Phần thứ nhất LÝ THUYẾT VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TẤM doc

Nói chung, bài toán cơ học đợc giải trên cơ sở 3 nhóm phơng trình cơ bản: hình học, vật lý, cân bằng kết hợp với các điều kiện biên.. Phơng trình cân bằng Xét cân bằng của một phân tố tấ

Phần thứ nhất

Lý thuyết và các phơng pháp tính tấm

Chơng 1

Lý thuyết tính tấm chịu uốn

Tấm là vật thể hình khối có chiều cao h (chiều dày) rất nhỏ so với hai kích thớc còn lại h<<a,b, hình 1-1

Mặt phẳng trung bình là mặt phẳng cách đều mặt trên và mặt dới của tấm

Hình 1-1 Hình dạng và kích thớc tấm

Tấm chịu uốn đợc phân loại thành tấm mỏngvà tấm dầy

Tấm đợc gọi là tấm mỏng khi [12,17]:

10

1 l

h



min

và

10

1 5

1 h

w





max (wmax là chuyển vị pháp lớn nhất) Tấm đợc gọi là tấm dày khi:

10

1 l

h



min

Tấm mỏng đợc tính theo lý thuyết Kirchhoff (bỏ qua biến dạng cắt trong mặt phẳng pháp tuyến) còn tấm dày đợc tính theo lý thuyết Reissner-Mindlin (có xét biến dạng cắt trong mặt phẳng pháp tuyến)

1.1 tính tấm chịu uốn theo lý thuyết Kirchhoff

1.1.1 Các giả thiết tính toán

Tính toán tấm mỏng theo lý thuyết Kirchhoff dựa trên 03 giả thiết:

1 Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm z  0

2 Khi tấm chịu uốn, chuyển vị ngang trên mặt phẳng trung bình bằng không u(x,y,0) v(x,y,0)  0

3 Phần tử thẳng m-n vuông góc với mặt phẳng trung bình trớc biến dạng thì sau biến dạng vẫn thẳng, vẫn vuông góc với mặt phẳng trung bình và không thay đổi độ dài Từ đó rút ra: z  xz  yz  0

Từ các giả thiết của Kirchhoff, chuyển vị u(x,y,z) ;v(x,y,z), biến dạng, ứng suất, nội lực đợc xác định qua chuyển vị wx,y và bài toán 03 chiều trở thành bài toán 02 chiều

1.1.2 Các phơng trình cơ bản

Nói chung, bài toán cơ học đợc giải trên cơ sở 3 nhóm phơng trình cơ bản: hình học, vật lý, cân bằng kết hợp với các điều kiện biên

- Nhóm phơng trình hình học biểu thị quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị

- Nhóm phơng trình vật lý biểu thị quan hệ giữa biến dạng và ứng suất

- Nhóm phơng trình cân bằng biểu thị điều kiện cân bằng (tĩnh, động) của phân tố hoặc toàn hệ

1 Phơng trình hình học

Xét tấm mỏng có chiều dày h=const, vật liệu đàn hồi tuyến tính Tách từ tấm một phân tố VCB có các cạnh dx, dy, hình 1-2

Hình 1-2 Biến dạng của phân tố tấm

z

w x y z





 ( , , )

chiều dầy tấm:

nt w

Từ giả thiết 2 và 3, chuyển vị u(x,y,z), v(x,y,z) tại điểm K bất kỳ cách mặt trung bình khoảng cách z đợc biểu diễn qua chuyển vị w(x,y), hình 1-3, có dạng:

x

w z







) , ,

y

w z

v x y z x y







 ( , )

) , ,

Hình 1-3 Xác định chuyển vị ngang qua chuyển vị pháp tuyến

Các thành phần biến dạng của tấm đợc xác định theo công thức:

2

2

2

       

trong đó, k x, k y,k xylà độ cong uốn và độ cong xoắn

2 y x 2 x

x

w k







 ( , ) ;

2 y x 2 y

y

w k







y x

w 2

2 xy









2 Phơng trình vật lý

Các thành phần ứng suất của tấm, đợc xác định theo lý thuyết đàn hồi với các thành phần biến dạng xác định theo (1.41.6), hình 1-4:































2 2

2 2

.

w x

w z E E

y x







































2 2

2 2

.

w y

w z E E

x y









2 1

xy yx xy

Ez w G

x y





trong đó:

E- mô đun đàn hồi của vật liệu;

- hệ số Poisson;

G - mô đun trợt của vật liệu

  

 1 2

E

Hình 1-4 và 1-5 Các thành phần ứng suất và mô men

Đối với kết cấu tấm thờng xác định nội lực: mô men uốn M x, M y, mô men xoắn M xy, lực cắt Q x, Q ythay cho xác định ứng suất Mô men uốn và mô men xoắn phân bố trên một đơn vị chiều dài xác định qua ứng suất đ ợc xác định bằng biểu thức, hình 1-5:





























2 /

2 /

2

2 2

2

.

h

h

p x

x

y

w x

w D dz z

































2 /

2 /

2

2 2

2

.

h

h

p y

y

x

w y

w D dz z















2 /

2 /

2 1

.

h

h

p xy

yx xy

y x

w D

dz z M

(1.14)

trong đó:

p

D - độ cứng trụ

 2

3 1 12

.





