Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có đỉnh A1;2.. b Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
Trang 1Sở GD_ĐT tỉnh Nghệ An ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II-NĂM HỌC: 2009-2010
Trường THPT Đô Lương 3 Môn TOÁN 10- Thời gian: 90 phút
A.PHẦN CHUNG ( 7 đ)
( Phần dành cho tất cả học sinh theo chương trình cơ bản và chương trình nâng cao) Câu I ( 1,5 đ) Giải bất phương trình: x+ 2 < 4 - x
Câu II ( 2,5 đ) Cho tam thức bậc hai: f x( ) = − −x2 2(m− 3)x m+ − 5
a) Tìm m để bất phương trình : f(x) < 0 thỏa mãn ∀ ∈x R
b) Tìm m để PT: f(x) = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt
Câu III ( 3,0 đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có đỉnh A(1;2) Các đường
trung trực của các cạnh AB và AC có phương trình lần lượt là:
x - 3y - 5 = 0 (∆ 1) và 2x + y - 9 = 0 (∆2)
a) Viết phương trình tổng quát các cạnh AB, AC của ∆ABC
b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
B PHẦN TỰ CHỌN ( 3 đ)
( Thí sinh chỉ được chọn làm một trong hai phần sau )
I-Ban cơ bản:
Câu IVa ( 2,0đ)
a) Cho cosα =4
5 và 3
2
π < α < 2 π Tính giá trị của : sin α , tan α , cot α
b) Đơn giản biểu thức: A= sin sin 2
1 cos os2
x c x
+
Câu V*a ( 1,0đ) Cho 3 số dương a , b , c thỏa mãn : a + b + c = 1
Tìm giá trị lớn nhất của : P=( a + b ).( b + c ).( c + a ).abc ?
II- Ban tự nhiên
Câu IVb (2,0đ).
a) Cho sin α = 3
5
−
và 3
2
π < α <2 π Tính giá trị của : M = 5sin α + 4tan α + 3cot α
b) Đơn giản biểu thức : N=1 os2 sin 2
1 os2 sin 2
Câu V*b (1,0đ) Tìm tất cả các số thực dương x , y , z thỏa mãn hệ PT:
6
2
x y z
+ + =
+ + = −
Hết
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN THI HỌC KÌ II 10 NĂM HỌC 2009-2010
2
x
x
− ≤ <
⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ > ⇔ − ≤ <
+ < − − + > <
Vậy tập nghiệm của bpt là : [− 2; 2)
Câu II Cho tam thức bậc hai f x( ) = − −x2 2(m− 3)x m+ − 5 2,5
1 Tìm m để bất phương trình f x( ) 0 < Với ∀ ∈x R 1,0
f x < ∀ ∈ ⇔ ∆ <x R ( vì hệ số a=-1<0 )
⇔ − + − < ⇔ − + < ⇔ < <
Vậy f x( ) 0 < Với ∀ ∈x Rkhi m∈( )1; 4
2 Tìm m để phương trình f(x) =0 có hai nghiệm dương phân biệt 1,5
phương trình f(x) =0 có hai nghiệm dương phân biệt
2
' 0
5 4 0
2( 3) 0 0
c
a
m b
S a
∆ > − + >
⇔ = > ⇔ − − >
= − >
⇔
3
m hoac m
m
< >
< ⇔ <
<
Câu III Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có đỉnh A(1;2) Các đường
trung trực của ∆ABC thuộc các cạnh AB và AC có phương trình lần
lượt là:
x - 3y - 5 = 0 (∆ 1) và 2x + y - 9 = 0 (∆2)
3,0
• Đường thẳng AB là đường thẳng qua A(1;2) và vuông góc với đường (∆ 1) nên nhận VTPT của (∆ 1) làm VTCP , tức là
1 (1; 3)
AB
uuuur uur=n∆ = − ⇒nuuurAB = (3;1), vậy pt đường AB là: 3(x-1)+1(y-2)=0⇔ 3x+y-5=0
• Đường thẳng AC là đường thẳng qua A(1;2) và vuông góc với đường (∆ 2) nên có VTPT là nuuurAC = − (1; 2), vậy pt đường AC là:
x-2y+3=0 ( HS có thể giải cách khác: Đường thẳng AB v.g với đường (∆ 1)
nên có dạng : 3x+y+m=0, vì nó đi qua điêm A(1;2) nên 3.1+2+m=0 suy ra m=-5 )
0,75
0.75
Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là I, bán kính R Khi đó:
Trang 37
x
I y
=
Vậy PT đường tròn ngoại tiếp là: 32 2 1 2 850
x− + +y =
0.5
0,5
CâuIVa
ban CB
a) Cho cosα =4
5 và 3
2
π
< α < 2 π Tính giá trị của : sin α , tan α , cot α
1,0 0,5 0,5
Vì 3
2
π < α < 2 π nên sinα < 0 Do đó sinα = 2 3
1 (4 / 5)
5
tanα =sin 3
os 4
c
α α
−
= ; cotα = 4
3
−
ban CB b) Đơn giản biểu thức: A= sin sin 2
1 cos os2
x c x
+
1,0
sinx+2sinxcosx cosx 2 osc x = +
sinx(1 2cos )
t anx cos (1 2cos )
x
+
CâuV*a
ban CB
Cho 3 số dương a , b , c thỏa mãn : a + b + c = 1
Tìm giá trị lớn nhất của : P=( a + b ).( b + c ).( c + a ).abc ?
1,0.
Áp dụng bđt cosi ta có:
a+b+c≥ 3 3abc ⇔ ≥ 1 3 3 abc 1
27
⇔ ≥abc>0(1) (a+b)+(b+c)+(c+a)≥ 3 ( 3 a b b c c a+ )( + )( + )
3
2 3 (a b b c c a)( )( )
27 ≥ +a b b c c a+ + >0 (2)
Từ (1) và (2) ta có: (a+b)(b+c)(c+a)abc≤ 8
729
Vậy GTLN của P là 8
729 đạt được khi a=b=c=1/3
0.25
0.25
0,25
0,25
Câu
IVb
ban NC
a) Cho sin α = 3
5
−
và 3
2
π
< α <2 π Tính giá trị của : M = -5sin α + 4tan α + 3cot α
1,0
vì 3
2
π < α <
2 π nên cos α>0, do đó cos α = 3 2
1 ( ) 5
−
suy ra tan α=-3/4 và cot α=-4/3
Vậy: M=-5 (-3/5)+4(-3/4)+3(-4/3)=-4
0,5 0,5 ban NC b) Đơn giản biểu thức : N=1 os2 sin 2
1 os2 sin 2
Ta có N=
2 2
2 cos 2sin cos 2 os (cos sinx)
cot 2sin 2sin cos 2sinx(sinx cos )
x
Trang 4V*b
ban NC
Tìm tất cả các số thực dương x , y , z thỏa mãn hệ PT:
6
2
x y z
+ + =
+ + = −
1,0
Áp dụng BĐT cosi cho 3 số dương ta có: 6 = x + y + z ≥ 33 xyz (1)
⇒ xyz≤ 8 (*)
1 1 1x+ + ≥y z 3 xyz3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (x + y + z) (1 1 1x+ +y z )≥33 xyz 3 xyz3 =9
⇒ 1 1 1
x+ + ≥y z 9/6=3/2 (3) Từ (*) và (3) ta có 1 1 1x+ +y z + 4
xyz ≥ 3 4
2 8 +
=2
vậy x , y ,z là số dương thỏa mãn hpt ⇔ đẳng thức xảy ra ở bpt trên
⇔x=y=z=2.
0,25
0,25
0,25
0,25
LƯU Ý: HS làm cách khác đúng và chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa