Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng 1,5 điểm 2.. b Viết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của C với trục hoành.. c Viết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm
Trang 1MỘT SỐ BÀI TẬP ƠN THI HKII KHỐI 11
A.GIỚI HẠN ƠN TẬP :
I Đại Số : (7 điểm )
1 Tính giới hạn của hàm số ( 2 điểm )
2 Hàm số liên tục ( 1 điểm )
- Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
- Chứng minh rằng phương trình cĩ nghiệm
3 Tính đạo hàm của hàm số ( 3 điểm )
4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( 1 điểm )
II Hình Học : ( 3 điểm )
1 Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng ( 1,5 điểm )
2 Chứng minh hai mặt phẳng vuơng gĩc ( 1 điểm )
3 Tính khoảng cách ( 0,5 điểm )
B BÀI TẬP ƠN TẬP :
I.Tính giới hạn của hàm số :
Bài 1: Tính các giới hạn sau :
a)
→−
+ +
−
2 4
lim
4
x
+ −
− +
2 2 1
lim
x
2 1
lim
1
x
x
→−
+ −
− d)
→−
− +
2 1
1 lim
1
x
x
−
−
3 2 2
8 lim
4
x
x
− +
4 3 2
16 lim
8
x
x x
g)
→
− +
−
2
2 1
lim
1
x
− + + +
2 3 2
6 lim
8
x
+ +
2 2 2
lim
x
j)
→
− + −
2
2 lim
7 3
x
x
− −
− 2− −
3
lim
x
x
+ −
− +
2 2
4 1 3 lim
5 6
x
x
0
lim
x
x x
→
→
−
4
lim
4
x
− + −
3 3 1
1 lim
x
x x
Bài 2: Tính các giới hạn sau :
a)
→−∞
− +
−
3 lim
2 1
x
x
2 2
1 lim
x
x
→+∞
+
+ −
3
lim
x
d)
→−∞
+
2
lim
x
x
+ +
− +
3 2
lim
x
+ +
− +
3 2
5 1 lim
x
g) →−∞lim (− +3 2+1)
j) →−∞lim ( 2+2 + −3 )
→+∞
l) →−∞lim ( 2+3 + )
*m) lim 2 1 4 2 4 3
→+∞
lim
−
Bài 3: Tính các giới hạn sau :
a)
2
15 lim
2
x
x
x
+
→
−
−
−
3
1 2 lim
3
x
x
− +
−
2 2
lim
2
x
x
2
4 lim
2
x
x x
+
→
−
2 lim
x
x
+
→
−
− −
−
2 1
lim
1
x
x
*g)
→ 0
sin3
lim
x
x
−
2 0
1 cos lim
x
x
−
0
sin sin3 lim
x
x
Trang 2II Hàm số liên tục :
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các x chỉ ra :0
a) ( )
2 4
2
x
x
x
= +
tại x0 = −2 b) ( )
2
2
4 3
1
x
= −
tại x0 =1
c) f x( ) 3x 1 nêunêu x 11
tại x0 =1 b) ( )
2
2
x x
f x
=
tại x0 =2
Bài 2: Chứng minh các phương trình sau cĩ nghiệm :
a) x3+3x2−4x− =7 0 trong khoảng (−2;0) b) x3+2x− =5 0 trong khoảng ( )1;2
c) x5+ + =x 1 0 d) 2x3− − =10 7 0 cĩ ít nhất 2 nghiệm
III Tính đạo hàm của hàm số :
Các quy tắc tính đạo hàm
(u v w+ − )'= + −u v w' ' ' ( )k u '=k u.( ) ' ( k là hằng số )
( )u v '=u v uv' + '
'
2
−
=
÷
(v≠0) ( )k ' 0= ( k là hằng số ) ( )x ' 1=
Đạo hàm các hàm số thường gặp Đạo hàm hàm hợp các hàm số thường gặp
( )n ' n 1
'
2
= −
÷
( )' 1
2
x
x
=
( )'
sinx =cosx
( )'
cosx = −sinx
( )'
2
1 tan
cos
x
x
=
( )'
2
1 cot
sin
x
x
= −
'
n n
'
2
'
= −
÷
( )' '
2
u u
u
=
( )'
sinu =u'.cosu
( )'
cosu = −u'.sinu
( )'
2
' tan
cos
u u
u
=
( )'
2
' cot
sin
u u
u
= −
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y x= 2+7x+10 2) y= −2x2+8x−6 3) 2 4 5
2
x
4) y x = −3 x2 − 2x 5 −
7)y x= 4−3x2+2 8) y= −3x4+ +x2 2x 9) 4 2 3 2
10) y (3x 2)(1 5x) = − − 11) y (2 x) x = − 2+ 1 12) y x x= (2 −1 3) ( x+2)
13) y 3
2x 1
=
1 3x
+
=
+
3x 4 y
2x 2
16) y x2 3x 3
x 1
− +
=
x 3
− +
=
− +
2
3x 2 y
1
y x
x
= +
1 3
2 5
x
= − +
1
3 1
y x
x
= −
−
Trang 3Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
x 1
+
= − ÷
d) y (x 1)23
(x 1)
+
=
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 2x 2 − 5x 2 + b) y = x2− 4x 3 + c) y = x + x
