SKKN dat giai A cap tinh

Tôi thấy rằng các em còn lúng túng trong các dạng bài tập về tìm nghiệm nguyên của phơng trình bậc nhất hai ẩn, phơng trình đa thức có một hoặc nhiều ẩn, phơng trình dạng phân thức, cũng

A - đặt vấn đề:

i lời mở đầu:

Qua các năm giảng dạy môn toán 9 cùng với kết quả cụ thể trong năm học

2007 - 2008 Tôi thấy rằng các em còn lúng túng trong các dạng bài tập về tìm nghiệm nguyên của phơng trình bậc nhất hai ẩn, phơng trình đa thức có một hoặc nhiều ẩn, phơng trình dạng phân thức, cũng nh một số phơng trình khác,

mà mấu chốt của đặc trng để giải phơng trình đó là tìm ra nghiệm nguyên của phơng trình thì việc tiếp cận với các dạng toán tìm nghiệm nguyên là một vấn đề hết sức khó khăn trong quá trình toán học

Mặt khác trong việc gỉang dạy toán cần rèn luyện cho các em các phẩm chất trí tuệ, đặc biệt là tính độc lập, tính sáng tạo và các phơng pháp giải toán tìm nghiệm nguyên thông qua các bài tập từ dễ đến khó Để các em nắm chắc đợc kiến thức nhằm nâng cao chất lợng trong trong học tập Vì vậy tôi lựa chọn đề tài một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên

ii thực trạng của vấn đề nghiên cứu.

1 Thực trạng.

Trong giải toán tìm nghiệm nguyên của phơng trình việc giúp các em nắm bắt đợc cách giải phơng trình tìm nghiệm nguyên là hết sức cần thiết song qua một bài toán bằng sự gợi mở cũng nh tung ra các phơng pháp một cách khéo léo

để từ đó giúp các em củng cố đợc nhiều hơn đơn vị kiến thức, đồng thời nắm

đợc các phơng pháp giải ở một số phơng t rình khác nhau

2 Kết quả hiệu quả của thực trạng trên.

Trong quá trình giảng dạy và điều tra, khảo sát chất lợng giảng dạy môn toán ở trờng THCS Nga Điền nói chung, môn toán khối 9 nói riêng, cụ thể là bài toán tìm nghiệm nguyên, tôi thấy sự lúng túng của học sinh khi gập bài toán tìm nghiệm nguyên ở các bài toán dễ Vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi đã tìm tòi các bài toán cơ bản dễ hiểu để từ đó học sinh tiếp cận kiến thức một cách dễ dàng hơn Khi cha áp dụng phơng pháp này thì kết quả thấp, và sau khi áp dụng kết quả có khả quan hơn 1

Cụ thể là:

Lớp Sĩ

số Phơng pháp

Điểm dới 5

Điểm

5 - 6

Điểm

7 - 8

Điểm 9-10

Chính vì thực tiễn trên là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán tôi đã nghiên cứu tìm ra nguyên nhân của thực trạng tên, để từ đó tìm ra phơng pháp dễ hiểu

để học sinh tiếp cận một cách dễ dàng hơn, và trong chuyên đề này tôi mạnh dạn đề cập một số phơng pháp giải phơng trình với nghiệm nguyên cho các phơng trình nh là phơng trình bậc nhất hai ẩn, phơng trình đa thức một hoặc nhiều ẩn, phơng trình dạng phân thức

B giải quyết vấn đề.

i Các giải pháp thực hiện.

Một số dạng toán và phơng pháp giải :

Dạng toán 1 Tìm nghiệm nguyên của phơng trình bậc nhất hai ẩn

Phơng pháp giải:

+ Phơng pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn

+ Phơng pháp tách ra các giá trị nguyên

+ Phơng pháp tìm một nghiệm riêng

Dạng toán 2 Phơng trình đa thức có một hoặc nhiều ẩn

Phơng pháp giải:

+ Phơng pháp đa về phơng phơng trình ớc số

+ Phơng pháp xét các số d từng vế

Dạng toán 3 Phơng trình dạng phân thức

Phơng pháp giải:

+ Phơng pháp dùng bất đẳng thức

+ Phơng pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn.2

+ Phơng pháp tách các giá trị nguyên.

