Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC a Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC b Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng AMN c Dựng thiết diện của hình chóp
Trang 1Kiến thức cơ bản:
1./ Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho ∆ABC vuông tại A, AH ⊥ BC, M là trung điểm
của BC Ta có:
a) AB2 = BC.BH ; AC2 = BC.CH b) BC2 = AB2 + AC2 c) AH2 = BH.CH
d) BC.AH = AB.AC e) AH-2 = AB-2 + AC-2 f) BC = 2AM
g) AB = BC.sinC = BC.cosB = AC.tanC = AC.cotB
2./ Hệ thức lượng trong tam giác thường: Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC Ta có:
a) AB2 = CA2 + CB2 – 2CA.CB.cosC b) AB = 2R.sinC
c) 4AM2 = 2(AB2 + AC2) – BC2
3/ Diện tích tam giác ABC:
S = AH.BC = AB.AC.sinA = AB.BC.CA = p.r =
(p = (AB + BC + CA)) = AB, ACuuur uuur
4/ Diện tích tứ giác ABCD:
a) Hình vuông: S = AB2 b) Hình chữ nhật: S = AB.AD
c) Hình thang AB // CD: S = (AB + CD).AH d) Hình bình hành: AB.AH
e) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S = AC.BD
5/ Diện tích hình tròn bán kính R: S = π.R2
6/ Đường thẳng và mặt phẳng:
a) ∆ // (P) ⇔∆∩ (P) = ∅
b)
(P)
d (P) / /(P)
/ /d
∆ ⊄
⊂ ⇒ ∆
∆
c) ⇒ ∆ // d d) ⇒∆ // d e) ⇒ a // b // c hoặc đồng quy
Phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
Tìm M ∈ P ∩ Q ; a ⊂ P ; b ⊂ Q ; a ∩ b = N
⇒ P ∩ Q = MN
Ví dụ: Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)
S ∈ (SAD) ∩ (SBC) ; AD và BC ⊂ (ABCD)
⇒ AD ∩ BC = N
Vậy: (SAD) ∩ (SBC) = SM
7/ Hai mặt phẳng song song:
a) P // Q ⇔ P ∩ Q = ∅ b) ⇒ (a,b) // P c) ⇒ a // Q d) ⇒ a // b
e) P // Q ; R // Q ⇒ P // R d
Trang 2f) ⇒ = =
Phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
Tìm M ∈ P ∩ Q ; a ⊂ P ; b ⊂ Q ; a // b ⇒ P ∩ Q = Mx // a // b Tìm M ∈ P ∩ Q ; a ⊂ P ; a // Q ⇒ P ∩ Q = Mx // a
Ví dụ: S ∈ (SAD) ∩ (SBC) ; AD // BC
⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sx // AD
8/ Đường thẳng vuông góc mặt phẳng:
a) a ⊥ P ⇔ a ⊥ ∀ b ⊂ P
b) ⇒ c ⊥ (a,b)
c) ⇒ P ⊥ b d) ⇒ a // b e) ⇒ a ⊥ Q f) ⇒ P // Q
g) ⇒ b ⊥ a h) ⇒ a // P i) a ∩ P = A ; b ⊂ P ; a ⊥ b ⇔ b ⊥ a'
9/ Hai mặt phẳng vuông góc:
a) ⇒ P ⊥ Q b) ⇒ a ⊥ Q c) ⇒ d ⊥ R
10/ Khoảng cách:
a) Xác định d(A,∆):
Cách 1: Dựng AH ⊥ ∆ tại H ⇒ d(A,∆) = AH Cách 2: Dựng a qua A: a // ∆ Chọn M bất kì thuộc a hoặc ∆ ⇒ d(A,∆) = d(M.∆) Cách 3: Dựng P qua A: P ⊥ ∆ tại B ⇒ d(A,∆) = AB
b) Xác định d[A,(P)]:
Cách 1: Dựng AH ⊥ (P) tại H ⇒ d[A,(P)] = AH Cách 2: Dựng a qua A: a // (P) Chọn M bất kì thuộc a ⇒ d[A,(P)] = d[M,(P)]
Cách 3: Dựng (Q) qua A: (Q) ⊥ (P) tại ∆ ⇒ d[A(P)] = d(A,∆) c) Xác định d[a,(P)]
Chọn A∈a ⇒ d[a(P)] = d[A,(P)]
d) Xác định d(a,b) với a chéo b:
Cách 1: Nếu a ⊥(P) ⊃ b tại H ⇒ d(a,b) = AH với AH ⊥ b (A∈b) Cách 2: Dựng (P) ⊃ a: (P) // b ⇒ d(a,b) = d[b,(P)]
11/ Góc:
a) Góc giữa a và P bằng góc giữa a và hình chiếu a' của a trên P
b) Góc giữa P và Q là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm
c) Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì S' = S.cosϕ trong đó ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’)
12/ Thể tích khối đa diện:
a) Khối lăng trụ: V = S.h b) Khối chóp: V = S.h c) Chóp cụt: V = (S + S' + )
d) Nếu hình tứ diện S.ABC bị (P) cắt theo thiết diện là một tam giác A'B'C' thì:
b
Trang 3=
Bài tập
Đường thẳng và mặt phẳng
1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN)
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN)
2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy lớn AD = 2BC Gọi N là trung điểm của SB,M nằm trên
cạnh SA sao cho AM = 2MS Gọi α là mặt phẳng thay đổi qua MN cắt BC và AD tại P và Q
a) Chứng minh rằng 4 đường thẳng MN,AB,CD và PQ đồng qui tại một điểm I
b) Gọi J và K lần lượt là giao điểm của SC và SD với α,chứng minh rằng ba điểm I ,J ,K
thẳng hàng
c) Tìm α (SAC) và α (SBD)
d) Gọi R = MQNP , Chứng minh rằng điểm R chạy trên một đường thẳng cố định khi α
thay đổi
3 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M là 1 điểm thuộc miền trong tam giác SCD
a) Tìm giao tuyến của (SBM) và (SAC) b) Tìm giao điểm của BM và (SAC) c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (ABM)
4 Cho tứ diện ABCD Gọi O là điểm thuộc miền trong của tam giác BCD và M thuộc đoạn AO
a) Tìm giao tuyến của (MCD) với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)
b) Gọi I, K là 2 điểm lần lượt trên BC, BD Tìm giao tuyến của (IKM) với (ABC) và (ABD)
5 Cho hình chóp S.ABCD Gọi I, J là 2 điểm trên các cạnh AD, SB
a) Tìm các giao điểm K, L của IJ và DJ với (SAC)
b) Giả sử AD ∩ BC = O, OJ ∩ SC = M Chứng minh A, K, M, L thẳng hàng
6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, SD, OC
a) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAC) và giao điểm của (MNP) và SA
b) Tìm thiết diện của hình chóp với (MNP) và tính tỉ số mà (MNP) chia các cạnh SA, BC, CD
7 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AD Điểm M thay đổi trên cạnh
SA a) Dựng giao điểm N của SD và mặt phẳng(BCM) b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(BCM) c) Gọi I = BM ∩ CN.Tìm tâp hợp điểm I khi M chạy trên SA
8 Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC lấy 1 điểm M, trong tam giác SCD lấy 1 điểm N
a) Tìm giao điểm của MN và (SAC) b) Tìm giao điểm của SC và (AMN) c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (AMN)
9 Cho tứ diện ABCD M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC Trên cạnh BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD
a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các đường thẳng CD và AD
b) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (MNP) và (ABD) Mặt phẳng (MND) cắt tứ diện theo thiết diện là hình gì?
