chuong3tichphannhieubien.pdf

Tích phân

Chương 3 Phép tính tích phân hàm số nhiều biến số

Đ1 Tích phân kép

1.1 Bài toán dẫn đến tích phân kép

Cũng như bài toán về diện tích hình thang cong đã dẫn tới khái niệm tích phân xác định một lớp, bài toán về thể tích hình trụ cong sẽ đưa ta tới khái niệm mới tích phân 2 lớp

Cho u = f(x, y) xác định, liên tục, không âm trong miền

D đóng, bị chặn trong Oxy

Bài toán: Tính V giới hạn bởi

- đáy dưới là D ⊂ (Oxy)

- đáy trên u = f(x, y)

- mặt xung quanh có đường sinh song song với Oz tựa trên biên D

Hình vẽ

1.2 ĐN-Tính chất của tích phân kép

a ĐN:

Cho hàm số u = f(x, y) xác định trong miền D đóng

và bị chặn Chia D một cách tuỳ ý thành n mảnh nhỏ

∆1, ∆2, , ∆n Trong mỗi mảnh ∆Si, lấy một điểm tuỳ ý

Mi(xi, yi) Tổng

In =

n

X

i=1

f (xi, yi)S(∆i)

được gọi là tổng tích phân của hàm số f(x, y) trong miền

D

Gọi di =đường kính của ∆i= sup d(M, M0), ∀M, M0 ∈

∆i

Nếu khi n → ∞ sao cho max{di} → 0 mà In dần tới một giới hạn hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia

miền D và cách lấy điểm Mi trong mỗi mảnh ∆i, thì giới hạn ấy được gọi là tích phân kép của hàm số f(x, y) trong miền D, ký hiệu

Z Z

D

f (x, y)dS := lim

max{d i }→0In

D: miền lấy tích phân

f: hàm dưới dấu tích phân

RR

D

f (x, y)dS tồn tại, ta nói f(x, y) khả tích trong miền

D

Vì tích phân kép không phụ thuộc cách chia miền D thành các mảnh nhỏ nên ta có thể chia D bởi hai họ đường thẳng song song với các trục toạ độ Do đó dS = dxdy và

có thể viết

Z Z

D

f (x, y)dS =

Z Z

D

f (x, y)dxdy

• Chú ý: Nếu f(x, y) liên tục trong miền đóng, bị chặn

D thì khả tích trong miền đấy

b Tính chất:

Với giả thiết các hàm có mặt trong các tích phân đều khả tích, tích phân kép cũng có một số tính chất giống như tích phân xác định

1 Tuyến tính:

Z Z

D

(kf + lg)dxdy = k

Z Z

D

f dxdy + l

Z Z

D

gdxdy

2 Cộng tính:

Nếu miền D = D1∪D2 và phần trong int(D1)∩int(D2) =

∅ thì Z Z

D

f dxdy =

Z Z

D 1

f dxdy +

Z Z

D 2

f dxdy

3 Sắp thứ tự:

f ≤ g, ∀(x, y) ∈ D

thì Z Z

D

f dxdy ≤

Z Z

D

gdxdy

4 Nếu m ≤ f(x, y) ≤ M, ∀(x, y) ∈ D, m và M là hằng

số, thì

mS(D) ≤

Z Z

D

f dxdy ≤ M S(D)

5 ĐL về giá trị trung bình

Nếu f(x, y) liên tục trong miền đóng, bị chặn D thì

∃M0(x0, y0) ∈ D : f (M0) =

RR

D

f dxdy S(D) . 1.3 Cách tính tích phân kép trong toạ độ vuông góc

Trong tích phân một lớp, ta đã đề cập đến bài toán tính

thể tích vật thể theo tiết diện ngang của nó tiếp tục giải

thích bằng hình học tích phân 2 lớp như là thể tích hình trụ

cong, ta sẽ đưa việc tính tích phân 2 lớp về tích phân lặp

• Miền D là hình chữ nhật

(

a ≤ x ≤ b

c ≤ y ≤ d

I =

b

Z

a





d

Z

c

f (x, y)dy



dx :=

b

Z

a

dx

d

Z

c

f (x, y)dy Hoặc

I =

d

Z

c





b

Z

a

f (x, y)dx



dy :=

d

Z

c

dy

b

Z

a

f (x, y)dx

khi tính tích phân trong ngoặc, theo biến này thì coi biến

kia là hằng số

•Miền D là miền xác định bởi các bất đẳng thức







a ≤ x ≤ b

y1(x) ≤ y ≤ y2(x)

y1(x), y2(x) ∈ C[a, b] (

a ≤ x ≤ b

c ≤ y ≤ d

I =

b

Z

a







y 2 (x)

Z

y1(x)

f (x, y)dy





dx :=

b

Z

a

dx

y 2 (x)

Z

y1(x)

f (x, y)dy

•Miền D là miền xác định bởi các bất đẳng thức





c ≤ y ≤ d

x1(y) ≤ x ≤ x2(y)

x1(y), x2(y) ∈ C[c, d]

I =

d

Z

c







x 2 (y)

Z

x 1 (y)

f (x, y)dx





dy :=

d

Z

c

dx

y 2 (x)

Z

y 1 (x)

f (x, y)dy

• Miền D là miền phẳng bất kỳ

Chia D thành các miền nhỏ rời nhau, có dạng ở trên

Ví dụ: Bài tập 6.1, 6.2, 6.3

1.4 Đổi biến trong tích phân kép

1.4.1 Công thức tổng quát

Ta dùng phép đổi biến sau:

(

x = x(u, v)

y = y(u, v) (1) thoả mãn















∃x(u, v), y(u, v), x0u, x0v, yu0, yv0 ∈ C(D0)

(1) xác định một song ánh từ D lên D0

Định thức Jacobi (Jacobian) J = D(x,y)

D(u,v) =

x0u x0v

y0u yv0

6= 0 trong D0 Khi đó

I =

Z Z

D

f (x, y)dxdy =

Z Z

D 0

f [x(u, v), y(u, v)] |J |dudv

Hình vẽ

Giải thích của Ôstrôgratxki

Với (

x = x(u, v)

y = y(u, v) (1)

A1(u, v) A2(u + du, v) A3(u + du, v + dv) A4(u, v + dv)

B1[x(u, v), y(u, v)], B2[x(u + du, v), y(u + du, v)]

B3[x(u + du, v + dv), y(u + du, v + dv)] B4[x(u, v + dv), y(u, v + dv)] Nếu giới hạn xét các số hạng bậc nhất theo du, dv thì có

thể lấy gần đúng các điểm:

∂udu, y +

∂x

∂udu]

B3[x + ∂x

∂udu +

∂x

∂vdv, y +

∂y

∂udu +

∂y

∂vdv]

B4[x + ∂x

∂vdv, y +

∂x

∂vdv]

Với độ chính xác bé, bậc cao, tứ giác B1B2B3B4 là

một hình bình hành Diện tích của nó gấp đôi diện tích

của tam giác B1B2B3 Từ hình học giả tích, ta đã biết

rằng hai lần diện tích tam giác có các đỉnh tại các điểm

(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) bằng gí trị tuyệt đối của

x2 − x1 x3 − x2

y2 − y1 y3 − y2

áp dụng công thức đó cho trường hợp của ta, ta có: với

độ chính xác đến các độ bé bậc cao hơn thì

S =

∂x

∂udu ∂x∂vdv

∂x

∂udu ∂y∂vdv

=

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂u

∂y

∂v

dudv Vì vậy

I =

Z Z

D

f (x, y)dS =

Z Z

D

f [x(u, v), y(u, v)] |J |dudv

1.4.2 Đổi biến trong tọa độ cực

a Đổi biến: D







x = r cos ϕ

y = r sin ϕ với r ≥ 0; 0 ≤ ϕ < 2π

↔ D0

(

r1(ϕ) ≤ r ≤ r2(ϕ)

ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2

I =

Z Z

D

f (x, y)dxdy =

Z Z

D 0

f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdrdϕ =

ϕ 2

Z

ϕ 1

dϕ

r 2 (ϕ)

