Bài toán ứng dụng lượng cực đại

Bài toán ứng dụng lượng cực đại

Luồng cực đại trong mạng và một số bài toán ứng dụng

Nguyễn Văn Trường

Bài toán luồng cực đại trong mạng là một trong những bài toán tối ưu trên đồ thị tìm được những ứng dụng rộng rãi trong thực tế cũng như những ứng dụng thú vị trong lý thuyết tổ hợp Bài toán được đề xuất vào đầu những năm 1950, và gắn liền vơi tên tuổi của hai nhà toán học Mỹ là Ford và Fulkerson Trong nội dung bài viết này chúng tôi muốn trình bày thuật toán của hai ông và cài đặt nó cũng như đưa ra một số bài toán ứng dụng của thuật toán

1 Một số khái niệm

Định nghĩa 1 Mạng là một đồ thị có hướng G = (V,E), trong đó có duy nhất một đỉnh s

không có cung đi vào gọi là điểm phát và có duy nhất một đỉnh t không có cung đi ra gọi là điểm thu và mỗi cung e = (v,w) thuộc E được gán với một số không âm c(e) = c(v,w) gọi là khả năng thông qua của cung e (nếu không có cung (v,w) thì khả năng thông qua c(v,w) được gán bằng 0)

Định nghĩa 2 Một luồng f trong mạng G = (V,E) là ánh xạ f : E → R+ gán cho mỗi cung e

= (v,w) thuộc E một số thực không âm f(e) = f(v,w), gọi là luồng trên cung e, thoả mãn các điều kiện sau:

1) Luồng trên mỗi cung e thuộc E không vượt quá khả năng thông qua của nó:

0 ≤ f(e) ≤ c(e)

2) Điều kiện cân bằng luồng trên mỗi đỉnh của mạng là tổng luồng trên mỗi cung đi vào đỉnh v bằng tổng luồng trên các cung đi ra khỏi đỉnh v, nếu v ≠ s và v ≠ t thì:

Divf(v) = Σf(w,v) - Σ f(v,w) = 0

w thuộc G - (v) w thuộc G + (v)

của mạng mà từ v có cung đến nó

3) Giá trị của luồng f là số:

val( f ) = Σ f(s,w) = Σ f(w,t)

w thuộc G + (v) w thuộc G - (v)

Bài toán luồng cực đại trong mạng:

Cho mạng G = (V,E) Hãy tìm luồng f*trong mạng với giá trị luồng val(f*) là lớn nhất Luồng như vậy sẽ được gọi là luồng cực đại trong mạng

Bài toán như vậy có thể xuất hiện rất nhiều trong ứng dụng thực tế mà chúng ta sẽ nghiên cứu trong phần 3 tiếp theo dưới đây

Định nghĩa 3 Lát cắt (X,X*) là một cách phân hoạch tập đỉnh V của mạng ra thành hai tập

X và X* = VX, trong đó s thuộc X và t thuộc X* Khả năng thông qua của lát cắt (X,X*) là số:

c(X,X*) = Σ c(v,w)

v thuộc X

w thuộc X*

Lát cắt với khả năng thông qua nhỏ nhất được gọi là lát cắt hẹp nhất

Bổ đề 1 Giá trị của mọi luồng f trong mạng luôn nhỏ hơn hoặc bằng khả năng thông qua

của lát cắt bất kỳ của nó: val(f) ≤ c(X,X*)

(do phạm vi có hạn của bài báo nên các phần chứng minh xin xem thêm trong [1] )

Hệ quả 1 Giá trị luồng cực đại trong mạng không vượt quá khả năng thông qua của lát cắt

hẹp nhất trong mạng

Ford và Fulkerson đã chứng minh được rằng: giá trị luồng cực đại trong mạng đúng

bằng khả năng thông qua của lát cắt hẹp nhất

Ta đưa thêm vào một số khái niệm sau: Giả sử f là một luồng trong mạng G = (V,E) Từ

và trọng số trên các cung được xác định như sau:

Ví dụ: các số viết cạnh các cung của G ở hình vẽ dưới theo thứ tự là khả năng thông qua và

luồng f trên cung

Giả sử P = (s = v1,v2,v3, ,vk = t) là một đường đi từ s đến t trên đồ thị tăng luồng Gf Gọi d

là giá trị nhỏ nhất của các trọng số của các cung trên đường đi P Xây dựng luồng f′ trên mạng G theo qu y tắc sau: f′(u,v) nhận một trong các giá trị sau:

1) f(u,v) + d nếu (u,v) thuộc P là cung thuận

2) f(u,v) - d nếu (u,v) thuộc P là cung nghịch

3) f(u,v) nếu (u,v) không thuộc P

Dễ dàng kiểm tra được rằng f′ xây dựng như trên là một luồng trên mạng và val(f′) = val(f) + d Thủ tục biến đổi vừa nêu gọi là tăng luồng dọc theo đường P

Địng nghĩa 4 Đường tăng luồng f là mọi đường đi từ s đến t trên đồ thị tăng luồng G(f)

Định lý 1 Các mệnh đề sau là tương đương:

1) f là luồng cực đại trong mạng

2) không tìm được đường tăng luồng f

3) val(f′) = c(X,X*) với một lát cắt (X,X*) nào đó

2.Thuật toán tìm luồng cực đại trong mạng

Định lý 1 là cơ sở để xây dựng thuật toán lặp sau đây để tìm luồng cực đại trong mạng: Bắt

đầu từ luồng với tất cả các cung bằng 0 (luồng đó được gọi là luồng không), và thực hiện

hai thao tác: a) Tìm đường tăng P đối với luồng hiện có; b) Tăng luồng dọc theo đường P, lặp đi lặp lại cho đến khi thu được luồng mà đối với nó không còn đường tăng (bước lặp trên được gọi là bước lặp tăng luồng Ford-Fulkerson)

Sơ đồ thuật toán Ford-Fulkerson được mô tả trong thủ tục sau đây:

Procedure Max_Flow;

(*Thuật toán Ford-Fulkerson *)

Begin

(* khởi tạo bắt đầu từ luồng với giá trị 0 *)

for u thuộc V do

for v thuộc V do f(u,v):=0;

Stop:= false;

While not Stop do

If {tìm được đường tăng luông P}then

{tăng luồng dọc theo P}

else stop:=true;

End;

hay tìm kiếm theo chiều sâu bắt đầu từ đỉnh s, nhưng sử dụng thuật toán gán nhãn của Ford-Fulkerson sẽ tối ưu hơn

Thuật toán bắt đầu từ luồng chấp nhận nào đó trong mạng (có thể bắt đầu từ luồng không), sau đó tăng luồng bằng cách tìm các đường tăng luồng bằng phương pháp gán nhãn cho các đỉnh Mỗi đỉnh trong quá trình gán nhãn sẽ ở một trong ba trạng thái: chưa có nhãn, có nhãn chưa xét và có nhãn đã xét Nhãn của đỉnh v có hai phần và ở một trong hai dạng sau: [+p(v), e (v)] hoặc[-p(v), e (v)] Phần thứ nhất +p(v) (-p(v)) chỉ ra là cần tăng (giảm) luồng theo cung (p(v),v) (cung (v,p(v))), còn phần thứ hai e (v) chỉ ra lượng lớn nhất có thể tăng hoặc giảm luồng theo cung này

Thuật toán được thực hiện bắt đầu với duy nhất đỉnh s được khởi tạo nhãn và nhãn của nó

là chưa xét, còn tất cả các đỉnh còn lại đều chưa có nhãn Từ s ta gán nhãn tất cả các đỉnh

kề với nó và nhãn của đỉnh s trở thành đã xét Tiếp theo, từ mỗi đỉnh v có nhãn chưa xét ta lại gán nhãn cho tất cả đỉnh chưa có nhãn kề với nó và nhãn của đỉnh v trở thành đã xét Quá trình cứ lặp lại cho tới khi: hoặc là đỉnh t trở thành có nhãn hoặc là nhãn của tất cả các đỉnh có nhãn đều trở thành đã xét nhưng đỉnh t vẫn không có nhãn Trong trường hợp thứ nhất ta tìm được đường tăng luồng, còn trường hợp thứ hai đối với luồng đang xét không tồn tại đường tăng luồng (tức là luồng đã là cực đại) Mỗi khi tìm được đường tăng luồng,

ta lại tăng luồng theo đường tìm được, sau đó xoá tất cả các nhãn đối với luồng mới thu được rồi lại sử dụng phép gán nhãn các đỉnh để tìm đường tăng luồng Thuật toán kết thúc khi gặp trường hợp thứ hai ở trên

Các thủ tục Tìm đường tăng luồng và Tăng luồng được mô tả như sau:

Procedure Find_Path;

(* Thủ tục gán nhãn tìm đường tăng luồng

p[v], e [v] là các nhãn của đỉnh v;

c[u,v] là khả năng thông qua của cung (u,v),u, v thuộc V; f[u,v] là luồng trên cung u,v (u,v thuộc V) *)

