ĐỊNH THỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT ĐỊNH THỨC 2.1.. Thì Cij được gọi là các phần bù đại số của aij Định nghĩa 2: Định thức của một ma trận vuông A cấp n được tính theo một trong hai công thức sa
Trang 1Bài giảng số 02 ĐỊNH THỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT ĐỊNH THỨC
2.1 Khái niệm về định thức
Định nghĩa 1
Định thức cấp 1 của ma trận A = (a) là định thức có dạng |a| và |a| = a
Định thức cấp 2 của ma trận A =
22 21
12 11
a a
a a
là định có dạng
22 21
12 11
a a
a a
và 11 22 21 12
22
21
12
11
a a a a a
a
a
a
Định thức cấp 3 của ma trận
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
và
11 12 13
21 22 23 11 22 33 13 21 32 31 12 23 11 23 32 12 21 33 13 22 31
31 32 33
Định thức của ma trận vuông cấp n
Cho ma trận vuông cấp n,
nn n
n
a a
a a
A
1
1 11
Ta gọi Aij là ma trận cấp n-1 có được sau khi bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j của ma trận A
Đặt Cij = (-1)i+j|Aij| Thì Cij được gọi là các phần bù đại số của aij
Định nghĩa 2: Định thức của một ma trận vuông A cấp n được tính theo một trong
hai công thức sau:
Trang 2|A| = ai1Ci1 +ai2Ci2 + + ainCin (i =1, 2,…,n) (Theo hàng thứ i của ma trận ) hoặc |A| = a1jC1j +a2jC2j +…+anjCnj (j =1, 2,…,n) ( Theo cột thứ j của ma trận )
Kí hiệu định thức của ma trận A là det(A) hoặc |A|
Ví dụ 1: Xét ma trận :
A =
5 1 2
2 4 1
5 3 2
Chúng ta tính det(A) bằng cách khai triển theo dòng 1, ta có:
5 1
2 4 )
1
5 2
2 1 ) 1 ( 12 và C13 = 7
1 2
4 1 ) 1 ( 13 Vậy định thức của ma trận A là:
det(A) = a11C11 +a12C12 + a13C13 = 36 -3 -35 = -2
Ví dụ 2: Xét ma trận
A =
5 0 1 2
5 8 4 5
2 0 4 1
5 0 3 2
Khi đó khai triển theo cột thứ 3, ta có
det(A) = a13C13 +a23C23 + a33C33 + a43C43 = 8C33 = 8(-1)3+3 16
5 1 2
2 4 1
5 3 2
hoặc cột có nhiều phần tử 0 nhất
2.2 Các tính chất của định thức
Trang 3Tính chất 1: Định thức của ma trận A cấp n bằng không nếu thoả mãn một trong
ba điều kiện sau:
i) Có một dòng hoặc một cột bằng không
ii) Có hai dòng hoặc hai cột tỷ lệ với nhau
iii) Có một dòng (hoặc một cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng (hoặc các cột) còn lại
phần tử trên đường chéo chính
Ví dụ 3: Nếu A =
6 0 0
5 4 0
3 2 1
thì det(A) = 1.4.6 = 24
định thức của A đổi dấu
Ví dụ 4:
b a
d c d c
b a
dòng (hoặc một cột) khác thì định thức của ma trận A là không đổi
Ví dụ 5: Cho ma trận A =
5 1 2
2 4 1
5 3 2
Nhân dòng 2 với -2 rồi cộng vào dòng 3 ta được ma trận B =
7 1 0
2 4 1
5 3 2
thì ta có
det(B) =det(A)
Trang 4Tính chất 5: Nếu nhân thêm vào một dòng hoặc một cột của ma trận A với một
hằng số c khác không thì ta được ma trận B sao cho det(B) = c det(A)
Ví dụ 6: Cho ma trận A =
2 1
1 1 2
0 1 1
3 2
m m m m
dễ thấy cột thứ 2 của A có m -1 là thừa số chung nên ta có
det(A) =
2 1
1 1
2
0 1
1 ) 1 (
2
m m m
m m
Áp dụng tính chất 4, ta nhân cột 1 với -1 rồi cộng vào cột hai thì
Det(A) =
2 1
1 1 2
0 0 1 ) 1 (
2
m m
m m
Áp dụng định nghĩa bằng cách khai triển theo dòng thứ nhất ta có
det(A) = (m -1).1 ( 1 )[ 2 ( 1 ) 1 ] ( 1 )( 2 1 )
2 1
1
m m m m
m m
m m
tổng của hai dòng thì định thức của A là tổng của hai định thức của 2 ma trận A1
và A2 cấp n có các dòng 1, 2, …,i-1, i +1, …, n giống của A, còn dòng thứ i là của mỗi ma trận A1 và A2 là dòng tách ra thì dòng thứ i của A
ma trận A là bằng nhau
Trang 5Ví dụ 8: ad bc
d b
c a d c
b a
det(A).det(B)
1 2 ,
0 1
2 1
2 1
3 0
dễ thấy det(A) = 2, det(B) = 3 và det(AB) = 6 Vậy det(AB) = det(A)det(B)
Dễ thấy vì AA-1 = In nên theo tính chất 7 det (A)det(A-1) =det(AA-1) = det(In) = 1 Vậy det(A-1) =
A
det 1
det(A) 0
2.3 Các phương pháp tính định thức
Phương pháp dựa vào các tính chất của định thức
Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận sau:
A =
0 2 5 1 2 0
1 6 2 2 6 1
5 3 1 9 7 4
2 5 0 1 5 2
0 4 5 6 4 0
1 2 3 4 2 1
Giải:
Áp dụng tính chất 4 ta biến đổi định thức của ma trận A như sau:
Nhân dòng 1 với -1 rồi cộng vào dòng 6 ta có:
Trang 6det(A) = det
0 2 5 1 2 0
0 6 2 2 6 1
1 3 1 9 7 4
0 5 0 1 5 2
0 4 5 6 4 0
0 2 3 4 2 1
Nhân dòng 5 với -1 rồi cộng vào dòng 2 ta có:
det(A) = det
0 2 5 1 0 0
0 6 2 2 0 1
1 3 1 9 4 4
0 5 0 1 0 2
0 4 5 6 0 0
0 2 3 4 0 1
Theo tính chất 1 phần (ii), định thức trên có dòng 2 và 6 tỷ lệ nên det (A) = 0
Ví dụ 2: Tính định thức của ma trận sau
A =
3 3 2
3 1
3
3 2 2 2 1
2
3 1 2
1 1 1
1 1
1
b a b
a b
a
b a b a b
a
b a b
a b a
Giải
Ta có det(A) =
3 3 2
3 1 3
3 2 2 2 1
2
3 1 2
1 1 1
3 3 2
3
3 2 2 2
3 1 2
1
1
1 1
0
1 0 1
b a b
a b a
b a b a b
a
b a b
a b a
b a b
a
b a b a
b a b
a
= 1
3 3 2
3
3 2 2 2 1
1
b a b
a
b a b a
+
3 3 2
3 3
3 2 2 2 2
3 1 2
1 1 1
1
1
b a b
a a
b a b a a
b a b
a a b
Trang 7= ( 1 a2b2)( 1 a3b3) a2a3b2b3
3 3 3
3 2 2
3 1 1
1
1 0 1 0
b a a
b a a
b a a
b
+
3 3 2
3 3
3 2 2 2 2
3 1 2 1 1 1
1 a b b
a a
b a b a a
b a b a a b
= 1 + a2b2 +a3b3 + 1 2
3 3 3
3 1 1 1
1 a b b b a
b a a
3 3 3
3
3 2 2 2
3 1 1 1
1 a b a
a
b a a a
b a a a
= 1 + a1b1 + a2b2
+a3b3
Phương pháp đưa về định thức tam giác
Ví dụ 3: Tính định thức cấp n sau
det(A)=
a b
b
b a
b
b b
a
Giải
Cộng các cột thứ 2, 3, …, n vào cột thứ nhất ta có:
) 1 (
) 1 (
) 1 (
b n a a b
b n a
b a
b n a
b b
b n a
a b
b a
b b
1
1 1
Nhân dòng 1 với -1 rồi cộng vào các dòng 2, 3, …, n ta có
det(A) = [a+(n-1)b]
b a
b b
a
b b
0 0 0 1
Trang 8định thức cuối là định thức của một ma trận tam giác trên nên theo tính chất 2, ta
có: det(A) = [a +(n-1)b].1.(a –b)…(a –b) = [a +(n-1)b](a –b) n
Phương pháp qui nạp
Ví dụ 4: Cho a,b ,R ab Tính định thức cấp n:
Dn =
b a
ab b a
b a
ab b a
ab b a
0 0
1
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0 0 1
Giải
Khai triển định thức cấp n trên theo dòng đầu tiên ta có:
ab D
b
a
D n ( ) n1
b a
ab b a
b a
ab b a ab
0 0
1
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0 0 0 1
Tiếp tục khai triển định thức sau theo cột thứ nhất ta có:
2 1
)