 E h

với:

h- chiều dày tấm;

Biểu diễn mô men uốn và mô men xoắn (1.121.14) dới dạng ma trận qua độ cong uốn và độ cong xoắn:

trong đó:

xy y

M

xy y x

 



























































2

1 0 0

0 1

0 1

2

1 0 0

0 1

0 1

1

12 2 3













Lực cắt phân bố trên một đơn vị chiều dài Q x, Q y là hợp lực của ứng suất zx, zy do biến dạng uốn gây ra đợc xác định từ điều kiện cân bằng

Các thành phần nội lực của tấm đợc biểu diễn trên hình 1.6

Hình 1-6 Các thành phần nội lực của tấm

3 Phơng trình cân bằng

Xét cân bằng của một phân tố tấm dới tác dụng của các thành phần nội lực và ngoại lực phân bố q(x,y), hình 1-6

Chiếu các lực lên trục OZ và giản ớc cho dxdy:

0 q

y

Q x

Q

y x y

x  











) ,

Lấy tổng mô men đối với trục x, y và bỏ qua các đại lợng VCB bậc cao, giản ớc cho dxdy:

0 Q y

M x

M

x xy

x  











0 Q x

M y

M

y xy y















Từ (1.2122) và kết hợp với mô men uốn và mô en xoắn biểu diễn qua hàm mặt võng wx y,  theo (1.1214), lực cắt Q x, Q y đợc xác định bằng công thức:

 

2 ,

x



 

2 ,

y



với 2 là toán tử Laplat

2 2

2 2

y

x 











Thay (1.23), (1.24) vào (1.20) và chú ý đến (1.1214), phơng trình cân bằng của tấm có dạng:

 

,

p

q

  

Phơng trình này gọi là phơng trình Sophi-Giecman

1.2 tính tấm chịu uốn theo lý thuyết Reissner-mindlin

1.2.1 Góc xoay có kể đến biến dạng trợt

Khi tính tấm chịu uốn theo lý thuyết Kirchhoff đã bỏ qua biến dạng cắt (

0

zy

 ) và các thành phần biến dạng, ứng suất, nội lực đợc xác định qua chuyển vị w(x,y)

Khi tính tấm dầy hoặc tấm Sandwich cần phải kể đến biến dạng cắt này Giả thiết của Mindlin khác với giả thiết Kirchhoff là: phần tử thẳng m-n vuông góc với mặt phẳng trung bình trớc biến dạng thì sau biến dạng không nhất thiết phải vuông góc với mặt phẳng trung bình và góc xoay x, y tính theo lý thuyết Kirchhoff đợc bổ sung một lợng bằng góc xoay của các pháp tuyến quanh các trục x và y là x(tại tiết diện x  const), y(tại tiết diện y  const) do lực cắt

gây ra, hình 1.7

w x

   

w y

  

Hình 1-6 Góc xoay pháp tuyến 1- Đờng thẳng đứng; 2 Vị trí pháp tuyến của đờng thẳng đứng

3 Vị trí nghiêng của đờng thẳng đứng

4 Tiếp tuyến với mặt trung bình; 5 Mặt trung bình

Từ (1.271.28), góc xoay của câc pháp tuyến:

x y

w x

  

w y

  

1.2.2 Biểu thức nội lực

ứng suất tiếp zxvà zy gây ra do biến dạng cắt x,yđối với tấm đẳng hớng xác

định bằng công thức:

1 0

0 1

2 1

E



  

(1.31)

Lực cắt Q x,Q y đợc xác định bằng công thức:







2 h 2 h xz

Q

/

/





2 h 2 h yz

Q

/

/

Dới dạng ma trận:

1 0

0 1

2 1

Q











  

(1.33)

hay

trong đó:

y

Q

 













1 0

0 1 1

2 



Eh

Với  là hệ số hiệu chỉnh biểu thị sự chống vênh của mặt cắt ngang Th-ờng  lấy bằng 5/6 nhng cũng có thể lấy từ giá trị 2/3 đối với mặt cắt không có khả năng chống vênh đến giá trị 1 đối với mặt cắt hoàn toàn có khả năng chống vênh

Nội lực mô men uốn M x, M y, mô men xoắn M xy đợc xác định theo lý thuyết Kirchhoff và lực cắt Q x, Q y do biến dạng trợt xác định theo (1.34) dới dạng tổ hợp:

   

3 2

12 1

Eh

Eh Q

Q



















                     

(1.38)

hay

 

 

 

 

