Tích phân
●✐➳♦ ➳♥✿ ❚♦➳♥ ❝❛♦ ❝✃♣ ✷❱➢➡♥❣ ❚❤Þ ❚❤➯♦ ❇×♥❤➜❍ ◆❣♦➵✐ ❚❤➢➡♥❣❆♣r✐❧ ✶✸✱ ✷✵✵✻✶ ị ĩ u = f(x, y) r ux, uyọ r r ữ ủ ế x, y úó tể ó r ọ r ủ u = f(x, y).ỳ t tứ tự ố ớ ế x y t ó ố r uxx=2ux2= (ux)x=xux uxx r t ế x ủ uuxy=2uxy= (ux)y=yuxở uxy t r ủ u t x tứ t y tự t óuxx=2ux2= (ux)x=xuxuyx=2uyx= (uy)x=xuyế tụ t ó tể tí ợ r ủ u =f(x, y)ú ý ố ớ n ế n 3 t ũ ị ĩ r ếí ụ số z = x2y3+ x4 ózx= 2xy3+ 4x3zy= 3x2y2zy2= 2y3+ 12x2zyx= 6xy2zxy= 6xy zy2= 6x2yr í ụ tr t t r zxy= zyx ệ ề ó ó ú từ ị ý q trọ s ị ý r ế tr ột ó ủ ể M0(x0, y0) số u = f(x, y) ó r fxy, fyx ế r tụ t M0tì fxy(M0) = fyx(M0)ị ý ũ ợ ở rộ r số n ế số ớ n 3 ứ ốớ n ế ế ỗ ợ n ữ tụ t ột ể ó tì t ể ỗ ợ ó ét số u = f(x, y) t ủ ódu = fx.dx + fy.dyế tồ t ũ ột số ủ x, y t ủ du ế tồt ợ ọ t ủ u ợ í ệ d2u d2u = d(dz) = d(fxdx + fydy) ứ tế tụ ờ t ị ĩ d3u = d(d2u) dnu = d(dn1u) sử x, y ữ ế ộ dx = x dy = y ó ữ số ụ tộ x, y sử d2u tồ t t ód2u = d(du) = (fxdx+fydy)xdx+(fxdx+fydy)ydy = fx2dx2+(fxy+fyx)dxdy+fy2dy2. tết r fxy fyx tụ fxy= fyx ì d2u = fx2dx2+ 2fxydxdy + fy2dy2ờ t tờ ù í ệ tợ trd2u =xdx +ydy2fế tụ tí t t ợ tứ ỹ từ tợ trdnu =xdx +ydynfí ụ í t u = exsin y u = (x + y)ex+yử ụ tứd2u = uxxdx2+ 2uxydxdy + uyydy2 ózx= exsin y zxx= exsin x zxy= (zx)y= (exsin y)y= excos yzy= excos y zyy= exsin yd2z = ex(sin ydx2+ 2 cos ydxdy sin ydy2) rớ ết t tí r ú ý trò ủ x ytr số ì ux= ex+y+ (x + y)ex+y= ex+y(x + y + 1)uy= ex+y(x + y + 1)í r uxy= (ux)y= [ex+y(x + y + 1)]y= ex+y(x + y + 1) + ex+y= ex+y(x + y + 2)uxx= (ux)x= [ex+y(x + y + 1)]x= ex+y(x + y + 2)uyy= (uy)y= [ex+y(x + y + 1)]y= ex+y(x + y + 2)Đ ự trị ự trị ó ề ệ r ộ ự trị tự ị ĩ số u = f(x1, x2, ., xn) = f(M) ị tụ tr ềD = {M(x1, x2, ., xn) |ai< xi< bi, i = 1, 2, , n} Rn ó r tụ t tt ế ộ t M0 D ó số u = f(x1, x2, ., xn) t trị ự ự tể t M0ếtồ t ủ M0í ệ V(M0) s f(M) f(M0) f(M) f(M0),M V(M0) t ở ó ự trị t tít ị ề ệ ể f t ự trị t M0fxj= 0; j = 1, 2, , n (1) ể M0t ợ ọ ể ừ ể ờ số f ỉ ó tể t ự trị t ể ừ ế tì ợ t tt ể ừ số ó t trị ứ trị ét ềệ ủ ề ệ ủ ể f t ự trị t ể ừ M0 sử số u = f(x1, x2, ., xn) ó ể ừ t M0 D Rn ó r uxixj tụ tr n ọ trssH = [aj]n.nớ aij=2f(M0)xixjọ Hk(k = 1, 2, , n) ị tứ ồ k ò k ột ủ tr ssú ý r ỗ ợ tụ tr ss tr ốứị ý ế Hk> 0 (k = 1, 2, ., n) tì số t trị ự tể t ểừ M0 ế (1)kHk> 0 (k = 1, 2, ., n) tì số t trị ự tể ừ M0 ú ý rờ ợ tr ị ý tr ố ủ trờ ợ trờ ợ ó trờ ợ r ờ t ứ ộttrờ ợ ò trờ ợ tì ết n = 2 ề ệ ủ í ệA = fx2(M0)B = fxy(M0)C = fy2(M0)H =fx2(M0) fxy(M0)fxy(M0) fy2(M0)= AC B2ế AC B2> 0 số ó sự trịA > 0 số t ự tểA < 0 số t ự ế AC B2< 0 số tồ t ự trịí ụ ì ự trị ủ sốf(x, y, z) = x +y24x+z2y+2z f ị ớ (x, y, z) ó x = 0, y = 0, z = 0 ế ó f ị ớ(x, y, z) = (0, 0, 0) ủ ị ể ừ ủ ffx= 1 y24x2= 0fy=y2xz2y2= 0fz=2zy2z2= 0= x0=12, y0= 1, z0= 1 = M0= (12, 1, 1) tr ssa11= 4 a22= 3 a33= 6a12= a21= 2 a13= a31= 0 a23= a32= 2H =4 2 02 3 20 2 6 óH1= 4 > 0H2=4 22 3= 16 > 0H3=4 2 02 3 20 2 0= 32 > 0 số t ự tể t (12, 1, 1) zmin0 = z(12, 1, 1) = 4 ự trị ó ề ệ r ộở tr t ét ự trị ủ số z = f(x1, x2, ., xn) ớ ếx1, x2, ., xnộ ớ r tự tế ề t ọ tố tr ố ế ọ ố ở ữ ề ệr ộ t ịí ụ P t tí t ợ ỗ t s ớ t ớ ề ệ ợ t q r tề tệ ợt q số ó í ụ ộ trợ ợ s ồ ụ t tế t t t ề tí ị ớ ở ềệ tú tề ự trị ó ề ệ ớ n ế ọ ột trì r ộ ệ ớ ự trị tự t ì ự trịW = f(x1, x2, ., xn) (1)ớ ề ệg(x1, x2, ., xn) = b (2).út xstừ t xs ột ế ó tr n ế x1, x2, ., xn t ợ ề t ự trị ó ề ệí ụ ì ự trị ủ w = xy + 2x ề ệ 2x + y = 30 ừ t ó y = 30 2x t ợ w = 32x 2x2 t ự x = 8 s r Y = 14 số ớ ề ệ t trị ự t x = 8 y = 14 ét tr trờ ợ rút r ợ ớ ệ tì t ợ t t ọ r ề r ột ự trị ó ề ệ ề ự trị tự t qết trờ ợ tr sẽ ớ tệ tr ụ s P tử r t ì ự trịW = f(x1, x2, ., xn) (1)ớ ề ệg(x1, x2, ., xn) = b (2). t ợ qết t r ồ ớsớ số rL = L(, x1, x2, ., xn) = f(x1, x2, ., xn) + [b g(x1, x2, ., xn)]ớ ề ệ ứ ợ ị ý ế số ớ ề ệ t ự trịt(x01, x02, ., x0n) tì tồ t trị = 0s ( = 0, x01, x02, ., x0n) ể ừ ủ số r tứ t ệ trìL b g(x1, x2, ., xn) Lxifxi gxi= 0i ị ý tr ú t t ẹ ệ tì ự trị ủ số ớ ềệ t ữ ể (x01, x02, ., x0n) ở ó số r ó ể ừ( = 0, x01, x02, ., x0n) ò ét ữ ể ó tự sự ể ựtrị ề ệ ủớ ề ệ ủí ệgk=xk, (k = 1, 2, ., n)Lij=2Lxixj(i, j = 1, 2, ., n)ợ tí t ể ừ ( = 0, x01, x02, ., x0n) trH =0 g1g2. . . gng1L11L12. . . L1ng2L21L22. . . L2ngnLn1Ln2. . . Lnní ệ Hk ị tứ t ở k + 1 ò k + 1 ột ủ trHị ý ế (1)kHk> 0 ớ k = 1, 2, ., n tì số ề ệ tự t (x01, x02, ., x0n) ế Hk< 0 ớ k = 1, 2, ., n tì số ề ệ t ựtể t (x01, x02, ., x0n)í ụ ì ự trị ủ sốW = x + y + z (3)ớ ề ệxyz = 8 (4) ●✐➯✐✿✲▲❐♣ ❤➭♠ sè ▲❛❣r❛♥❣❡✿L = x + y + z + λ(8 − xyz)✲ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥✿ ➜✐Ó♠ ❞õ♥❣ ❝ñ❛ ❤➭♠ sè ▲❛❣r❛♥❣❡ ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ q✉❛ ❤Ö✿∂L∂λ❂ (8 − xyz) ❂ ✵∂L∂x❂ 1 − λyz ❂ ✵∂L∂y❂ 1 − λxz ❂ ✵∂L∂z❂ 1 − λxy ❂ ✵✭✹✮⇐⇒ λ0=14✱ x0= y0= z0= 2✳◆❤➢ ✈❐② ❤➭♠ sè ✭✸✮ ✈í✐ ❞✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭✹✮ ❝❤Ø ❝ã t❤Ó ➤➵t ❝ù❝ trÞ t➵✐ (x0= 2, y0=2, z0= 2)✳➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ✿❚❛ tÝ♥❤ ➤➢î❝ ♠❛ tr❐♥✿H =0 4 4 44 0 −12−124 −120 −124 −12−120✭✺✮❚❛ ❝ã ✿H2=0 4 44 0 −124 −120= −16 < 0 ✭✻✮H3= |H| = −12 < 0❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ✱ ❤➭♠ sè ✭✸✮ ✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭✹✮ ➤➵t ❣✐➳ trÞ ❝ù❝ t✐Ó✉t➵✐ (x, y, z) = (2, 2, 2) ✈➭ Wmin= 6✳✾