Z

r 1 (ϕ)

f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr

Phép đổi biến này thường dùng khi biên của D chứa

x2 + y2

b Đổi biến (Toạ độ cực tịnh tiến)

(

x = a + r cos ϕ

y = b + r sin ϕ , với r ≥ 0; 0 ≤ ϕ < 2π Khi đó J = r và (x − a)2 + (x − b)2 = r2

Phép đổi biến này thường dùng khi gặp biểu thức (x −

a)2 + (x − b)2

Đổi biến (toạ độ cực co giãn)

(

x = ar cos ϕ

y = br sin ϕ , với r ≥ 0; 0 ≤ ϕ < 2π Khi đó J = abr và x2

a 2 + yb22 = r2 Phép đổi biến này thường dùng khi biên của D là miền

elíp

1.6 ứng dụng hình học của tích phân kép

1.6.1 Tính diện tích miền phẳng

Công thức

S =

Z Z

D

dxdy

1.6.2 Tính thể tích của vật thể

a Hình trụ cong

V







Phía trên: z = f (x, y) ∈ C(D)

Phía dưới: z = 0

Xung quanh: đường sinh // Oz tựa trên biên D

Công thức

S =

Z Z

D

f (x, y)dxdy

b Chú ý

• Nếu miền V có tính đối xứng thì có thể tính thể tích

một phần rồi suy ra toàn thể

• Nếu vật thể V là hình tuỳ ý

•Nếu hình trụ cong có các đường sinh song song với trục

0x hoặc 0y thì đổi vai trò của x với z hoặc y với z trong

các công thức trên

BT 6.7.2

Do tính đối xứng, chỉ cần tính 1

4 thể tích cần tìm trong phần tám thứ nhất Khi đó mặt phía trên là x2+y2+z2 = 4a2

hay z = p4a2 − x2 − y2

Mặt dưới x2 + y2 = 2ay hay x2 + (y − a)2 = a2

V = 1 4

Z Z

D

p 4a2 − x2 − y2dxdy 1.6.3 Tính diện tích mặt cong

Mặt cong z = f(x, y) có hình chiếu vuông góc trên mặt

phẳng Oxy là miền D và f(x, y), f0

x, fy0 ∈ C(D) thì

S =

Z Z

D

q

1 + (z0

x)2 + (z0

y)2 dxdy

Cách giải thích:

Ta định nghĩa diện tích S của mặt đó như giới hạn

S = lim Sn = lim

n

X

i=1

SSi

với đường kính của các phần tử SSi cũng như đường kính

của các phần tử Di dần tới 0

SSi là các hình phẳng có hình chiếu trực giao là Di thì

Di = SSi| cos αi|

αi góc của pháp tuyến của mặt SSi với trục z Nên

S = lim Sn = lim

n

X

i=1

SSi = lim

n

X

i=1

1

| cos αi|Di =

= lim

n

X

i=1

q

1 + (zx0)2 + (zy0)2Di =

Z Z

D

q

1 + (z0x)2 + (zy0)2 dxdy

BT 6.8.1

a) Phần diện tích mặt cầu nằm bên trong mặt trụ:

Do tính đối xứng, chỉ cần xét phần mặt nằm bên trong phần tám thứ nhất Khi đó

∂x =

−x p

a2 − x2 − y2

∂y =

−y p

a2 − x2 − y2

q

1 + (zx0)2 + (zy0)2 = p a

a2 − x2 − y2

vậy

S = 4

Z Z

D

a p

a2 − x2 − y2dxdy với miền lấy tích phân D là nửa hình tròn x2 + y2 = ay nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt Oxy

Dùng toạ độ cực: x = r cos φ, y = r sin φ

S = 4a

Z π2

0

dφ

Z a sin φ 0

rdr

√

a2 − r2

Đ2 Tích phân bội

2.1 ĐN tích phân bội ba

Cho hàm số u = f(x, y, z) xác định trong miền V đóng

và bị chặn của không gian Oxyz Chia V một cách tuỳ ý thành n miền nhỏ ∆1, ∆2, , ∆n Trong mỗi mảnh ∆Si, lấy một điểm tuỳ ý Mi(xi, yi, zi) Tổng