+ Phơng pháp tìm một nghiệm riêng

+ Phơng pháp xét số d từng vế

và một số phơng pháp khác

II cáC BIệN PHáP Để Tổ CHứC THựC HIệN

Các ví dụ vận dụng cho từng dạng toán:

Dạng toán 1 Tìm nghiệm nguyên của phơng trình bậc nhất hai ẩn.

Cơ sở lý thuyết:

Xét phơng trình: ax + by = c trong đó a, b, c ∈Z; a ≠ 0hoặc b≠ 0

Ta có định lý sau:Phơng trình ax + by = c có nghiệm nguyên khi và chỉ khi

c( b a, ) và khi biết phơng trình ax + by = c có nghiệm nguyên ta sẽ tìm các phơng pháp để giải phơng trình đó

1.1/ Sử dụng phơng pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn.

Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.

7x + 4y = 120 (1) Giải: Vì (7 , 4) = 1 ; 120  1 nên phơng trình (1) có nghiệm nguyên

Ta thấy 4y và 120 đều chia hết cho 4 nên 7x  4 mà (7 , 4) = 1 nên x  4

Đặt x = 4t với t ∈Zthì phơng trình (1) trở thành

7(4t) + 4y = 120 ⇔ 7t + y = 30 ⇔ y = 30 - 7t

Do đó







−

=

=

t y

t x

7 30

4

với t ∈Z

Thử laị Thay







−

=

=

t y

t x

7 30

4

vào phơng trinh (1) thấy thoả mãn VT = VP

Vậy nghiệm nguyên của phơng trình (1) là :







−

=

=

t y

t x

7 30

4

với t ∈Z

1.2/ Sử dụng phơng pháp tách ra các giá trị nguyên:

Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình.

14x + 8y = 46 (1) Giải: Thu gọn phơng trình (1) ta đợc: 7x + 4y = 233

Biểu thi y theo x ta đợc: y =

4

7

23 − x

(2) Tách riêng giá trị nguyên của y ở biểu thức (2) ta đợc

y =

4

1 2

6 4

1 8

x x

x

Để y nguyên thì

4

1

−

x

phải nguyên;

Đặt

4

1

−

x

= t với t ∈Z ⇒ x = 4t + 1

do đó y = 6 - 2(4t +1) + t = 6 - 8t - 2 + t = 4 - 7t

Thay x = 4t + 1, y = 4 - 7t vào phơng trình (1) ta đợc nghiệm đúng

Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là:







−

=

+

=

t y

t x

7 4

1 4

t ∈Z

1.3/ Sử dụng phơng tìm một nghiệm riêng.

Cơ sở lý thuyết:

Ta có định lí: Cho phơng trình ax + by = c (1)

Trong đó a, b, c ∈Z; a ≠ 0hoặc b≠ 0 và (a,b) = 1 Nếu ( x0 , y0) là một nghiệm nguyên của phơng trình (1) thì phơng trình (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dới dạng:







−

=

+

=

at y y

bt x x

0

0

với t ∈Z

Ta gọi (x0 , y0) là một nghiệm riêng Nh vậy, để tìm tất cả các nghiệm nguyên của phơng trình (1) ta chỉ cần tìm ra một nghiệm riêng của phơng trình trong tr-ờng hợp đơn giản ta có thể tính nhẩm nghiệm riêng này bằng cách thử chọn

Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 6x - 4y = 2.

Giải: Dễ thấy x0 = 1, y0 = 1 là một nghiệm riêng nên tập hợp các nghiệm nguyên của phơng trình đó là:







−

=

−

=

t

y

t

x

6

1

4

1

Dạng toán 2 Phơng trình đa thức có một hoặc nhiều ẩn.

