Câu 2.R-môđunM được gọi là nửa đơn nếu mọi môđun con của M đều là một hạng tử trực tiếp.. Chứng minh các phát biểu sau là tương đương: a M là nửa đơn.. Nếu X là R-môđun không xoắn vớiR l
Trang 1BÀI TẬP MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ
DÀNH CHO CAO HỌC TOÁN 16 Ngày 16 tháng 1 năm 2008
Câu 1 Cho f : M −→ N là đồng cấu R-môđun
a) Chứng minh rằng S là một hệ sinh của M thì đồng cấu f được xác định bởi giá trị của f trên S
b) Tìm ví dụ chứng tỏ nếu S không phải là hệ sinh của M thì có ánh xạ
g : S −→ N không thể mở rộng thành đồng cấu môđun từ M vào N
c) Chứng minh rằng nếu S là một cơ sở của M thì mỗi ánh xạ h : S −→ N đều có thể mở rộng thành đồng cấu môđun từ M vàN
Câu 2.R-môđunM được gọi là nửa đơn nếu mọi môđun con của M đều là một hạng tử trực tiếp Cho M là một R-môđun khác 0 Chứng minh các phát biểu sau là tương đương:
a) M là nửa đơn
b) M là tổng trực tiếp các môđun con đơn của M
c) M là tổng các môđun con đơn của M
Câu 3 Chứng minh rằng mọi môđun tự do X trên miền nguyên R là không xoắn (tức là không có x ∈ X \ {0}, λ ∈ R \ {0} sao cho λx = 0)
Nếu X là R-môđun không xoắn vớiR là một miền nguyên thì có thể kết luận được X là R-môđun tự do không?
Câu 4 Cho M là R-môđun tự do, R là miền nguyên chính Chứng minh mọi môđun con của M đều là R-môđun tự do
Câu 5 Cho biểu đồ:
Y
β
X α //A α0 //
β0
X0 //0
Y0
0 trong đó các dòng và cột đều khớp Chứng minh β0α là toàn cấu khi và chỉ khi
α0β toàn cấu
Câu 6 Cho X1, X2 là các môđun con của X Chứng minh dãy sau là khớp:
0 −→ X2/(X1∩ X2) − → X/Xϕ 1 − → X/(Xψ 1+ X2) −→ 0
Trang 2với ϕ(x + X1∩ X2) = x + X1 và ψ(x + X1) = x + (X1+ X2)
Câu 7 Cho U, V là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K Chứng minh:
a) U ⊗K V là không gian vectơ trên trường K
b) dim(U ⊗K V) = dimKU dimKV
Câu 8 Cho I, J là các iđêan của vành R Chứng minh các đẳng cấu R-môđun sau:
a) (R/I) ⊗R M ∼ = M/(IM )
b) (R/I) ⊗R (R/J ) ∼ = R/(I + J )
Câu 9 Cho A là R-môđun Chứng minh nếu đồng cấu
λ : Hom(A, R) ⊗ A −→ Hom(A, R ⊗ A)
f ⊗ c 7−→ λ(f ⊗ c)
(λ(f ⊗ c) : A −→ R ⊗ A
a 7−→ f (a) ⊗ c)
là toàn cấu thì A hữu hạn sinh
Câu 10 Cho R là vành chia được, M là R-môđun Đặt D = HomR(M, M ) Chứng minh:
a)M là một D-môđun với phép nhân ngoài được định nghĩa như sau: r.m = r(m), ∀r ∈ D, ∀m ∈ M
b)Tồn tại đẳng cấu vành từ R vào HomD(M, M )
Câu 11 Chứng minh mọi dãy khớp ngắn
0 //A //B //C //0
các R-môđun đều có thể nhúng vào một biểu đồ giao hoán:
0
0
0
0 //U //
V //
W //
0
0 //X //
Y //
Z //
0
0 //A //
B //
C //
0
Trang 3trong đó các dòng và cột đều khớp, dòng giữa chẻ ra, X, Y, Z là các môđun xạ ảnh, các dãy khớp ngắn
0 //U //X //A //0
0 //W //Z //C //0
có thể cho trước tùy ý
Câu 12 Chứng minh rằng mọi môđun xạ ảnh X trên miền nguyên R là không xoắn
—Hết—