DE HS GIOI TOAN 9

b Tìm m để tích của hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.. Bài5: 4 điểm Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O; R.. Điểm M di động trên cung nhỏ BC.. Từ M kẻ các đường thẳng MH

UBND HUYỆN KRÔNG NĂNG

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐỀTHI SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN LỚP:9 Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) ĐỀ:

Bài1: (4 điểm)

1) Cho biểu thức: P x x 1 x x 1 x 1

a) Rút gọn P

b) Tìm x để 9

2

P=

2) Cho x = 3 5 2+ −3 5 2− Tính giá trị của biểu thức: f x( )= +x3 3x

Bài2: (2 điểm)

Cho phương trình (có ẩn số là x): 4x2+2(3 2 )− m x m+ 2−3m+ =2 0

a) Chứng tỏ rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m b) Tìm m để tích của hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất

Bài3: (4 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

3 3 3( )

1

x y

 + = −



b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: x2+ + =x 13 y2

Bài4: (4 điểm)

a) Cho x>0 ,y>0 và thoã mãn: x y+ =1 Chứng minh: 4 4 1

8(x y ) 5

xy

b) Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối cùng là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là số chính phương

Bài5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Điểm M di động trên cung nhỏ BC Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK vuông góc với AB, AC (H thuộc đường thẳng

AB, K thuộc đường thẳng AC)

a) Chứng minh tam giác MBC đồng dạng với tam giác MHK

b) Tìm vị trí của M để độ dài đoạn HK lớn nhất

Bài6: (2 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A; AD là phân giác của µA; AB = c, AC = b, AD = d

Chứng minh: 2 1 1

d = +b c Giáo viên ra đề:

Đặng Quang Bình

UBND HUYỆN KRÔNG NĂNG

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MÔN:TOÁN – LỚP 9 Năm học:2009 - 2010 Bài1: (4 điểm)

1) ĐK để P có nghĩa: x> 0 và x≠ 1 (0,25đ)

P

− + (0,5đ)

= x x 1 x x 1 x 1

x

(0,5đ) =

2

( x 1)

x

+

(0,25đ) b)

2

9 ( 1) 9

2 5 2 0

x

x

+

= ⇔ = ⇔ − + = (0,5đ) Giải pt được: x1=4 và 2 1

4

x = (0,5đ)

3 3 5 2 3 5 2

x = + − − (0,5đ)

= 5 2+ − 5 2 3 ( 5 2)( 5 2)+ − 3 + − (3 5 2+ −3 5 2− ) (0,5đ) =4 3x− (0,25đ) ⇒ +x3 3x=4

Vậy: f x( ) 4= (0,25đ)

Bài2: (2 điểm)

(3 2 )− m −4(m −3m+ = >2) 1 0 (0,5đ) Vậy: Pt đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của tham số m (0,25đ) b) Theo hệ thức Vi Ét ta có:

2 2

1 2

x x = − + = m−  − ≥ −

  (0,75đ)

Dấu “=” xảy ra 3

2

m

⇔ = (0,25đ)

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của x x1 2 là 1

16

− (0,25đ)

Bài3: (4 điểm)

a)

3 3 3( )

1

x y

 + = −



1

x y x xy y

x y

 (0,5đ)

0

1

x y

x y

− =



 (I) hoặc

1

x xy y

x y

 + = −

 (II) (0,5đ)

• Hệ (I) có nghiệm: ( ; ) 1; 1

2 2

  (0,25đ)

• Hệ (II) 2 2 3 0

1

x xy y

 + + − =



2 2 0 1

x x

 + − =



1 2

x y

=



2 1

x y

= −



 =

 (0,5đ)

Vậy: Hệ đã cho có nghiệm 1; 1

2 2

 ; (1; 2)− ; ( 2;1)− (0,25đ)

b) x2+ + =x 13 y2 ⇔4x2+4x+52 4= y2 (0,5đ)

4y 4x 4x 1 51 (2 )y (2x 1) 51

⇔ − − − = ⇔ − + = (0,5đ)