Trang 410 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Gọi M ,N ,E ,F lần lượt là trọng
tâm của các tam giác SAB, SBC ,SCD ,và SDA Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng b) Tứ giác MNEF là hình thoi
c) Ba đường thẳng ME ,NF và SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD)
11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm của cạnh SC
a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD).Chứng minh IA =2IM
b) Tìm giao điểm F của SD với (ABM).Chứng minh rằng F là trung điểm của SD và
ABMF là một hình thang
c) Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB.Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt
phẳng(SBD)
12 Cho tứ diện S.ABC Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, AB Trên SC lấy điểm K sao
cho CK = 3KS
a) Tìm giao điểm của BC và (IHK)
b) Gọi M là trung điểm của IH Tìm giao điểm của KM với (ABC)
13 Cho tứ diện ABCD.Gọi I,J là trung điểm của AD và BC
a) Chứng minh rằng IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau
b) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) (JAD)
c) Gọi M là điểmnằm trên đoạn AB;N là điểm nằm trên đoạn AC Tìm giao tuyến của 2
mặt phẳng (IBC) ∩ (DMN)
14 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành Gọi M,N là trung điểm SA,SB.Điểm
P thay đổi trên cạnh BC
a) Chứng minh rằng CD//(MNP)
b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) Chứng minh rằng thiết diện là 1
hình thang
c) Gọi I là giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện ,tìm quĩ tích điểm I
15 Cho tứ diện ABCD Gọi A’,B’,C’,D’lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD,CDA,DAB
và ABC
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BB’ cùng nằm trong một mặt phẳng
b) Gọi I là giao điểm của AA’ và BB’,chứng minh rằng :
c) Chứng minh rằng các đường thẳng AA’,BB’,CC’ đồng qui
16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC.Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M,N và B
a) Tìm các giao tuyến (P) ∩ (SAB) và (P) ∩ (SBC) b)Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mặt phẳng (P)
c)Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SDC) d)Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA,DC với (P) Chứng minh rằng
E ,B ,F thẳng hàng
17 Cho tứ diện ABCD Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC.Trên cạnh BD,ta lấy điểm K sao cho BK = 2KD
a) Tìm giao điểm E của đường thẳng CD với mặt phẳng (IJK) Chứng minh rằng DE = DC b) Tìm giao điểm F của đường thẳng AD với mặt phẳng (IJK) Chứng minh rằng FA = 2FD
c) Chứng minh rằng FK song song IJ d) Gọi M và N là hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD.Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (IJK)
18 Cho tứ diện ABCD I, J lần lượt là trung điểm của CA; CB K là điểm thuộc BD: BK = 2KD
1 Tìm giao điểm E của CD và mp(IJK) Chứng minh: DE = DC
2 Tìm giao điểm F của AD và mp(IJK) Tính FA/FD
3 Chứng minh: FK//IJ
4 lấy M, N bất kỳ trên các cạnh AB, CD Tìm MN∩(IJK)
19 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N là trung điểm AB, CD
1 Chứng minh: MN//(SBC); MN//(SAD)
2 Gọi P là trung điểm SA Chứng minh: SB//(MNP); SC//(MNP)
3 Gọi G1, G2 là trọng tâm tam giác ABC và SBC Chứng minh: G1G2//(SCD)
20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Gọi M ,N ,E ,F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC ,SCD ,và SDA Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng b) Tứ giác MNEF là hình thoi c) Ba đường thẳng ME ,NF và SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD)
21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm của cạnh SC
Trang 5a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD) Chứng minh IA = 2IM
b) Tìm giao điểm F của SD với (ABM) Chứng minh rằng F là trung điểm của SD và
ABMF là một hình thang
c) Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt
phẳng(SBD)
22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của
các tam giác SAB và SAD E là trung điểm của BC
a) Chứng minh rằng MN // BD
b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)
c) Gọi H và K lần lượt là các giao điểm của mặt phẳng (MNE) với các cạnh SB và SD
Chứng minh rằng LH // BD
23 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành ,M là 1điểm thay đổi trên cạnh
AB.Mặt phẳng α qua M và //SA và AD
a) Dựng thiết diện của α với hình chóp Chứng minh thiết diện là hình thang
b) Chứng minh rằng đoạn giao tuyến của α với(SCD) thì//SD
c) Tìm quĩ tích giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện khi M thay đổi trên cạnh SD
24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Gọi M và N là trung điểm của
AB và SC
a) Tìm các giao tuyến (SAC) ∩ (SBD) và (SAB) ∩ (SCD)
b) Chứng minh rằng MN //(SAD)
c) Chứng minh rằng đường thẳng AN đi qua trọng tâm của tam giác SBD
d) Gọi P là trung điểm của SA.Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Gọi M và N là trung điểm của
SA và SC
a) Tìm các giao tuyến (SAC) ∩ (SBD) và (BMN) ∩ (ABCD) ; (BMN) ∩ (SBD)
b) Tìm giao điểm K của SD và (BMN) Chứng minh rằng SK = SD
