãNDC=900(3).

ã 900

NIC= (vì AC⊥MN) (4)

Từ (3) và (4) ⇒N,I,D,C cùng nằm trên đờng tròn đờng kính NC

⇒ Tứ giác NIDC nội tiếp

c) O∈BA O '∈BC mà BA và BC là hai tia đối nhau ⇒B nằm giữa O và O ' do đó ta có

OO ' =OB + O ' B ⇒ đờng tròn (O) và đờng tròn (O ' ) tiếp xúc ngoài tại B

VMDN vuông tại D nên trung tuyến DI =1

2MN =MI ⇒VMDI cân ⇒ IMD IDMã =ã .

K

F E

D

C B

A

Tơng tự ta có ãO DC O CD' =ã ' mà ãIMD O CD+ã ' =900(vì ãMIC=900)

⇒IDM O DCã +ã ' =900 mà ãMDC=1800⇒ IDOã ' 90= 0

do đó ID⊥DO ⇒ID là tiếp tuyến của đờng tròn (O ' ).

Bài 5) Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC Điểm A thuộc nửa đờng tròn đó Dng

hình vuông ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C Gọi Flà giao điểm của Aevà nửa đờng tròn (O) Gọi Klà giao điểm của CFvà ED

a chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K nằm trên một đờng tròn

b Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao ?

Giải

a Ta có ãKEB= 900

mặt khác ãBFC= 900( góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn)

do CF kéo dài cắt ED tại D

=> ãBFK= 900 => E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK

hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK

b BCF =BAFã ã

Mà ãBAF=ãBAE=450=> ãBCF= 450

Ta có ãBKF=ãBEF

Mà ãBEF =ãBEA=450(EA là đờng chéo của hình vuông ABED)=> ãBKF=450

Vì ãBKC BCK=ã = 450 => tam giác BCK vuông cân tại B

Bài 6) Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H là trực tâm

của tam giác D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A

a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành

b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đờng thẳng AB và AC Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng

c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất

Giải

N

M

O

C

B A

a Giả sử đã tìm đợc điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác ABC nên

CH ⊥ AB và BH⊥ AC => BD⊥ AB và CD⊥ AC

Do đó: ãABD= 900 và ãACD= 900

Vậy AD là đờng kính của đờng tròn tâm O

Ngợc lại nếu D là đầu đờng kính AD

của đờng tròn tâm O thì

tứ giác BHCD là hình bình hành

b) Vì P đối xứng với D qua AB nên ãAPB=ãADB

nhng ãADB=ãACB nhngãADB= ãACB

Do đó: ãAPB= ãACB Mặt khác:

ãAHB + ãACB = 1800 =>ãAPB+ ãAHB = 1800

Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên ãPAB= ãPHB

Mà ãPAB=ãDAB do đó: ãPHB=ãDAB

Chứng minh tơng tự ta có: ãCHQ=ãDAC

Vậy ãPHQ = ãPHB + ãBHC+ãCHQ =ãBAC + ãBHC = 1800

Ba điểm P; H; Q thẳng hàng

c) Ta thấy ∆ APQ là tam giác cân đỉnh A

Có AP = AQ = AD và ãPAQ=2.BACã không đổi nên cạnh đáy PQ

đạt giá trị lớn nhất  AP và AQ là lớn nhất hay  AD là lớn nhất

 D là đầu đờng kính kẻ từ A của đờng tròn tâm O

** Bài 7 : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đờng tròn

)

;

(C ≠ A C ≠ B Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đ-ờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N

a) Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân

b) Khi MB = MQ , tính BC theo R

H

O P

Q

D

C B

A

K O

N

M

I

D

C

B A

Giải

a) Xét ∆ABM và ∆NBM

Ta có: AB là đờng kính của đờng tròn (O)

nên : AMB=MBNã ã = 90o

M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC

nên ABM =MBNã ã => BAM =BNMã ã

=> ∆BAN cân đỉnh B

Tứ giác AMCB nội tiếp

=> BAM =MCNã ã ( cùng bù với góc MCB)

=> MCN =MNCã ã ( cùng bằng góc BAM)

=> Tam giác MCN cân đỉnh M

b) Xét ∆ MCB và ∆ MNQ có :

MC = MN (theo cm trên MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)

ãBMC=ãMNQ ( vì : ãMCB=MNCã ;MBC MQNã = ã )

=> ∆ MCB = ∆ MNQ (c.g.c). => BC = NQ

Xét tam giác vuông ABQ có AC⊥BQ ⇒AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ)

=> AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R)

=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( 5 − 1 )R

* Bài 8 : Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và CD vuông góc với nhau, lấy điểm I bất

kỳ trên đoan CD

a) Tìm điểm M trên tia AD, điểm N trên tia AC sao cho I lag trung điểm của MN b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi

c) Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua hai điểm cố định Giải

Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho: AD =

4

1 AB Ta có D là điểm cố định

Mà

AB

MA =

2

1 (gt) do đó

MA

AD =

2

1 Xét tam giác AMB và tam giác ADM có ãMAB(chung)

AB

MA =

MA

AD =

2 1

Do đó Δ AMB Δ ADM =>

MD

MB

=

AD

MA

= 2

=> MD = 2MD (0,25 điểm)

Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi)

Do đó MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC

Dấu "=" xảy ra <=> M thuộc đoạn thẳng DC

Giá trị nhỏ nhất của MB + 2 MC là 2 DC

* Cách dựng điểm M

- Dựng đờng tròn tâm A bán kính

2

1 AB

- Dựng D trên tia Ax sao cho AD =

4

M là giao điểm của DC và đờng tròn (A;

2

1 AB)

** Bài 9.Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp tuyến tại điểm M bbất

kỳ trên đờng tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lợt tại C và D

a.Chứng minh : AC BD = R2.

b.Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất

Giải

a.Ta có CA = CM; DB = DM

Các tia OC và OD là phân giác của hai góc AOM và MOB nên OC ⊥ OD

Tam giác COD vuông đỉnh O, OM là đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên :

MO2 = CM MD

⇒R2 = AC BD

b.Các tứ giác ACMO ; BDMO nội tiếp

⇒MCO = MAO;MDO = MBO

( )

COD AMB g g

Do đó :

1

.V = V

Do MH1 ≤ OM nên

1 1

OM

MH ≥

⇒ Chu vi VCOD≥ chu vi AMB

Dấu = xảy ra ⇔ MH1 = OM ⇔ M≡O ⇒ M là điểm chính giữa của cung ằAB

Bài 10)Cho tam giác ABC có phân giác AD Chứng minh : AD2 = AB AC - BD DC

Giải

Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABC

Gọi E là giao điểm của AD và (O)

Ta có:VABD: VCED (g.g)

BD AD

AB ED BD CD

ED CD

2

AD AE AD BD CD

AD AD AE BD CD

Lại có : VABD: VAEC g g( )

2

AB AD

AB AC AE AD

AE AC

AD AB AC BD CD

Bài 11) : Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC

a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH

b) Giả sử PO = d Tính AH theo R và d

Giải

Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC)

o h

d

c

m

b a

d

e

c b

a

O

H E A P

a) nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có

CB

CH PB

EH

Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)

=> POB=ACBã ã (hai góc đồng vị)

=> ∆ AHC ∆ POB

Do đó:

OB

CH PB

AH

Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của AH

b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH

Theo (1) và do AH = 2EH ta có

)

2 (

2PB

AH.CB 2PB

AH.CB

AH2 = R−

⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB

⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2

⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB

2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

2 2

d

R d 2.R 4R

) R 4(d

R d 8R

(2R) 4PB

4R.2R.PB CB

4.PB

4R.CB.PB AH

−

= +

−

−

=

+

= +

=

⇔

Bài 12) : Cho VABC cân tại A với AB > BC Điểm D di động trên cạnh AB, ( D không trùng với A, B) Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp VBCD Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở K

a/ Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp

b/ Tứ giác ABCK là hình gì? Vì sao?

c/ Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành

HD giải

c/ Theo câu b, tứ giác ABCK là hình thang

Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành ⇔ AB // CK

⇔ BACã = ãACK O

K

D

C B

A

Mà ã 1

2

ACK = sđằEC = 1

2sđằBD = ãDCB

Nên ãBCD BAC=ã

Dựng tia Cy sao cho ãBCy BAC=ã .Khi đó, D là giao điểm của ằAB và Cy

Với giả thiết ằAB > ằBC thì ãBCA > ãBAC > ãBDC

⇒ D ∈ AB

Vậy điểm D xác định nh trên là điểm cần tìm