n a b D abD D
)
D n aD n b D n aD n
Lặp lại qua trình trên ta có:
) (
) (
)
aD
D n n n n n n n
Ta có D2 = a 2 + b 2 +ab, D1 = a+b
Vậy Dn –a Dn-1 = b n
Trang 9Theo qui luật trên ta có
Dn –a Dn-1 = b n (1) Dn-1 –a Dn-2 = b n-1 (2)
………
D2 –aD1 = b 2 (n-1)
Nhân đẳng thức (2) với a, (3) với a2 …, (n-1) với an-2 rồi cộng tất cả các đẳng thức theo vế ta có:
Dn –a n-1 D1 = b n +ab n-1 + …+a n-1 b
Dn –a n –a n-1 b = b n +ab n-1 + …+a n-2 b 2
Dn = a n +a n-1 b + a n-2 b 2 + …+b n =
b a
b
a n n
1 1
2.4 Ứng dụng của định thức
a) Ứng dụng để giải hệ phương trình tuyến tính ( Chương 4)
b) Ứng dụng để tìm ma trận nghịch đảo
Cho ma trận vuông A cấp n: A =
1 2
n
n
( với det( )A 0)
Đặt C ij ( 1)i j |A ij | ( ,i j 1, 2, , )n , khi đó lập ma trận sau:
1 2
n
n
C
thì C được gọi là ma trận phụ hợp
Trang 10Ta có ma trận nghịch đảo của A có dạng:
det( )
t
A
Ví dụ 5: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
0 3 2
3 0 3
2 1 1
A
Giải
Ta có det(A) = 3
C11 = (-1)1+1 0 3
3 0= -9, C12 = (-1)1+2 3 3
2 0
= -6, C13 = (-1)1+3 3 0
2 3
=9,
C21 = (-1)1+21 2
3 0 = 6, C22 = (-1)2+2 1 2
2 0
= 4, C23 = (-1)2+3 1 1
2 3
= -5,
C31 = (-1)3+1 1 2
0 3 = 3, C32 = (-1)3+21 2
3 3 = 3, C33 = (-1)3+31 1
3 0 =-3,
Vậy ma trận nghịch đảo của A có dạng:
11 21 31 1
12 22 23
13 23 33
1
2 4 / 3 1 det( )
3 5 / 3 1
A
c) Tìm hạng của ma trận
ma trận A là định thức của ma trận mà lập thành từ ma trận A bằng cách bỏ đi m-k dòng và n-k cột của ma trận A
đó khác không
Trang 11Kí hiệu: r(A)
Ví dụ 6: Tìm hạng của ma trận sau:
A
Giải:
Dễ thấy 2 1 20 0
2 9
Nên rank(A) = 2
Ví dụ 7: Biện luận theo k hạng của ma trận sau:
Giải
Dùng các phép biến đổi sơ cấp ma trận đưa ma trận trên về dạng
0 0 0 3k 9
Nếu 3k 9 0 k 3 thì hạng của ma trận bằng 3
Nếu k 3 thì hạng của ma trận bằng 4
Trang 12BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính định thức của các ma trận sau:
A =
2 1 2
0 4 8
2 3 1
B =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
, C =
3 2
3 2
3 2
c c c
b b b
a a a
D =
4 9 2 7
3 6 3 2
0 1 0 1
2 5 4 3
E =
5 4 7 8 5
4 3 2 6 4
9 1 6 3 2
5 1 7 3 2
3 1 7 3 2
F =
7 6
1 2
1 0 2 3 4
1 1 2 3 4
2 1 5 1 2
3 1 5 1 2
Bài 2: Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp và det A = 2 det B = 3, Hãy tìm
định thức của ma trận A2B-1
Bài 3: Tính định thức sau bằng phương pháp qui nạp
5 2 0
0 0 0
0 0 3
5 2 0
0 0 0
3 5 2
0 0 0
0 3 5
Bài 4: Tính giá trị của các định thức sau:
a)
b)
1
1
1
1
Bài 5: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp định thức
Trang 13
1
0
0
1
1
1
1
1
1
b)
1 6 2
3 5 1
2 2 1
c)
3 4 0
7 1 1
2 5 1
d)
3 3 2
2 4 3
4 3 2
e)
b a c
c a b
c b a
1
1
1
f)
3 5 3 1
2 7 4 2
1 3 2 1
5 8 5 2
g)
1 0 1 1
0 1 2 0
3 2 5 2
5 1 2 3
Bài 6: Tính giá trị của các định thức sau:
x x c
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
1
1 0 0
x x x a
D
b c
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a)
2
2 3
1
1
x x
1 1
0 1
1
x x x
x x x