Begin

p[s]:=s; e [s]:=+ ∞ ;

VT :={s};

PathFound:=true;

Begin

u ← VT ;(*lấy u từ VT*)

Begin

if (c[u,v] > 0) and (f[u,v] < c[u,v]) then

Begin

p[v]:=u;

e [v]:=min{ e [u],c[u,v]-f[u,v]};

If v=t then exit;

End;

If (c[u,v] > 0) and (f[u,v] > 0) then

Begin

p[v]:= - u;(* đánh dấu cung nghịch *)

e [v]:=min{ e [u],f[v,u]};

If v=t then exit;

End;

End;

PathFound:=false;

End;

Procedure Inc_Flow;

(*tăng luồng theo đường tăng *)

Begin

v:=p[t];u:=t;tang:= e [t];

While u ≠ s do

Begin

if v > 0 then f[u,v]:=f[u,v] + tang

else

begin

v:= - v;

f[u,v]:=f[u,v] - tang;

end;

u:=v;v:=p[u];

End;

End;

Thuật toán Ford-Fulkerson được thực hiện nhờ thủ tục:

Procedure Max_Flow;

(* thụât toán Ford-Fulkerson*)

Begin

(*khởi tạo bắt đầu từ luồng với giá trị 0 *)

for u thuộc V do

for v thuộc V do f[u,v]:=0;

stop:=false;

while not stop do

Begin

Find_Path;

If PathFound then Inc_Flow

Else Stop:=true;

End;

{luồng cực đại trong mạng là f[u,v],u,v thuộc V}

End;

Rõ ràng nếu khả năng thông qua của tất cả các cung của đồ thị là những số nguyên, thì giá trị của luồng sẽ tăng lên ít nhất là 1 sau mỗi lần tăng luồng Từ đó suy ra thuật toán trên luông dừng sau không quá val(f*) lần tăng luồng và cho ta luồng cực đại trong mạng Ta

có các kết quả sau:

Định lý 2 (Định lý về luồng cực đại trong mạng và lát cắt hẹp nhất) Luồng cực đại trong

mạng bằng khả năng thông qua của lát cắt hẹp nhất

Định lý 3 (Định lý về tính nguyên) Nếu tất cả các khả năng thông qua là các số nguyên

thì luôn tìm được luồng cực đại với luồng trên các cung là các số nguyên

Tuy nhiên, nếu khả năng thông qua là các số rất lớn thì giá trị của luồng cực đại cũng có thể rất lớn và thuật toán ở trên đòi hỏi phải thực hiện nhiều bước tăng luồng Gần đây người ta đã đưa ra các thuật toán với độ phức tạp tính toán tốt hơn, tuy nhiên thuật toán Ford-Fulkerson cũng được đánh giá là một trong những thuật toán kinh điển để giải các bài toán ứng dụng về luồng cực đại trong mạng

Tiếp theo là phần cài đặt cụ thể của thuật toán bằng ngôn ngữ Pascal Chương trình dưới đây có sử dụng dữ liệu vào được cho trong file Luong.inp có dạng như sau:

Dòng đầu tiên gồm ba số nguyên là số đỉnh của mạng n, đỉnh phát s, đỉnh thu t

Tiếp theo là một ma trận kích thước n x n thể hiện ma trận trọng số của đồ thị có hướng minh hoạ cho mạng cần tìm luồng cực đại

Dữ liệu ra được cho trong file Luong.out có dạng như sau:

Phần đầu tiên là một ma trận kích thước n x n thể hiện luồng cực đại tìm được (phần tử (i,j) của ma trận là luồng trên cung (i,j))

Dòng tiếp theo là một số nguyên cho biết giá trị luồng cực đại trong mạng

Chẳng hạn với mạng được cho trong hình vẽ ở trên thì các file tương ứng là:

luong.inp

6 1 6

0 3 4 0 0 0

0 0 0 3 2 0

0 1 0 0 3 0

0 0 0 0 0 4

0 0 0 0 0 3

0 0 0 0 0 0

luong.out

0 3 3 0 0 0

0 0 0 3 0 0

0 0 0 0 3 0

0 0 0 0 0 3

0 0 0 0 0 3

0 0 0 0 0 0

6

Nội dung chương trình như sau: var vt,e,p:array [1 50] of integer;

c, f:array [1 50,1 50]of byte; u,v,l,s,t,n,Tang:integer;