(2y 2x 1)(2y 2x 1) 51 51.1 17.3

⇔ + + − − = = = (0,25đ)

2 2 1 51

2 2 1 1

y x

y x



2 2 1 17

2 2 1 3

y x

y x



 − − =

 (0,25đ)

12

13

x

y

=



 hoặc

3 5

x y

=



 =

 (0,5đ)

Vậy: Pt đã cho có nghiệm nguyên dương là (12;13); (3;5)

Bài4: (4 điểm)

a) Ta có: 2 2

2

2(x y ) (x y)

⇔ + ≥ + (0,5đ)

2 2 1

2

x y

⇒ + ≥ (do x + y =1)

2( ) ( )

4

x +y ≥ x +y ≥ ⇔8(x4+y4) 1≥ (1) (0,5đ)

4 ( )

xy ≥ x y ≥

+ (do x + y =1) (2) ( 0,5đ)

Từ (1) và (2) ⇒ 4 4 1

8(x y ) 5

xy

+ + ≥ (0,25đ)

2

x y

⇔ = = (0,25đ) b) Gọi số cần tìm là abcd - ĐK: 0≤a b c d, , , ≤9 (0,5đ)

Vì abcd là số chính phương nên d ={0;1; 4;5;6;9} (0,25đ)

Vì d nguyên tố nên d = 5 (0,25đ) Gọi k là kết quả khai phương của abcd thì 2

k =abcd ⇔32≤ <k 100 (0,25đ)

Vì k là số có hai chữ số mà chữ số tận cùng bằng 5 nên k n= 5 (0,25đ) Mặt khác: n+ 5 là số chính phương nên n = 4, k = 5 (0,25đ) Vậy: Số cần tìm là 2025 (0,25đ)

Bài5: (4 điểm)- Vẽ hình, ghi GT – KL đúng (0,5đ)

∆ABC nội tiếp (O; R)

M∈»BC nhỏ

GT MH⊥AB tại H

MK⊥ ACtại K

KL a) ∆MBC ∆MHK

b) Tìm M để HK lớn nhất

CM:

a) Ta có:MH⊥AB tại H và MK⊥AC tại K (gt) (0,25đ)

90

AHM =AKM = (0,25đ)

O'

K

H

O

M

C B

A

⇒Tứ giác AHMK nội tiếp (O’;

2

AM

) với O’ là trung điểm của AM (0,25đ) ⇒·MHK=MAC· (cùng chắn MK¼ ) (0,25đ)

Mà:MAC MBC· = · (cùng chắn MC¼ của (O)) (0,25đ)

⇒MHK· =MBC·

Tương tự: MCB MKH· =· (0,25đ)

Vậy: ∆MBC ∆MHK (g – g ) (0,25đ)

b) Ta có:∆MBC ∆MHK (c/m trên) (0,25đ)

BC MB

⇒ = (0,25đ)

Mà: MB MH≥ (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc) (0,25đ)

HK

⇒ ≥ ⇔ ≤ (0,25đ)

Đẳng thức xảy ra ⇔H ≡B ⇔ ·ABM =900 ⇔AM là đường kính của (O) (0,5đ)

Lúc đó: M đối xứng với A qua O (0,25đ)

Bài6: (2 điểm)

- Vẽ hình, ghi GT – KL đúng (0,25đ)

∆ABC, µ 0

90

A=

GT BAD DAC· =·

AB = c, AC = b, AD =d

KL 2 1 1

d = +b c

CM: Kẻ DE⊥AC với E AC∈ (0,25đ)

Ta có: ∆AED vuông cân tại E (do µE=900và µA=450) (0,25đ)

Nên: AD = AE 2 (0,25đ)

⇒AE =

2

AD

(1)

Ta lại có: EC DE AC AE AE

−

AC AB

⇔ − = (0,5đ)

AB AC

Từ (1) và (2) ⇒ 2 1 1

AD = AB+ AC (0.25đ) Vậy: 2 1 1

d = +b c (0,25đ)

Phú Xuân :Ngày 10 Tháng 1 Năm 2010

Giáo viên ra đề: Đặng Quang Bình

E

D

C B

A