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN)
d) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng MI //(SBC) và
(IJN)//(SAD)
26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O Gọi M,N,P lần lượt là trung
điểm của SC,AB,AD
a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SBC) và (SAD)
b) Tìm giao điểm I của AM (SBD) c) Gọi J = BP AC Chứng minh rằng IJ // (SAB) d) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
Quan hệ vuông góc
Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a, ∆ABC vuông cân tại B và AB = a
a) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAB) b) Tính diện tích tam giác SBC
c) Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2 Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD
a Tam giác SBC là tam giác gi ? Chứng minh SH ⊥ (ABCD)
b Chứng minh AC ⊥ SK c Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC,∆SAB và ABC cân chung đáy AB; gọi M là trung điểm AB
và SH là đường cao của ∆SMC Chứng minh rằng:
1/ AB ⊥ (SMC) 2/ SH ⊥ (ABC) Bài 4: Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với (ABC), tam giác ABC đều Gọi O là trực tâm của tam giác, K là trung điểm của BC
a CM SK ⊥BC
b CM SC ⊥(BOH) với H là trực tâm của tam giác SBC, OH ⊥ (SBC)
c Nối OH cắt SA tại N CM tứ diện SNBC có các cặp cạnh đối vuông góc
Bài 5: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC , đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a , I là trung điểm BC
1 CMR : ( OAI ) ⊥ ( ABC ) 2 CMR : BC ⊥ ( AOI )
3 Tính góc giữa AB và mp ( AOI )
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a/ Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, SD Chứng minh MN // BD và MN ⊥ (SAC)
Trang 6Bài 7: Cho tứ diện SABC có tam giácABC đều cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA = a/2 Gọi I là trung
điểm của cạnh BC
a) Chứng minh: BC ⊥ mp(SAI)
b) Tính góc giữa mp (ABC) và mp(SBC) Từ đó suy ra diện tích tam giác SBC
Bài 8: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là
trung điểm BC
1 CMR : ( OAI ) ⊥ ( ABC ) 2 CMR : BC ⊥ ( AOI )
3 Tính góc giữa AB và mp ( AOI )
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Biết SA = a, AB = a, BC =
2a, cạnh bên SA vuông góc với mf(ABCD)
a) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD) với (ABCD)
b) Gọi O là giao điểm của hai đường chÐo AC và BD Tính khoảng cách từ O đến
mf(SCD)
Bai 9: Cho tứ diện OABC Có OA = OB = OC = a , AOB AOC 60 , BOC 90· =· = 0 · = 0
a/ CMR: ABC là tam giác vuông b/ CM: OA vuông góc BC
c/ Gọi I, J là trung điểm OA và BC Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung với OA và BC
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB) , (SBC)
vuông góc với đáy, SB = a
a) Gọi I là trung điểm SC Cmr: (BID) ⊥ (SCD) b) Tính góc của mp(SAD) và mp(SCD)
c) CMR các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = BC = a 2, I là trung điểm cạnh AC, AM
là đường cao tam giác SAB Ix là đường thẳng vuông góc với mp (ABCtại I, trên Ix lấy S sao
cho IS = a
a)Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC) b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC)
c) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(AMC)
Bài 12: Hình chóp S.ABC ∆ABC vuông tại A, góc µB = 600 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và
(SBC) vuông góc với đáy; SB = a Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC)
a) CM: SB ⊥ (ABC) b) CM: mp(BHK) ⊥ SC
c) CM: ∆BHK vuông d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK)
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy , SA = a 2
1/ CMR (SAC) ⊥ (SBD) 2/ Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) 3/ Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD )
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a, SA
⊥(ABCD)
a Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông
b Gọi I là trung điểm của SC Chứng minh IO⊥(ABCD)
c Tính góc giữa SC và (ABCD)
Bài 15) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng 1 và các cạnh bên bằng nhau và bằng
a Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC) b Tính độ dài đường cao của hình chóp
c Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy
Bài 16) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA = AB = AC = a
SA ⊥ đáy
a Gọi I là trung điểm BC Chứng minh BC ⊥ (SAI) b Tính SI
c Tính góc giữa (SBC) và mặt đáy
Bài 17) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA ⊥(ABCD) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD
a Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC) b Chứng minh SC ⊥(AHK)
c Chứng minh HK ⊥(SAC) Bài 18) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD
a Chứng minh SO ⊥ (ABCD)
b Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh IK⊥SD Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ABCD là hình vuông tâm O Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC, SD CMR
1 BC vuông góc với (SAB), CD vuông góc với mặt phẳng (SAD), BD vuông góc với mặt phẳng (SAC)
Trang 72 Bốn điểm A, I, J, K đồng phẳng.
3 Tứ giác AIJK nội tiếp Tính diện tích tứ giác nếu hình vuông cạnh a, SA bằng 2a
Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam
giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J là trung điểm AB, CD
a Tính các cạnh của tam giác SIJ, chứng minh SI⊥(SCD), SJ⊥(SAB)
b Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ, chứng minh SH⊥AC
c Gọi M là điểm thuộc cạnh CD sao cho BM⊥SA Tính AM theo a
Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3, mặt
bên SBC là tam giác vuông tại B, mặt bên SCD là tam giác vuông tại D có SD = a 5
a Chứng minh SA⊥(ABCD) và tính SA
b Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD
với mặt phẳng (HIJ) CMR AK⊥(SBC), AL⊥(SCD)
c Tính diện tích tứ giác AKHL
Bài 22: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a Gọi I,J
lần lượt là trung điểm của BC và BB’
a) Chứng minh rằng BC’ ⊥ (AIJ) b) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (AIJ) và (ABC)
c) Tính diện tích tam giác AIJ
Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều có
AB BC = = DC a SA = ⊥ ABCD SA a = Gọi M và I là các điểm trên cạnh SB,
SD sao cho SM = 3/4SB ; SI = 3/7SD Mặt phẳng (AMI) cắt SC tại N
a) Chứng minh rằng SD ⊥ (AMI) b) Chứng minh N là trung điểm SC
c) Chứng minh AN ⊥ NI ; AM ⊥ MI
d) Tính diện tích thiết diện tạo bởi (AMI) và hình chóp
Bài 24: 24 Cho ∆ABC đều có chiều cao AH = 3a, lấy điểm O trên AH sao cho AO = a Trên
đường thẳng vuông góc với mp chứa ABC tại O lấy điểm S sao cho OS = BC
a) C/m BC ⊥ AS b) Tính SO, SH theo a
c) Qua I∈OH vẽ (α) ⊥ HO, mp (α) cắt AB, AC, SC, SB tại M,N,P,Q C/m MNPQ là hình
thang cân
Khoảng cách
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a Các cạnh bên SA
= SB = SC = SD = a Gọi M là trung điểm của SD
a) Chứng minh AC vuông góc với (SBD) b) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Biết SA = a, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SAvuông góc với mf(ABCD)
a)Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD) với (ABCD) b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.Tính khoảng cách từ O đến mf(SCD)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA = a, AB = 2a , AD = CD = a
1/ Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
2/ Tính góc giữa SC và mặt phẳng (SAB)
3/ Tính kc giữa các cặp đường thẳng SA và CD , SC và AD , AB và SD , SC và AB
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a.Các cạnh bên SA
= SB = SC = SD = a Gọi M là trung điểm của SD
1) Chứng minh AC vuông góc với (SBD)
2) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc ·BAD 60= 0, đường cao SO = a
a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC CMR : BC⊥ (SOK) b) Tính góc của SK và mp(ABCD)
c) Tính khoảng cách giữa AD và SB
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông ở C có CA = a;CB = a; SA ⊥ (ABC) và SA = a
a) Chứng minh mp(SBC) vuông góc với mp(SAC)
b) Tính góc giữa SB và mp(ABC)
c) Tính góc giữa mp(ABC) và mp(SBC)
d) Gọi I là trung điểm AB Tính khoảng cách từ I đến mp(SBC)
Trang 8Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, SA = 2a.
a) Chứng minh (SAB) vuông góc (SBC)
b) Tính khoảng cách giữa : AD và SC
c) Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC Tính diện tích thiết diện của hình chóp
S.ABCD khi cắt bởi mp(P)
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a
1 Tính góc giữa ( SAC ) và ( SAD )
2 Tính khoãng cách giữa hai đường thẳng SB và AD
3 Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (SCD) Hãy xác định mp (α) Mặt
phẳng (α) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD, đáy tam giác ABC vuông cân tại B và SA ⊥ (ABC) biết SA =
a và BC = a
a) Chứng minh: SB ⊥ CB b) Xác định góc giữa SC và (SAB)
c) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC)
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Biết SA = a, AB = a, BC =
2a, cạnh bên SA vuông góc với mf(ABCD)
a) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD) với (ABCD)
b) Gọi O là giao điểm của hai đường chÐo AC và BD Tính khoảng cách từ O đến
mf(SCD)
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang vuông , AB = a, BC = a, góc ADC
bằng 450 Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với đáy, SA = a 2
a) Tính góc giữa BC và mp(SAB) b) Tính góc giữa mp(SBC) và mp(ABCD)
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC
Bài 12: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a gọi O là tâm
của đáy ABCD
a) CMR (SAC) ⊥(SBD), (SBD)⊥(ABCD)
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD),từ điểm O đến mp(SBC)
c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD
và SD
Bài 13: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc BAD = 60 và SA
= SB = SD = a a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) b) Chứng minh tam giác SAC vuông c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có cạnh SA = a và SA ⊥ (ABCD) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB và SD
1/ Chứng minh CD ⊥ (SAD) và HK ⊥ (SAC)
2/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD
Bài 15: Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a
1 Chứng minh SAB ⊥ SBC 2 Tính khoảng từ A đến (SBC)
3 Gọi O là trong điểm của AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và SA ⊥ (ABCD)
a Tính khoảng cách từ A đến (SBD) b Chứng minh (SBC) ⊥(SAB)
c Tính khoảng cách từ C đến (SBD)
Bài 17: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a, SA = a, SA vuông góc với cạnh BC, khoảng cách từ S đến cạnh BC là a Gọi M trung điểm BC
a) CMR: BC vuông góc với (SAM) b) Tính chiều cao của hình chóp c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SA và BC
Bài 18: Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = a, SA vuông góc với (ABC), SA = 2a.Gọi M là trung điểm của AB
a) Tính góc giữa (SBC) và (ABC) b) Tính đường cao AK của tam giác AMC c) Tính góc giữa (SMC) và (ABC) d) Tính khoảng cách từ A đến (SMC)
19 Cho hình vuông ABCD và tam giác SAB đều nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau Gọi I là trung điểm của AB
a) Tính d[S,(ABCD)] b) C/m: (SAD) ⊥ (SAB) c) Gọi F là trung điểm của AD C/m (SCF) ⊥ (SID), tính d[I,(SCF)]
20 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, SC = a, H, K
là trung điểm AB, AD
Trang 9a CM SH ⊥ (ABCD) b AC ⊥ SK, CK ⊥ SD.
c Tính khoảng cách từ H đến (SCD), H đến (SBC)
d Góc tạo bởi các cạnh bên và mặt đáy
21 Cho tứ diện SABC có ∆ABC vuông cân tại B và AC = 2a, SA ⊥ (ABC), SA = a
a) Tính d[A,(SBC)] b) Gọi O là trung điểm của AC, tính d[O,(SBC)]
21 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D với AB = AD = a và CD =
2a Cạnh bên SD ⊥ (ABCD) với SD = a
a) C/m ∆SBC vuông, tính diện tích ∆SBC b) Tính d[A,(SBC)]
22 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a Góc BAD = 60°, SO ⊥ (ABCD)
và SO = 3/4a Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE
a) C/m (SOF) ⊥ (SBC) b) Tính d[O,(SBC)] và d[A,(SBC)]
c) Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và (P) ⊥ (SBC), xác định và tính diện tích của thiết diện
tạo bởi (P) và hình chóp
23 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, các cạnh bên bằng a
a) Tính d[S,(ABCD)]
b) Gọi (α) là mp qua A và (α) ⊥ SC, tính dt thiết diện tạo bởi (α) và SABCD
Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA = a, AB =
2a , AD = CD = a
Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
a/ Tính góc giữa SC và mặt phẳng (SAB)
b/ Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng SA và CD , SC và AD , AB và SD , SC và AB
Bài 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a Các cạnh bên SA
= SB = SC = SD = a Gọi M là trung điểm của SD
a) Chứng minh AC vuông góc với (SBD)
b) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
Bài 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Biết SA = a, AB = a, BC =
2a, cạnh bên SAvuông góc với mf(ABCD)
a)Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD) với (ABCD)
b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.Tính khoảng cách từ O đến mf(SCD)
Bài 27: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc ·BAD 60= 0, đường cao SO = a
a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC CMR : BC⊥ (SOK) b) Tính góc của SK và mp(ABCD)
c) Tính khoảng cách giữa AD và SB
Bài 28: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông ở C có CA = a;CB = a; SA ⊥ (ABC) và SA = a
a) Chứng minh mp(SBC) vuông góc với mp(SAC)
b) Tính góc giữa SB và mp(ABC) c) Tính góc giữa mp(ABC) và mp(SBC) d) Gọi I là trung điểm AB Tính khoảng cách từ I đến mp(SBC)
Bài 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, SA = 2a.