Cơ sở lý thuyết: 4

Phơng trình có dạng f(x , y ) = 0 trong đó f(x , y ) là đa thức của các biến x , y, gọi là phơng trình đa thức

2.1/ Sử dụng phơng pháp đa về phơng trình ớc số.

Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: y + x - 4 = -xy (1)

Giải: y + x - 4 = - xy

x + xy + y = 4

x(y +1) + (y +1) = 5

(x + 1)(y + 1) = 5

Ta gọi phơng trình này là phơng trình ớc số

Vì x, y ∈Z nên x + 1 ∈Z , y +1 ∈Z và x+ 1 , y +1 là ớc của 5 do đó:

Suy ra

2.2/ Sử dụng phơng pháp xét số d từng vế

Ví dụ: Cho phơng trình 4x2 - 8y3 + 2z2 = 4(1 - x) (1) Chứng minh rằng phơng trình (1) không có nghiệm nguyên

Giải: 4x2 - 8y3 + 2z2 = 4(1 - x)

⇔ 4x2 + 4x = 8y3 - 2z2 + 4

⇔ 4x2 + 4x + 1 = 8y3 - 2z2 + 5

⇔ (2x +1)2 = 8y3 - 2z2 + 5 (2)

Vế trái của (2) là một số chính phơng lẻ nên chia cho 8 d 1 (3) Xét vế phải của (2)

8y3 8

2z2 chia hết cho 8 nếu z chẵn

chia cho 8 d 2 nếu z lẻ

Vậy vế phải chia cho 8 d 5 hoặc d 7 (4)

Từ (3) và (4) suy ra phơng trình (2) không có nghiệm nguyên, do đó phơng trình (1) không có nghiệm nguyên 5

Dạng toán 3 Phơng trình dạng phân thức

Sử dụng phơng pháp dùng bất đẳng thức, sắp thứ tự của các ẩn, và xét từng

khoảng giá trị của biến

Ví dụ

Cho phơng trình: 2+ 2 = 1

y

x (1) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình

Giải Từ phơng trình (1) ta nhân vào hai vế của phơng trình với

2

1

khi đó phơng trình (1) trở thành

1x+ 1y =12 (2)

Do vai trò của x và y là nh nhau, ta giả sử x ≥ y Ta xác định khoảng giới hạn của y (là số nhỏ trong hai số) Vì x > 0 nên

2

2

1 1

>

⇒

< y y

Mặt khác x ≥ y > 0 nên 1x ≤ 1y

Suy ra 1x+ 1y ≤ 1y +1y

Hay 2 4

2

y (3)

Từ (1) và (2) suy ra 2< y≤ 4

Với y = 3 thì 6

6

1 3

1 2

1

4

1 4

1 2

1

Các nghiệm nguyên dơng của phơng trình là (6;3) và (4;4).

III.kết luận:

Sau một thời gian đa vào áp dụng giảng dạy cho học sinh ở một số lớp 9 tôi

tự nhận thấy và rút ra một số kết luận nh sau:

1 - Mức độ yêu thích môn học đại số, bài toán tìm nghiệm nguyên đợc nâng lên, các em không cảm thấy ngại khi gặp bài toán tìm nghiệm nguyên của phơng trình

2 - Thông qua đó đa số các em đã nắm đợc một số phơng pháp giải tìm nghiệm nguyên và có kỹ năng sử dụng các phơng pháp vào các bài tập cụ thể

3 - Học sinh có kỹ năng khai thác bài toán đã cho thành bài toán khó hơn nhằm

mở rộng kiến thức

Kết quả đạt đợc khi vận dụng các phơng pháp trên

Lớp Sĩ

số Phơng pháp

Điểm dới 5

Điểm

5 - 6

Điểm

7 - 8

Điểm 9-10

Để vận dụng và làm tốt các bài tập cần cho học sinh nắm vững cơ sở lý thuyết

kỹ năng và phơng pháp để từ đó học sinh không còn lúng túng khi giải bài toán tìm nghiệm nguyên

Nga Điền, ngày 25 tháng 04 năm 2009

Ngời thực hiện

Đỗ Văn Nghĩa

6

7 7