SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2009 – 2010 TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4 MÔN TOÁN LỚP 10
Thời gian làm bài: 90 phút
Phần I (7 điểm): Dành cho tất cả học sinh
Câu 1. (2 điểm)
1 Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
x − mx+ m+ =
2 Giải phương trình: x+ =2 2x2+5x+2
Câu 2 (2 điểm)
1 Cho bảng phân bố tần số của một mẫu số liệu như sau:
i
i
n 1 1 4 2 1 2 2 3 N=16 Hãy tìm kích thước, số trung bình, số trung vị, mốt của mẫu số liệu nói trên
2 Cho hai số thực x y, thoả mãn: x>0,y>0; x y+ <1 Chứng minh rằng:
x+ y x y+ + + ≥
Câu 3 (3 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm I(−1;2)và hai đường thẳng
1:x y 3 0
4
y t
= − +
∆ = +
1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc với ∆2
2 Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác có hai cạnh lần lượt nằm trên hai đường thẳng ∆1, ∆2
, cạnh còn lại nhận I làm trung điểm.
3 Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆2 sao cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến
vuông góc tới đường tròn ( ) ( ) (2 )2
C x+ + −y =
Phần II (3 điểm): Mỗi học sinh chỉ được chọn một trong hai câu 4a hoặc 4b
Câu 4a Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn
1 Giải bất phương trình: − +x2 4x− <3 2x−5
2 Chứng minh đẳng thức sau với giả thiết biểu thức luôn có nghĩa:
1 cos2 1 cos4. cot cos2 sin 4
3 Viết phương trình chính tắc của elip biết trục nhỏ bằng 4, tiêu cự 2 5
Câu 4b Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao
1 Giải bất phương trình: x+ −2 3− >x 5 2− x
2 Chứng minh rằng: cos2 sin 30( 0 ) (cos 600 ) 3
4
x− +x +x =
3 Viết phương trình chính tắc của hypebol biết trục thực bằng 6, tiêu cự 2 13
Hết
Trang 2-ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM KIỂM TRA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn Toán
Câu 1
1 (1 điểm)
Để PT có nghiệm thì ∆ =′ m2−3m− ≥4 0 ⇔ ≥m m≤ −41
1.0
2 (1 điểm)
Nếu x ≥ − 2 phương trình trở thành: 2+ =x 2x2+5x+2
2 0 ( )
2 ( )
=
Nếu x < − 2 phương trình trở thành: − + =(2 x) 2x2+5x+2
2 1 ( )
2 ( )
= −
⇔ x + x+ = ⇔ = −x loai
0,5
0,5
Câu 2
1 (1 điểm) Mỗi đáp án đúng cho 0.25 điểm
kích thước: N = 16; số trung bình: 92 5.75
16
x= =
số trung vị: m e=5.5; mốt: 3
1.0
2 (1 điểm) Ta có:
x + y x y+ + + ≥
x y x y
x y x y
⇔ − + − + + − + − + + ÷≥
Rõ ràng (2) là BĐT đúng nên (1) đúng
Dấu bằng xảy ra khi 1
3
x y= =
0.25 0.25
0.25 0.25
Câu 3
1 (1 điểm) Đường thẳng d đi qua điểm I(−1;2) nhận vectơ chỉ phương
( )
2 1;1
uuuur∆ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: x y+ − =1 0
1.0
2 (1 điểm)
Toạ độ điểm A là nghiệm hệ phương trình: 13 0 ( 1;4)
4
x y
y t
+ − =
= − + ⇔ −
= +
Gọi B x( B;3−x B)∈∆1;C(− +1 ;4t + ∈∆t) 2
Vì I(−1;2) là trung điểm của BC nên ta có:
1 2
2
B
B B
x
− +
Vậy toạ độ các đỉnh của tam giác là: A(−1;4 ; 1;2 ;) ( ) (B C −3;2)
0.25
0.25 0.25
0.25
3 (1 điểm)
Trang 3- Đường trũn ( )C cú tõm I(−1,4) , bỏn kớnh R=2Gọi M(− +1 ;4t + ∈ ∆t) 2;
A, B là cỏc tiếp điểm
Từ giả thiết ta cú tứ giỏc IAMB là hỡnh vuụng
Suy ra: IM =2 2 ⇔ = ⇔ = ±t2 4 t 2
KL: Cú hai điểm cần tỡm M( )1,6 và M(−3,2)
0.25 0.25 0.25 0.25
Cõu 4a
1. (1 điểm)
Ta cú: 2
− + − < −
2
2
x x
− + >
> ∨ < < ≤
0.5
0.5
2 (1 điểm)
Ta cú: 1 cos2 1 cos4.
cos2 sin 4
VT
=
1 cos 2 2cos 2 2
cos 2 2sin 2 cos2
1 cos2
sin 2
+
2cos 2
2sin cos
cotx=VP =
0.25
0.25
0.25 0.25
3 (1 điểm)
- Gọi PTCT của elip là
2 + 2 =1
x y
a b với
2 = 2− 2
b a c
- Vỡ độ dài trục nhỏ bằng 6 nờn ta cú 2b = 4 hay b= 2
- Vỡ tiờu cự 2c = 2 5hay c = 5 suy ra a2 = + =b2 c2 9
- Vậy PTCT của (E) là:
1
0.25 0.25
0.25 0.25
Cõu 4b
1 (1 điểm) Điều kiện : 2 5
2
− ≤ ≤x
BPT đã cho tơng đơng với : x+ >2 5 2− x+ 3−x
⇔x+2> 8-3x + 2x+ > − +2 8 3x 2 5 2( − x) (3−x ) ⇔
(5 2 )(3− x −x) 2< x−3
(5 2 )(3 ) 2 3
− ≥
x
Giải phương trỡnh trờn rồi kết hợp với ĐKXĐ, đợc nghiệm của bpt là :(2 ; 5
2]
0,25 0,25 0,25
0.25
2 (1 điểm)
Trang 4Ta có VT c = os2x − sin 30 ( 0 + x c ) ( os 600 + x )
= c os2x − ( sin 30 cos0 x + sin cos30 x 0) ( c os60 cos0 x − sin 60 sin0 x )
0.5
0 5
3 (1 điểm)
- Gọi PTCT của hypebol là
2 − 2 =1
x y
a b với
2 = −2 2
b c a
- Vì trục thực 2a = 6 nên a = 3
- Vì tiêu cự 2c = 2 13nên c = 13 suy ra b2 = −c2 a2 =4
- Vậy phương trình (H) là:
1
0.25
0.25 0.25 0.25
Ghi chú: Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa