Cấu trúc dữ liệu và giải thuật (phần 20) pptx

Đường đi ngắn nhấtGiới thiệu: Bài toán tìm đường đi ngắn nhất là bài toán quan trọng trong lý thuyết đồ thi.. Được ứng dụng trong thực tế: Giao thông, viễn thông… Bài toán chia làm 2 loạ

Đường đi ngắn nhất

Giới thiệu: Bài toán tìm đường đi ngắn nhất là bài toán quan trọng trong lý thuyết đồ thi Được ứng dụng trong thực tế: Giao thông, viễn thông…

Bài toán chia làm 2 loại:

 Tìm đường đi ngắn nhất giữa 1 cặp đỉnh: Cho 2

đỉnh u,v thuộc G, tìm đường đi ngắn nhất từ u đến

v : Dịkstra

 Tìm đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp

đỉnh: Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh u đến đỉnh

v, với mọi cặp đỉnh u,v thuộc G: Floyd-Warshall

Giải thuật Dijkstra

Giới thiệu:

- Giải thuật Dijkstra giải bài toán đường đi ngắn nhất nguồn đơn (Single Source Shortest Path) trên một đồ thị có trọng số cạnh đều không âm

- Xác định đường đi ngắn nhất giữa 2 đỉnh a,b cho trước

Đặt vấn đề: Ứng dụng giải thuật cây bao trùm tối thiểu để giải quyết bài toán đường đi ngắn nhất có được không???

Giải thuật Dịkstra

Nhận xét:

- Giải thuật để giải bài toán MST sẽ không ứng dụng được cho bài toán đường đi ngắn nhất

- Vì sao??

- Vì vậy cần phải chỉnh sửa giải thuật trên để phù

hợp với bài toán đường đi ngắn nhất

Giải thuật Dịkstra

Giải thuật:

- Ở mỗi đỉnh v, giải thuật Dijkstra xác định 3 thông

tin: kv,dv,pv

• kv = 0 hoặc 1 – xác định trạng thái của đỉnh v ( 0 – chưa chọn, 1 – đã chọn)

• dv: Chiều dài đường đi tìm thấy tại thời điểm đang xét từ a đến v

• pv: là đỉnh trước của đỉnh v trên đường đi ngắn nhất từ a

 b Đường đi ngắn nhất từ a đến b có dạng

{a,…,pv,v,…,b}

Giải thuật Dịkstra

B1: Khởi tạo: k v =0,∀v∈V; d v= ∞,∀v ∈ V \ {a}; d a =0

B2: Chọn v∈V sao cho k v =0 và d v = min {d t / t∈V,k t =0 }

– Nếu d v = ∞ thì kết thúc, không tồn tại đường đi từ a  b.

B3: Đánh dấu đỉnh v, k v = 1.

B4: Nếu v=b thì kết thúc và d b là độ dài đường đi ngắn

nhất từ a  b.

Ngược lại nếu v ≠ b sang B5.

B5: Với mỗi đỉnh u kề với v mà k u = 0, kiểm tra

Nếu d u > d v + w (v,u) thì d u = d v + w (v,u)

Ghi nhớ đỉnh v: p u := v Quay lại B2.

Giải thuật Dịkstra

Ví dụ: Tìm đường đi ngắn

nhất từ A G

A,B

AB=2

A,B,C

AB=2,AC=4

, A,B,C,E

AB=2,AC=4,BE=3

A,B,C,E,F

AB=2,AC=4,BE=3

BG=8,FD=1

A,B,C,E,F,D

AB=2,AC=4,BE=3,FD

=1

BG=8

Giải thuật Dịkstra

- Hình bên là cây đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến các đỉnh

- Với ví dụ: AG, giải thuật sẽ kết thúc nếu tìm thấy đỉnh G

Giải thuật Dịkstra

Tìm cây đường đi ngắn nhất từ đỉnh C đến các đỉnh còn lại của đồ thị sau:

Giải thuật Dịkstra

Độ phức tạp của thuật toán:

- Bình thường thuật toán Dijkstra có độ phức tạp O(n2+m)

- Nếu sử dụng cấu trúc heap  O((n+m)*log2(n))

Giải thuật Floyd-Warshall

Bài toán: Tìm đường đi ngắn nhất của mỗi cặp đỉnh trong đồ thị (All-Pairs Source Shortest Path)