a) Chứng minh (SAB) vuông góc (SBC) b) Tính khoảng cách giữa : AD và SC
c) Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC Tính diện tích thiết diện của hình chóp
S.ABCD khi cắt bởi mp(P)
Bài 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a
1 Tính góc giữa ( SAC ) và ( SAD )
2 Tính khoãng cách giữa hai đường thẳng SB và AD
Bài 31: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a gọi O là tâm của đáy ABCD
a) CMR (SAC) ⊥(SBD), (SBD)⊥(ABCD)
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD),từ điểm O đến mp(SBC)
c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD
và SD
d) Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (SCD) Hãy xác định mp (α) Mặt phẳng (α) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
Bài 32: Cho hình chóp S.ABCD, đáy tam giác ABC vuông cân tại B và SA ⊥ (ABC) biết SA
= a và BC = a
Trang 10a) Chứng minh: SB ⊥ CB b) Xác định góc giữa SC và (SAB)
c) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC)
Bài 33: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang vuông , AB = a, BC = a, góc ADC
bằng 450 Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với đáy, SA = a 2
a) Tính góc giữa BC và mp(SAB) b) Tính góc giữa mp(SBC) và mp(ABCD)
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC
Bài 34: Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a , cạnh SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a
1 Chứng minh SAB ⊥ SBC 2 Tính khoảng từ A đến (SBC)
3 Gọi O là trong điểm của AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
Bài 35) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a, SA = a, SA vuông góc với
cạnh BC, khoảng cách từ S đến cạnh BC là a Gọi M trung điểm BC
a) CMR: BC vuông góc với (SAM) b) Tính chiều cao của hình chóp
c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SA và BC
Bài 36) Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = a, SA vuông góc với (ABC), SA =
2a.Gọi M là trung điểm của AB
a) Tính góc giữa (SBC) và (ABC) b) Tính đường cao AK của tam giác AMC
c) Tính góc giữa (SMC) và (ABC) d) Tính khoảng cách từ A đến (SMC)
Bài 37: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc BAD = 600 và SA
= SB = SD = a
a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) b) Chứng minh tam giác SAC vuông
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
Bài 38: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a SA = SB = SC =
a)Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)
b)Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
c)Tính diện tích tam giác SBC
Bài 39: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A , BC = a SA = SB = SC =
3
2
a
a)Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc nhau c)Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) d)Tính diện tích tam giác SAC Bài 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A = 60o SA = SB =
SD = a)Tính hình chóp từ S đến mặt phẳng (ABCD) b)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) vuông góc nhau c)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) vuông góc nhau và tính khoảng cách
từ A đến mặt phẳng (SBD) d)Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) suy ra diện tích tam giác SBD Bài 41: Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB = 2a , BC = a, SA ⊥ (ABC) ,SA = 2a Gọi I là trung điểm AB
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SIC) và (ABC)
c) Gọi N là trung điểm AC ,tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SBC) Bài 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC· =BAD· = 90°, BA = BC = a, AD
= 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
SB C/m ∆SCD vuông và tính d[H,(SCD)]
Bài 43: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC C/m :
MN ⊥ BD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC
Bài 44 (CĐ CN1 2006): Cho hình nón có đường cao h, mặt phẳng (α) qua đỉnh S tạo với mặt đáy một góc bằng 60° đi qua hai đường sinh SA, SB và cắt mặt đay theo dây AB có số đo cung bằng 60° Tính diện tích thiết diện SAB
Bài 45 (CĐ KTĐN 2006): Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), ∆ABC vuông tại B, SA =
AB = a, BC = 2a Gội M, N là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC Tính SAMN
Bài 46 (CĐ GTVT): Cho hai tia Ax và By vuông góc nhau có AB ⊥ Ax, AB ⊥ Ay và AB = a Lấy điểm M ∈ Ax, N ∈ By sao cho AM = BN = 2a Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Tính d(AM,BI)