Chương IV: PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE (Phần 1) pptx

Cơ hệ không tự do Cơ hệ tự do là cơ hệ mà các chất điểm của nó có thể thực hiện những di chuyển vô cùng bé tuỳ ý sang các vị trí lân cận Cơ hệ không tự do là cơ hệ trong đó các chất điể

Chương IV PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE

§ 1 Các khái niệm cơ bản

§2.Nguyên lý D’Alemert- Lagrange

§3 Nguyên lý di chuyển khả dĩ

§4.Phương trình Lagrange loại II

§ 1 Các khái niệm cơ bản

1 Cơ hệ không tự do Liên kết và phản lực

§ 1 Các khái niệm cơ bản

1 Cơ hệ không tự do Liên kết và phản lực

liên kết.

1.1 Cơ hệ không tự do

1.2 Liên kết và phân loại

1 Cơ hệ không tự do Liên kết và phản lực

liên kết.

1.1 Cơ hệ không tự do

Cơ hệ tự do là cơ hệ mà các chất điểm của nó có thể thực hiện những di chuyển

vô cùng bé tuỳ ý sang các vị trí lân cận

Cơ hệ không tự do là cơ hệ trong đó các chất điểm của nó chịu các ràng buộc bởi một số các điều kiện hình học và động học là

1 Cơ hệ không tự do Liên kết và phản lực

liên kết.

1.1 Cơ hệ không tự do

1.2 Liên kết và phân loại

1.2.1 Liên kết và phương trình liên kết

,,(t r k v k 

f  

m

, , 2 , 1





0)

,,

,,

,,

f k k k k  k k

m

, , 2 , 1





1 Cơ hệ không tự do Liên kết và phản lực

2

1  r  r  r 

r    

0 cos

x  

1 Cơ hệ không tự do Liên kết và phản lực

liên kết.

- Phương trình liên kết Các ví dụ

- Ví dụ 3 Quả cầu lăn không trượt trên mặt phẳng

Điểm A tiếp xúc với mp

vA C  

A

) ,

, ( :   

1 Cơ hệ không tự do Liên kết và phản lực

liên kết.

- Phương trình liên kết Các ví dụ

Ví dụ 3 Quả cầu lăn không trượt trên mặt phẳng

Thay các biểu thức này vào phương trình liên kết, ta được

,0



 R

xC

0 )

sin sin

cos sin



 R

yC zC  0

1 Cơ hệ không tự do Liên kết và phản lực liên

kết

1.2.2 Phân loại các liên kết

- Liên kết giữ và không giữ

- Liên kết dừng và không dừng

- Liên kết hô lô nôm và không hô lô nôm

- Ta sẽ giới hạn ở các liên kết hô lô nôm

0)

,,

,,

,,

f k k k k  k k

0 )

, , ,

, , ,

(x y z x y z t 

f k k k k k k

0 )

, ,

, ,

, ( xk yk zk xk yk zk 

0 )

, , ,

, , ,

(x y z x y z t 

f k k k k k k

0 )

, ,

,

f k k k

0 )

, , ,

, , ,

(x y z x y z t 

f k k k k k k

2 Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do

của cơ hệ

2.1 Định nghĩa di chuyển khả dĩ

2.2 Di chuyển thực và di chuyển khả dĩ 2.3 Số bậc tự do của cơ hệ

2 Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ

hệ

2.1 Định nghĩa di chuyển khả dĩ

Định nghĩa 1 Di chuyển khả dĩ của chất điểm,

ký hiệu là di chuyển vô cùng bé tại thời điểm cho trước mà liên kết cho phép.

2 Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ

các chất điểm của cơ hệ tại

thời điểm khảo sát.

, ) , ,

, ( r1 r2 rN

2 Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ

r

 , , , ) , , , , , , , , ,

( 1 2   1 1 1 2 2 2)

,

,

( x k y k z k

0 )

, ,

, (x  x y  y z  z t 

k k

k k

z z

f y

y

f x

x

f

1

0

k k

k k

z z

f y

y

f x

, ,

, (x  dx y  dy z  dz t  dt 

k k

k k

k k

dt t

f dz

z

f dy

y

f dx

k k

k k

k k

dz z

f dy

y

f dx

x

m

, , 2 , 1





2 Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ

2.3 Số bậc tự do của cơ hệ

Không gian chiều các vectơ

di chuyển khả dĩ mà các thành phần của nó thoả

mãn m hệ thức Do đó các vectơ này tạo thành không gian con 3N – m, hay nói khác đi tập hợp các vectơ di chuyển khả dĩ có 3N – m vectơ độc

lập

Định nghĩa Số bậc tự do của cơ hệ là số di

chuyển khả dĩ độc lập cực đại của tập hợp các di chuyển khả dĩ.

Số bậc tự do của cơ hệ phản ánh khả năng thực hiện các di chuyển của cơ hệ

N

3 rk  x k , y k , z k

3 Toạ độ suy rộng

3.1 Định nghĩa

Các tham số bất kỳ đủ để xác định vị trí cơ

hệ gọi là các toạ độ suy rộng.

3.2 Liên hệ giữa toạ độ suy rộng và toạ độ đề các

Số các toạ độ suy rộng độc lập bằng 3N - m

) , ,

, (q1 q2 q n

).

, , , ,

(

), , , , ,

(

), , , , ,

(

2 1

2 1

2 1

t q q

q z z

t q q

q y y

t q q

q x x

n k

k

n k

k

n k

4.1 Công khả dĩ và công trên di chuyển

thực

4.1.1 Công khả dĩ

Định nghĩa Ta gọi công khả dĩ

của lực ký hiệu là được

tính bằng công thức

x

r F

A   

z Z y

Y x

X r

4.1 Công khả dĩ và công trên di chuyển thực

4.1.2

• Công trên di chuyển thực

gọi là công của lực trên di chuyển thực hay công yếu tố của lực

• Đối với di chuyển thực (của điểm đặt của lực)

diễn ra theo thời gian, nên khi điểm đặt của lực di chuyển trong khoảng thời gian hữu hạn từ

đến , công của lực sinh ra trên di chuyển

(thực) hữu hạn là

r d F A

0 1

0

1 0

M M M

M M

M

M

M d A F d r Xdx Ydy Zdz

F1, 2, , 

) , ,

k k

) (

, 1

k k

i

k k

i

k k

N

k

k k k

k k

q

z Z

q

y Y

q

x X

z Z y

Y x

X

A

1 1 1

k k

i

k k

q

y Y

q

x X

i

k k

i

k k

i

q

z Z

q

y Y

q

x X

Q

1

4.3 Trường lực thế, Thế năng của cơ hệ 4.3.1 Khái niệm

Trường lực là khoảng không gian trong đó mỗi điểm của

nó có tác dụng lực khi có chất điểm đứng tại vị trí đó

Trường lực thế là trường lực trong đó tồn tạo một hàm , gọi là hàm lực, sao cho mỗi lực sinh ra bởi trường được tính theo

công thức

Ví dụ Trường trọng lực:

) , , ( )

(r F x y z F

F     

) , , , (x y z t U

,

x

U X







C Pz

U   

4.3 Trường lực thế, Thế năng của cơ hệ

4.3.2 Thế năng của cơ hệ

• Định nghĩa Hàm số được gọi

là thế năng của cơ hệ.

• Công của lực trong trường lực thế

• Thế năng của cơ hệ bằng công của lực tác dụng

lên cơ hệ sinh ra khi di chuyển cơ hệ từ vị trí

cuối về vị trí đầu

) (

)

0 0

0

0 0

M U M

U dU

dz z

U dy

y

U dx

x

U A

Zdz Ydy

Xdx A

M M M

M

M

M

M M

,(r1 r2 r N

4.3 Trường lực thế, Thế năng của cơ hệ

4.3.3 Biểu thức của lực suy rộng trong trường lực thế

Tồn tại hàm

Thật vậy,

) , , ,

, (q1 q2 q t U

q

U Q

i

k k

i

k k

i

q

z Z

q

y Y

q

x X

i

k k

i

k k

i

q

U q

z z

U q

y y

U q

x x

U Q

5 Liên kết lý tưởng

5.1.Định nghĩa Liên kết lý tưởng là liên kết mà

tổng công của tất cả các phản lực liên kết trên mọi di chuyển khả dĩ bằng không

Ý nghĩa Khái niệm liên kết lý tưởng:

• Mô tả các phương trình chuyển động không cần

đề cập tới các phản lực liên kết, do đó làm giảm một cách rất cơ bản các ẩn của bài toán.

0 )

R



5 Liên kết lý tưởng

5.2 Mô hình liên kết lý tưởng trong thực tế

5.2.1 Liên kết giữa các chất điểm tạo thành vật rắn tuyệt đối là liên kết lý tưởng

5.2.2 Liên kết tựa trơn giữa hai vật rắn là liên kết lý tưởng;

5.2.3 Dây mềm không dãn, có trọng lượng không đáng kể vắt

qua ròng rọc là liên kết lý tưởng nếu bỏ qua sự trượt giữa dây và ròng rọc và ma sát ở ổ trục quay.

5.2.4 Các khớp động nối hai vật chuyển động là liên kết lý

tưởng nếu bỏ qua ma sát giữa các mặt tựa của chúng (trơn tuyệt đối) hoặc bỏ qua sự trượt giữa chúng(nhám tuyệt đối) v.v…

5.2.5 Đối với các liên kết không thoả mãn các điều kiện trên: tách phản lực liên kết thành:

• loại có tổng công khả dĩ bằng không gọi là các PLLK

• loại kia có tổng công khả dĩ khác không ta xem chúng là các

lực hoạt động để tính toán

Cách làm đó được gọi là lý tưởng hoá liên kết.

B A

A

B A

A B

B A

A

B dA F

r r

d F

r d r

d F r

d F r

d F A

d

k k

k k

k k

k k

k k

( 2

k k A

B A d

B dA F

§2 Nguyên lý D’Alembert - Lagrange

1 Nguyên lý D’Alembert – Lagrange

1 Nguyên lý D’Alembert - Lagrange

1.1 Nguyên lý : Điều kiện cần và đủ để chuyển động

của cơ hệ phù hợp với liên kết và tương ứng với

các lực hoạt động đặt lên cơ hệ là xảy ra phương trình

Suy ra Nguyên lý từ Nguyên lý D’Alembert

) (

k m w r

F  

0 )

( )

( )

k k

k k

k k

k k

k

k m x x Y m y y Z m z z

1 Nguyên lý D’Alembert - Lagrange

k

k k

k m w r

F   Fk  Rk  m k wk  0

k k k

R     

, 0

1 Nguyên lý D’Alembert – Lagrange Ví dụ

Ví dụ Cơ hệ khảo sát: bộ điều tiết

,,(P P1 P2 Fdh

(

) sin (

) sin (

1

1

2 2

A A

A A

y F

Q y

P y

P

x l

a g

P x

l

a g

1 Nguyên lý D’Alembert – Lagrange Ví dụ

Các liên hệ động học

, cos

2l 

y N  y N   2l sin  ,

0 ) sin

2 ))(

cos 1

( 2 (

) sin

( )

sin (

) cos

)(

sin (

) cos

Q l

P l

P

l l

a g

P l

l

a g

P

 2 ( 1 cos )( 2 sin ) 0 sin

2 cos

) sin (

cos ) sin (

) cos 1

( 2

l a P

lc Q

2 Định lý động năng2.1 Định lý động năng.

Vi phân động năng của cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng và

lý tưởng bằng tổng công yêú tố của tất cả các lực hoạt động tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ

hay là, đạo hàm động năng của cơ hệ bằng tổng công suất của các lực hoạt động đặt vào các chất điểm của cơ hệ

Chứng minh

Từ nguyên lý D’Alembert - Lagrange

A d

dT  

W



dt dT

0 )

F  

2 Định lý động năng2.1 Định lý động năng.