+
=
x
+
=
*g) y x3
x 1
=
y = + 1 1 2x −
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2
3
d) y = 1 − 1
cos x
Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y sinx 2
1 cosx
= + ÷
g) y tanx = +2tan x3 +1tan x5
* i) y (2 sin 2x) = + 2 3 *k) y tan sinx = ( ) *l) y cos2 x 1
x 1
+
= ÷÷
−
Bài 6: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
6
d) y = + +(1 x x2)2 e) y = 5 4x x + + 2 f) y x = 4+ x3+ 2x
g) y x = + 22
3
x
Bài 7: Cho hàm số f(x) 3(x 1)cosx= +
a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính f ''( ), f '' ,f ''(1)
2
π
π ÷
Bài 8: Giải các phương trình và các bất phương trình sau :
a)
5 3
y ≤ y= + − x+ d) y' 0 cho≥ y x= 4−2x2
Trang 4IV Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số :
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x 0 , y 0 ) ∈ (C) hoặc tại điểm x :0
+ Tính '( ) f x và f x'( )0
+ Do x0 =? suy ra y0
+ Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y y − 0 = f '(x )(x x )0 − 0 (*)
2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại diểm có tung độ y :0
+ Ta có y0 = f x( )0 , giải phương trình tìm x0
+ Viết pptt với ( )C tại các điểm x0
2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k:
+ Gọi x 0 là hoành độ của tiếp điểm Ta có: f (x ) k ′ 0 = (ý nghĩa hình học của đạo hàm)
+ Giải phương trình trên tìm x 0 , rồi tìm y 0 = f(x ) 0
+ Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*)
Bài 1: Cho hàm số 4 3
1
x y
x
−
=
− cĩ đồ thị ( )C
a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm cĩ hồnh độ bằng 2
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm cĩ tung độ bằng 7
2
−
Bài 2: Cho hàm số (C): y f(x) = =x3 − 2x2+ 3x 1 −
3 Viết phương trình tiếp với (C):
a) Tại điểm M(3 ; -1)
b) Tại điểm có hoành độ x0 = -3
c) Tại điểm có tung độ bằng -1
d) Song song với đường thẳng x – y + 10 = 0
e)Vuông góc với đường thẳng x + 2y -3 = 0
Bài 3: Cho hàm số (C): y f(x) x = = 3− 5x2+ 2 Viết phương trình tiếp với (C):
a) Tại điểm M(1 ; -2)
b) Tại điểm có hoành độ x0 = -2
c) Tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 4: Cho hàm số (C): ( ) 1
1
x
x
+
− Viết phương trình tiếp với (C):
a) Tại điểm M(2 ; 3)
b) Tại điểm có hoành độ x0 = -2
c) Tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 5: Cho hàm số = = − +
−
2
y f(x)
x 1 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4)
b) Viết phương trình ttiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1
Bài 6: Cho hàm số y f(x) 3x 1
1 x
+
− (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d: y 1x 100
2
= +
Trang 5Bài 7: Cho hàm số (C): y x = − 3 3x 2
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 4
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 0
Bài 1: Cho tứ diện đều cĩ các cạnh đều bằng a Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a Chứng minh AB⊥(MCD) và (ABN) (⊥ BCD)
b Gọi H là trực tâm tam giác BCD Chứng minh AH ⊥(BCD) và tính chiều cao hình chĩp
c Tính khoảng cách giữa AB và CD
Bài 2: Cho tứ diện ABCD cĩ tam giác BCD vuơng cân tại C, AB⊥(BCD) , BC a= và AD a= 6
Kẻ BH,BK lần lượt vuơng gĩc với AC,AD tại H và K
a Chứng minh CD⊥(ABC) và (BHK) (⊥ ACD).