0 0

s

C

(1.39)

trong đó  x, yxác định theo (1.2930) và k x,k y,k xy xác định theo công thức:

x

k x y





  ;

y







  ;

x y

k xy y x











  

(1.40)

Có thể biểu diễn (1.381.39) tơng tự nh quan hệ ứng suất-biến dạng:

Trong đó:

y x xy y x

   s 5 x 5

f

0 C











Biểu diễn   p qua w, x, y

 

T x

y x y x y

w x

w x

y y











































1.3 điều kiện biên

1.3.1 Biên ngàm cứng

Điều kiện biên là chuyển vị và góc xoay bằng không

- tại x=0 và x=a

0

x

w







(1.46.1)

- tại y=0 và y=b

0

y

w







(1.46.2)

1.3.2 Biên tựa khớp

Điều kiện biên là chuyển vị và mô men uốn bằng không

- tại x=0 và x=a

x

w y

w x

w D

M

2

2 2

2 2

2 p



































- tại y=0 và y=b

0

































y

w x

w y

w D

1.3.3 Biên tự do

Điều kiện biên tự do, ví dụ tại y=b, hình 1.7, mô men uốn M y, mô men xoắn

xy

M , lực cắt Q ybằng không:

b y y b y xy b

y

Song phơng trình vi phân mặt uốn của tấm (1.26) là phơng trình vi phân cấp 4 nên chỉ cần 02 điều kiện biên trên mỗi cạnh là đủ xác định nghiệm Kirchhoff đã gộp hai điều kiện biên M xy và Q ythành một điều kiện

Trên biên tự do y=b lấy 03 điểm a, b, c với khoảng cách bằng dx

Hình 1.7 Điều kiện biên tự do

x

M





và D2 là điểm giữa của các đoạn ab và ac) Các mô men này có thể biểu diễn d ới dạng các lực tập trung ngợc chiều nhau Giá trị của các lực tập trung tại đầu các

x

M M







x

M T T











khi chia cho dx đợc lực phân bố

x

M







xy

- tại biên x  0 và x  a:

0

2 2 2

2









M x  ; 2  2 0

3 3

3











- tại biên y  0 và y  b:

0

2 2 2

2















x

w y

w

M y  ; 2  2 0

3 3

3



















x y

w y

w

1.3.4 Biên tựa đàn hồi

Ví dụ dầm đóng vai trò là biên tựa đàn hồi Xét điều kiện biên tại x=a, hình 1.8,

điều kiện biên tơng thích giữa dầm và tấm có dạng:

1 Điều kiện biên thứ nhất

Độ võng của dầm bằng độ võng của tấm Độ võng của dầm gây ra do tải trọng phân bố là lực cắt tơng đơng Q xcủa tấm

Hình 1.8 Biên tựa đàn hồi

Do vậy:

a x p

a x

y x

w x

w D y

w EJ

































2

2 3

3 4

4

2  (1.49.1)

2 Điều kiện biên thứ hai

Mô men xoắn của dầm bằng mô men uốn M xcủa tấm

a x

p a x p

y

w x

w D

y x

w y

GJ



















































2 2

2 2

Nếu dầm không chịu xoắn:

0 2

2 2

2



























a x p

x

y

w x

w D

1.4 Thế năng toàn phần của tấm chịu uốn

Thế năng toàn phần  của tấm chịu uốn bằng tổng thế năng biến dạng của nội lực và ngoại lực khi hệ chuyển từ trạng thái ban đầu không biến dạng sang trạng thái biến dạng

Thế năng biến dạng của nội lực đợc đo bằng công của nội lực U Công nội lực luôn luôn dơng, bằng nửa tích của nội lực (ứng suất) trên chuyển vị (biến dạng) tơng ứng

Thế năng của ngoại lực đợc đo bằng công của ngoại lực Công của ngoại lực luôn âm (có xu hớng ngăn cản biến dạng đa hệ về trạng thái cân bằng) bằng tích của ngoại lực với chuyển vị của các điểm đặt lực tơng ứng

Ngàm

Dầm



U q.w.dxdy



(1.50)

Khi kể đến biến dạng trợt:

s

b U U

trong đó:

b

U - năng lợng do biến dạng uốn

s

U - năng lợng do biến dạng cắt

Năng lợng U sdo biến dạng cắt đợc xác định bằng công thức:

1 2

S

U  G S     dxdy

thay x và y theo (1.291.30), đối với tấm đẳng hớng, [12]:

3

3 2

2

24 1

S





(1.53) Thay G theo (1.11) vào (1.52):

3

2 2

6 1

24 1

S



Năng lợng biến dạng chịu uốn của tấm đẳng hớng đợc xác định bằng công thức [12]:

2 3

2

1 2

2

24 1

b

S

Eh





             

(1.55) Nếu biểu diễn năng lợng biến dạng qua nội lực:

1 2

c S

thay (1.16), (1.38) vào (1.56.a):

1

2

S