Xét di chuyển thực Đối với các liên kết dừng, di chuyển thực là một trong các di chuyển khả dĩ

Động năng

) , ,

, (d r1 d r2 d rN

) , ,

,

( r1 r2 rN

0 )

( 1

1 W

s J

dt v r

d dt

N

k

k k k

N

k

k

k k

d w

m

1 1

1 1

2

1 )

.

( 2

k

k k

k v v m v m

N

k

k

k v F d r m

d

1 1

2

2

A d

W



dt dT

2 Định lý động năng

2.2 Định lý động năng ở dạng hữu hạn

Biến thiên động năng của cơ hệ trong khoảng thời gian bằng tổng công của tất cả các lực hoạt động sinh ra trên các đoạn đường di chuyển tương ứng của các điểm đặt của các lực đó

Chứng minh

),(t0 t

v

m d

1 1

k

k k N

2 0 1

2

2

2 T  T0  A k

k k

k k C

k k

1, 2, 3,

  r     xk , yk , zk  ,

2 3

(

2 1

2

2 2

2

2 1

3 1

2

2 3

2

2 1 3

2

2

2 3

2

2 2

k k k

k

k k k

k k

k k

k k

y x x

y

z x x

z z

y y

z m

2

) (

) (

) (

2

2 1 3

1 3

2

2 2

2 3

2 2

2 2

2 2

2 1

k k k k

k k k

k k

k k

k k

k k k

k k q

y x m z

x m z

y m

y x

m x

z m y

z m T

2 2

2T q J xx12  J yy22  J zz32  J yz23  J zx13  J xy12

2.3 Động năng của vật rắn 2.3.1 Công thức tổng quát

2T q J XX12  J YY22  J ZZ32

.2

22

3 2

1 2

2

12

zx

yz yy

yx

xz xy

xx T

C

J J

J

J J

J

J J

J Mv

T

1 )

( 2

1 2

1 2

1 2

1   

2 2

2

1 2

1



Cz C

2.4 Các ví dụ

Ví dụ 1 Tính động năng của cơ cấu culit

Cho biết khối lượng

1 ,m ,m m

AB A

T

T   

2 2 1

2 2 1

2

6

1 3

2

1 2

2

2

2 1

cos

)

( 2

1 6

m m

R m

T   

3 2

4

2 1 4

2

3

cos cos

2.4 Các ví dụ

Ví dụ 2 Cho biết:

• Các Khối lượng: M, m; bán kính r,bán kính quán tính

• Lực kéo Bỏ qua sự trựơt của các bánh xe.

2

1

v r

r m

r

m M

dT   2 

2

2 ) (

2 

2.4 Các ví dụ

Tính công yếu tố

B Tính vận tốc thùng xe

Fvdt Fds

A

d'  

Fvdt

vwdt r

Fr w

T  0  0

0 

Fs

v r

r m

 2 2

2

2 2

2

r m

Mr

s

Fr v









2.4 Các ví dụ Ví dụ 3

- Các lực hoạt động

1 Tính

) ,

, , , , (P1 P2 P Q1 Q2 M

B A

1 1

J z z

2

2 2

2 2

2 2

1 2

2 2

2

2

1 2

1 2

1 2

2

1 2

2

1

mv

v g

P v

g

P R

g

Q R

g

Q

, 2

2 2

g

mg P

P Q

T     T0  0 ,

A( )   

s R

M R

P

P v

g

mg P

2 2

gs mg

P P

Q R

M R

N

N dt

dT

dc  ( 2  1)



 ,

2

1 vw g

mg P

P

Q dt

P

Q v

P

P dt

v P

P

w g

mg P

2.4 Các ví dụ Ví dụ 4

Cho biết P 1 = P 2 =P; Q; H.

Tìm hệ thức giữa các trọng lượng

- Cơ hệ khảo sát: Các vật nặng treo

trên sợi dây

0  v 

v

Q P

H A

O

KO1  1  2  2  1

h A O l

h A O

K L

l l

2

H P

2