De thi chon hoc sinh gioi

Sở Giáo Dục và Đào Tạo Thanh Hoá Đề Thi học sinh giỏi cấp trờng

TRờng THPT Nga Sơn khối 10 - năm học 2009 - 2010

- Môn thi : Toán

Đề chính thức (gồm 01 trang) Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề )

Bài 1 (4 điểm)Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1) y= 8x3 − 7x2 + 5x− 6

2) = − − + +

2

2

x

Bài 2 (4 điểm)

Cho ( ) = 2 − + −

f x x mx m (mlà tham số) 1) Tìm m để f x( ) > ∀ ∈ 0 x R.

2) Tìm mđể phơng trình f x( ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả

mãn -1 < x1 < x2

Bài 3 : (5 điểm)

Cho hệ phơng trình :  + =





1

1 3

a) Giải phơng trình khi m = 0

b) Tìm m để hệ có nghiệm

Bài 4: (5 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ đỉnh C của tam giác ABC hình chiếu của C lên đờng thẳng AB là H(- 1; -1) , đờng phân giác trong của góc A có phơng

trình : x – y +2 = 0 và đờng cao kẻ từ B có phơng trình : 4x + 3y – 1 = 0

Bài 5: (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức : = + +

+ +

7

x y P

x y

-Hết -Họ và tên thí sinh………; Số báo danh…………

(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

Đáp án Đề Thi học sinh giỏi cấp trờng

khối 10 - năm học 2009- 2010 Môn thi : Toán Đề chính thức

1) Hàm số xác định

0.5 0.5

Bài 1

2

1 0 1

x x

⇔ − ≥

⇔ ≥

Vậy TXĐ của hàm số : D= +∞[1; )

0.5

0.5

2) Hàm số xác định:

 ≥



 ≤ − 





 >







2

2

5 2

5 2

2 1

3 2

x x

x

x

Vậy TXĐ của hàm số là: D= −∞ − ∪( ; 2] 52;+∞)

1

1

Bài 2

1)

( ) > ∀ ∈ ⇔  ′∆< < ∀ ∈

⇔ 2 − + < ⇔ < <

1 0

0 x R

0 1

4

m R

f x

1

1

2) Đặt : t = x +1

Phơng trình trở thành : g t( ) = −t2 2(1 2 ) + m t+ 9m= 0(2)

Để (1) có 2 nghiệm thoả mãn : -1 < x1 < x2 Thì pt (2) phải có 2 nghiệm

dơng : 0 < t1 < t2

 <





>



< <



⇔ > ⇔ + > ⇔ > − ⇔ 







2

1 4 1

0 1

2

1

m m

m

m

∈ ữ∪ +∞

1

4

m

0.5 0.5

0.5

0.5

Bài 3

Điều kiện:

≥

x y x y, ≥ 0 Đặt :  =

≥



=

u v

v y Hệ trở thành:

Do đó u, v là nghiệm của phơng trình: t2 – t + m = 0 (1)

a) Với m = 0 (1) suy ra t = 0, t = 1

Vậy nghiệm của hệ là :

0.5

1

0.5

1

  =   =

 =  =

Vậy hệ có 2 nghiệm (1 ; 0); (0 ; 1)

Điều kiện để hệ có nghiệm khi (1) thoả mãn :











1

4

0 2

m

S

Vậy với 0 ≤ ≤ 1

4

m thì hệ có nghiệm

0.5

1

0.5

Bài 4 GọiH a b′( ); là điểm đối xứng của H qua phân giác AD thì HH′ ⊥AD

và trung điểm của HH′ là  − − ữ

;



3

2 0

nên H′ −( 3;1)

Đờng thẳng AC qua H′, vuông góc với đờng cao BK nên có phơng trình: 3(

x + 1) – 4 (y - 1) = 0 hay 3x – 4y + 13 = 0

Đỉnh A AD= ∩AC là A(5 ; 7)

Đờng thẳng CH đi qua H, vuông góc HA nên có phơng trình:

6( x + 1) + 8 (y +1) = 0 hay 3x + 4y + 7 = 0

Toạ độ C là nghiệm hệ phơng trình:  + + =  = −

⇔



10

4

x

x y

Vậy − ữ

10 3

;

3 4

C

0.5 0.5

1 0.5 0.5 0.5 0.5

0.5

0.5

Bài 5

Xét điều kiện có nghiệm của phơng trình:

=

+ +

7

x y P

x y

Trong đó x là ẩn số, coi y là tham số tuỳ ý, còn P là tham số có điều kiện

Xét hai trờng hợp:

+ P= ⇒ + 0 x 2y+ = 1 0

+ P≠ 0, thì pt (1) luôn có nghiệm x khi biệt thức không âm:

2

Coi (2) là bất phơng trình ẩn y , BPT này xảy ra với mọi giá trị y khi:

0.25

0.25

0.5

0.5

2 2 2

2

−

Khi P nhận các giá trị này thì đẳng thức xảy ra ở (1) và (2), khi đó:

1, 1

2

Vậy : GTLN : 1

2

P= khi y = 2 và x = 1 GTNN: 5

14

P=− khi 14 7

,

y=− x= −

0.25

0.25