Path_Found,stop:boolean;

procedure init;

var ff:text;i,j:byte;

begin

assign(ff,'Luong.inp');

reset(ff);

readln(ff,n,s,t);

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

read(ff,c[i,j]);f[i,j]:=0;

end;

close(ff);

stop:=false;

end;

procedure Find_Path;

var vt1: set of byte;

begin

p[s]:=s;e[s]:=maxint;

l:=1;vt[l]:=s;vt1:=[s];

Path_Found:=true;

while l>0 do

begin

u:=vt[l];l:=l-1;

for v:=1 to n do

if not ( v in vt1)then

begin

if (c[u,v]>0)and(f[u,v]

begin

p[v]:=u;e[v]:=e[u];

if e[v]>c[u,v]-f[u,v] then

e[v]:=c[u,v]-f[u,v];

l:=l+1;vt[l]:=v;vt1:=vt1+[v];

if v=t then exit;

end;

if (c[v,u]>0)and(f[v,u]>0)then begin

p[v]:=-u;e[v]:=e[u];

if e[u]>f[v,u]then e[v]:=f[v,u]; l:=l+1;vt[l]:=v;vt1:=vt1+[v];

if v=t then exit;

end;

end;

end;

Path_Found:=false;

end;

procedure Inc_Flow;

begin

v:=p[t];u:=t;Tang:=e[t];

while u<>s do

begin

if v>0 then

f[v,u]:=f[v,u]+Tang

else

begin

v:=-v;

f[u,v]:=f[u,v]-Tang;

end;

u:=v;v:=p[u];

end;

end;

procedure Result;

var value:integer;ff:text;

begin

assign(ff,'Luong.out');

rewrite(ff);

value:=0;

for u:=1 to n do

begin

if f[s,u]>0 then inc(value,f[s,u]); for v:=1 to n do write(ff,f[u,v]:3); writeln(ff);

end;

writeln(ff,value:3);

close(ff)

end;

procedure Max_Flow;

begin

while not stop do

begin

Find_Path;

if Path_Found then Inc_Flow

else stop:=true;

end;

end;

begin

init;

Max_Flow;

result;

end

3 Một số bài toán ứng dụng

Bài 1 (mạng với nhiều điểm phát và nhiều điểm thu)

Cho n kho cần chuyển hàng s 1 ,s 2 , s n và m kho nhận hàng t 1 ,t 2 , ,t m Hãy tìm một phương

án chuyển hàng sao cho lượng hàng được chuyển là lớn nhất, cho biết trước số lượng hàng cần chuyển cũng như khả năng chứa hàng ở mỗi kho và số hàng có thể chuyển từ s i

đến t j là c(i,j)

Bài toán này có thể đưa về bài toán mạng với nhiều điểm phát và điểm thu Ta coi các kho

Bài 2 (bài toán với khả năng thông qua ở các cung và các đỉnh)

Hãy tìm một phương án vận chuyển dầu từ một bể chứa s tới bể nhận t thông qua hệ thống đường ống dẫn dầu, sao cho lượng dầu chuyển được là nhiều nhất Cho biết trước lượng dầu lớn nhất có thể bơm qua mỗi đường ống và qua mỗi điểm nối giữa các ống

Phương án giải bài toán như sau: xây dựng đồ thị G = (V,E), với V là tập các đỉnh của đồ thị gồm s, t và tập các điểm nối, còn E là tập các cung của đồ thị gồm các đường ống dẫn dầu Trong G, với mỗi đỉnh v thuộc V thì tổng luồng đi vào đỉnh v không được vượt quá khả năng thông qua d(v) của nó:

Σf(w,v) ≤ d(v)

w thuộc V

để tìm luồng cực đại giữa s và t trong mạng như vậy ta xây dựng một mạng G′ sao cho:

tức là bằng khả năng thông qua của đỉnh v trong G Dễ thấy luồng cực đại trong G′ bằng luồng cực đại trong G với khả năng thông qua của các cung và các đỉnh

Bài 3 (đề thi sinh viên giỏi toàn quốc 1994-1995)

Cho một bảng chữ nhật kích thước MxN (M, N < 100) các ô vuông Trong đó có một số ô trằng, còn lại là đen Hãy chọn 2M ô đên trong bảng sao cho thoả mãn các điêu kiện: 1) mỗi dòng chọn đúng 2 ô đen