In =

n

X

i=1

f (xi, yi, zi)V (∆i)

được gọi là tổng tích phân của hàm số f(x, y) trong miền

D

Gọi di =đường kính của ∆i= sup d(M, M0), ∀M, M0 ∈

∆i

Nếu khi n → ∞ sao cho max{di} → 0 mà In dần tới một giới hạn hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách lấy điểm Mi trong mỗi mảnh ∆i, thì giới hạn ấy được gọi là tích phân bội ba của hàm số f(x, y) trong miền V , ký hiệu

Z Z Z

V

f (x, y)dV := lim

max{di}→0In

V: miền lấy tích phân

f: hàm dưới dấu tích phân

RRR

D

f (x, y)dV tồn tại, ta nói f(x, y, z) khả tích trong

miền V

Vì tích phân kép không phụ thuộc cách chia miền V

thành các mảnh nhỏ nên ta có thể chia V bởi ba họ đường

thẳng song song với các trục toạ độ Do đó dV = dxdydz

và có thể viết

Z Z Z

V

f (x, y)dV =

Z Z Z

V

f (x, y)dxdydz

•Chú ý: Nếu f(x, y, z) liên tục trong miền đóng, bị chặn

V thì khả tích trong miền đấy

2.2 Tính chất-Cách tính tích phân bội ba trong toạ độ

vuông góc

Các tính chất của tích phân 3 lớp giống như các tính chất

của tích phân 2 lớp

2.3 Cách tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Đề các

Giả thiết tồn tại tích phân 3 lớp

I =

Z Z Z

V

f (x, y, z)dxdydz Cần tính I với miền V như sau:

1) V







a ≤ x ≤ b

c ≤ y ≤ d

g ≤ z ≤ h

Khi đó:

I =

b

Z

a







d

Z

c





h

Z

g

f (x, y, z)dz



dy







dx =

b

Z

a

dx

d

Z

c

dy

h

Z

g

f (x, y, z)dz Hoặc ta có thể đổi thứ tự lấy tích phân

2) V







a ≤ x ≤ b

y1(x) ≤ y ≤ y2(x)

z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)

Khi đó:

I =

b

Z

a

dx

y2(x)

Z

y 1 (x)

dy

z2(x,y)

Z

z 1 (x,y)

f (x, y, z)dz =

Z Z

D

dxdy

z2(x,y)

Z

z 1 (x,y)

f (x, y, z)dz

Trong đó D a ≤ x ≤ b

y1(x) ≤ y ≤ y2(x) , D là hình chiếu của

V lên mặt phẳng Oxy

Chú ý: I = RRR

V

dxdydz là công thức để tính thể tích khối vật thể V

2.4 Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số

ĐN 1

Cho f(x,t) xác định trên hình chữ nhật D

(

a ≤ x ≤ b

c ≤ t ≤ d Giả sử mỗi t ∈ [c, d], f(x, t) khả tích theo biến x và

I =

b

Z

a

f (x, t)dx = I(t)

là một hàm của t xác định trên [c, d]

Vấn đề đặt ra: với điều kiện nào thì I(t) liên tục, khả vi, hay khả tích trên đoạn [c, d]?

ĐL 1: Nếu hàm số f(x, t) liên tục trên hình chữ nhật

D thì I(t) cũng liên tục trên đó và

lim

t→t 0 ∈[c,d]I(t) =

b

Z

a

lim

t→t 0

f (x, t)dx

ĐL 2: Nếu mỗi t ∈ [c, d], f(x, t) ∈ C[a, b] (theo biến

x), và nếu f0

t ∈ C(D) thì I(t) khả vi trên [c, d] và

I0(t) =

b

Z

a

ft0(x, t)dx

ĐL 3: Nếu f(x, t) ∈ C(D) thì I(t) khả tích trên [c, d] và

d

Z

c

I(t) =

d

Z

c





b

Z

a

f (x, t)dx



dt =

b

Z

a





d

Z

c

f (x, t)dt



dx