b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD và khoảng cách từ B đến ) (ACD)
Bài 3: Cho tam giác ABD vuơng cân tại A và tam giác BCD vuơng tại D lần lượt nằm trong hai mặt phẳng
vuơng gĩc với nhau Gọi M là trung điểm của BD, AN là đường cao của tam giác ABC và MH là đường cao của tam giác AMN Cho biết AD CD a= = 6
a Chứng minh AM ⊥(BCD) và MH ⊥(ABC)
b Chứng minh (ACD) (⊥ ABD)
c Tính khoảng cách từ AM đến BC và khoảng cách từ H đến mp BCD ( )
Bài 4: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng tâm O, cĩ các cạnh đều bằng a
a Chứng minh (SAC) (⊥ SBD)
b Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SB,AB,BC Chứng minh (MNP) (⊥ ABCD)
c Tính khoảng cách S đến mp ABCD và khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ) (MNP và ) (SAC )
Bài 5: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng tâm O cạnh a , SA⊥(ABCD)và gĩc hợp bởi SC với mặt đáy bằng 60 Kẻ AM và AN lần lượt vuơng gĩc với SB và SD.0
a Chứng minh các mặt bên của hình chĩp đều là các tam giác vuơng
b Gọi P là trung điểm SC Chứng minh OP⊥(ABCD) và (AMN) (⊥ SAC)
c Tính khỏng cách từ A đến SC và khỏng cách từ OP đến AB
Bài 6: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng đáy lớn AD và SA⊥(ABCD) Cho biết
a Chứng minh AH ⊥(SBC)
b Chứng minh (AHK) (⊥ SCD)
c Biết gĩc hợp bởi SD với mặt đáy bằng 30 Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy 0
Bài 7: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng đáy lớn AD và SA⊥(ABCD) Cho biết
a Chứng minh AH ⊥(SCM)
b Chứng minh (SAB) (⊥ SBC)
c Tính khoảng cách giữa AB và SC, AB và SD
Bài 8: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA⊥(ABCD)và AB a AD= ; =2a
( ) ( )
Trang 6b Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD Chứng minh SC⊥(AHK).
c Biết góc giữa SB với mặt đáy bằng đáy bằng 60 Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC.0
Bài 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB BC a= = ; AC a= 2 và AA' 2= a 3.M là trung điểm AA’
a Chứng minh AB⊥(BB C C' ' ) và (MBC) (⊥ AA B B' ' )
b Tính khoảng cách giữa AA' và BC
Bài 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB BC a= = ; AC a= 2 và M là trung điểm AC
b Chứng minh AB'⊥BC và (BC M' ) (⊥ AA C C' ' )
c Tính khoảng cách giữa AA' và BC
Bài 11: Cho hình lập phương ACBD.A’B’C’D’ có M, N lần lượt là trung điểm của BB’ và A’B’ các cạnh đều
bằng a
a Chứng minh (MAD) (⊥ CDD C' ') và AC⊥(BB DD' ')
b Tính khoảng cách BD và B’C’ và khoảng cách giữa MN và CC’
Bài 12: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC a= = =
a Chứng minh các mặt phẳng (OBC) (, OAC) (, OAB đôi một vuông góc.)
b Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh (ABC) (⊥ OAM)
c Tính khoảng cách giữa OA và BC và khoảng cách từ O đến mp ABC ( )
Bài 13: Cho hình chóp OABC có OA OB OC a= = = và ·AOC=120 ;0 BOA· =60 ;0 ·BOC=900
a Chứng minh tam giác ABC vuông
b Gọi M là trung điểm AC Chứng minh tam giác BOM vuông
c Chứng minh (OAC) (⊥ ABC), tính khoảng cách từ O đến (ABC )
Bài 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, CA CB= =2a, hai mặt phẳng
a Chứng minh (SCD) (⊥ SAB)
b Tính khoảng cách từ A đến (SBC )
c Tính khoảng cách giữa AB và SC
Bài 15: Cho tứ diện OABC có OA OB OC a= = = và ·AOC=60 ;0 ·BOA=60 ;0 ·BOC=900
a Chứng minh ABC là tam giác vuông
b Chứng minh OA⊥BC Gọi I,J lần lượt là trung điểm của OA và BC
Tính khoảng cách giữa OA và BC