2) số ô đen được chọn trong cột chọn nhiều ô nhất là nhỏ nhất

Ta phát biểu bài toán dưới một dạng khác: xét mạng gồm N + M + 2 đỉnh, gồm hai đỉnh thu và phát s, t ; M đỉnh tương ứng với M dòng còn N đỉnh còn lại tương ứng với N cột của bảng Đỉnh s nối với tất cả các đỉnh tương ứng với dòng, các đỉnh tương ứng với cột nối với đỉnh thu t, nếu ô (i,j ) là ô đen thì ta nối đỉnh thứ i của dòng với đỉnh thứ j của cột Khả năng thông qua của các cung được xác định như sau:

- Mọi cung xuất phát từ đỉnh s có khả năng thông qua bằng 2

- Mọi cung nối cặp đỉnh dòng và cột có khả năng thông qua bằng 1

- Mọi cung nối với đỉnh thu t thì khả năng thông qua sẽ thay đổi trong quá trình thay đổi bài toán luồng để thoả điều kiện thứ hai của bài toán, song chúng luôn bằng nhau, ban đầu khả năng thông qua của các cung này đều bằng 1 Sau mỗi bước tìm được luồng cực đại ta

có thể tăng khả năng thông qua của các cung này thêm 1 đơn vị phụ thuộc vào luồng vừa tìm được đã thoả mãn điều kiện thứ nhất của bài toán hay chưa

Bài toán phát biểu lại như sau: Tìm một mạng có khả năng thông qua của các cung tại đỉnh

thu là bé nhất sao cho giá trị của luồng tại các cung chứa đỉnh phát đều bằng 2

Với cách phát biểu trên ta có thuật toán giải như sau:

1 Ban đầu xét mạng có khả năng thông qua tại các cung chứa đỉnh thu đều bằng 1

2 Mỗi bước tìm một luồng cực đại Nếu luồng tìm được thoả mãn điều kiện 1, nghĩa là giá trị luồng tại mỗi cung chứa đỉnh phát đều bằng 2 thì ta dừng thuật toán, ngược lại ta tăng khả năng thông qua của các cung thêm một đơn vị và quay lại bước 2

Bài toán không tồn tại lời giải khi khả năng thông qua của các cung chứa đỉnh thu đều bằng N mà không tồn tại luồng cực đại sao cho giá trị của luồng tại các cung chứa đỉnh phát đều bằng 2

Bài 4

Có n sinh viên cần đi thực tập ở m trường Mỗi sinh viên i có quyền đăng ký nguyện vọng thực tập vào các trường với số lượng trường đăng ký là c(i): 0 ≤ c(i) ≤ m Hãy tìm một phương án bố trí các sinh viên vào các trường sao cho thoả mãn được nhiều nguyện vọng nhất và nếu có thể thì số lượng trường có sinh viên được bố trí vào thực tập càng ít càng tốt Dữ liệu vào cho trong tệp THUCTAP.INP có cấu trúc như sau: dòng đầu gồm hai số nguyên n, m; tiếp theo là một ma trận gồm n hàng, m cột: ô (i,j) bằng 1 nếu sinh viên i có nguyện vọng đăng ký thực tập ở trường j và bằng 0 trong trường hợp ngược lại Dữ liệu

ra ghi vào tệp THUCTAP.OUT gồm một ma trận gồm n hàng, m cột: ô (i,j) bằng 1 nếu sinh viên i được bố trí thực tập ở trường j và bằng 0 trong trường hợp ngược lại

Bài toán này khá dễ giải nếu ta phát hiện ra rằng: để thỏa mãn yêu cầu thứ hai của đầu bài thì chỉ cần bỏ đi một số lượng các trường nhiều nhất trong tập m trường đã cho sao cho số nguyện vọng được thoả mãn vẫn giữ nguyên như khi chưa bỏ đi trường nào

Các bài toán có thể giải được thông qua thuật toán đã trình bày rất phong phú và đa dạng

Nó còn được sử dụng nhiều trong các bài toán tổ hợp như bài toán đám cưới vùng quê, các bài tối ưu rời rạc (bài toán lập lịch, phân nhóm) Trong các bài toán dạng này, có một số bài có thể đưa về bài toán tìm cặp ghép đầy đủ tối ưu ( bạn đọc có thể tham khảo thêm

trong bài Cặp ghép của tác giả Lê Văn Chương, trong số báo 11/2001 )

Tài liệu tham khảo:

[1] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành-Toán học rời rạc Nhà xuất bản giáo dục-1997 [2] Robert Sedgewick.' Algorithm ' Princeton University ( USA ) Ađison - Wesley

Publishing Co

[3] Một số sách báo và tài liệu tham khảo khác