2.Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị 1 đều lập với hai đờng tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.. Tính thể tích khối đa diện OIBC trong đó I là chân đờng cao kẻ từ C của
Trang 1Sở GD & ĐT QUẢNG NAM đề thi thử đại học lần 1- năm 2010
Trờng thpt CHU VĂN AN Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Phần chung cho tất cả các thí sinh.
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số :
1
2
−
+
=
x
x
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2.Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (1) đều lập với hai đờng tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
Câu II (2 điểm)
1.Tìm x ∈ ( 0 ; π ) thoả mãn phơng trình:
Cotx – 1 = x x
x
x
2 sin 2
1 sin
tan 1
2
− +
2.Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = m
Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.
1 Tính khoảng cách từ O đến mp (ABC)
2 Tính thể tích khối đa diện OIBC trong đó I là chân đờng cao kẻ từ C của ABC ∆
Câu IV (2 điểm)
1 Tính tích phân: I = ∫2 − −
1
dx x
x x
2 Cho x, y, z là các số thực dơng thoả mãn: x + y + z = xyz.
Tìm GTNN của A =
) 1 ( ) 1 ( ) 1
zx yz
x
yz xy
z
xy
+
+ +
+
Phần riêng - Thí sinh chỉ đợc làm 1 trong 2 câu: V a hoặc
V.b -Câu V a Dành cho ban Cơ Bản (2 điểm).
1 Giải phơng trình: lg( 10 . 5x + 15 . 20x) = x + lg 25
2.Tính thể tích lăng trụ đều ABC.A'B'C' biết mp(ABC') hợp với đáy góc 600 và diện tích tam giác ABC' bằng 3a2
Câu V b Dành cho ban KHTN (2 điểm).
1.Giải bất phơng trình:
3 2
4 )
3 2 ( )
3 2
−
≤
− +
2.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành có AB = a, góc ABC = 300; hai mặt bên SAD và SBC vuông tại A, C cùng hợp với đáy góc α
CMR: (SAC) ⊥ (ABCD) và tính thể tích khối chóp S.ABCD.
- Hết
-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh ……… SBD ………
Hớng dẫn chấm môn toán- ĐỀ 1
Khảo sát- vẽ đồ thị (1 điểm)
Trang 2TXĐ: D = R\ {1}
• Sự biến thiên:
+ Giới hạn – Tiệm cận:
1
lim
x +y
đ = +Ơ ;
1
lim
x - y
đ =- Ơ ⇒ĐTHS có tiệm cận đứng: x = 1 lim 1
x
y
đ+Ơ = ⇒ĐTHS có tiệm cận ngang: y = 1
0,25
+ Bảng biến thiên: y '= 3 2 0
(x 1)
- <
- , x D" ẻ
HS nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞) - HS không có cực trị
0,5
• Đồ thị:
KL: Đồ thị hàm số nhận giao hai tiệm cận làm tâm đối xứng
0,25
2 CMR: Mọi tiếp tuyến …… diện tích không đổi (1 điểm)
Giả sử M ; 2
1
a a a
ổ + ữử
ỗố - ứ thuộc đồ thị (1) Tiếp tuyến của (1) tại M: '( )( ) 2
1
a
a
+
- =
2
x
-+
-0,25
TCĐ: x = 1 (∆1) ; TCN: y = 1(∆1), Gọi I là giao 2 tiệm cận ⇒I(1; 1)
A = d ∩ ∆1 ⇒A(1; 5
1
a a
+
1
IA
a
=ỗỗố - ữữứ⇒IA = a6- 1 ; IBđ =(2a- 2;0) ⇒IB = 2 a − 1 0,25
Diện tích ∆ IAB: S∆IAB= 12IA IB = 6 (đvdt) . ⇒ĐPCM 0,25
1 Tìm x (0; )ẻ π thoả mãn pt (1 điểm)
ĐK: sin 2 0 sin 2 0
Khi đó pt cos sin cos 2 cos 2
sin sin cos
-+
cos sin cos sin sin cos sin
x
-0,25
⇔ cosx- sinx=sin (1 sin 2 )x - x
⇔ (cosx- sin )(sin cosx x x- sin2x- 1)=0
0,25
⇔ (cosx- sin )(sin 2x x+cos 2x- 3)=0 ⇔ cosx- sinx= 0 ⇔tanx = 1 ( )
4
x π kπ k Z
4
xẻ π ị k= ị x=π KL: 0,25
Trang 32 Tìm m để pt có nghiệm (1 điểm)
Xét hs: f x( )= x2+ + -x 1 x2- x+ nờn1 '( ) 22 1 22 1
f x
'( ) 0 (2 1)(22 2 1) 0 2 2
f x
ùù
= Û ớù
ùợ
0,25
0( )
-ùù ³ Ú Ê ù
Û ớ
ùù = ùợ '(0) 1 0,f = > " ẻx R ⇒HS f (x )đồng biến trên R 0,25 lim ( ) 1;lim ( ) 1
PT có nghiệm khi: -1 < m < 1.
1 Tính khoảng cách từ O đến (ABC) (1 điểm)
PT mp(ABC): x y z 1
Û bcx cay abz abc+ + - =0 O,25 ( )
2 2 2 2 2 2
d O ABC
a b b c c a
=
2 Tính thể tích khối đa diện OIBC (1 điểm)
→
AB=( − a ;b ; 0 ) PTTS của AB:
0
x a at
y bt z
ỡ = -ùù
ùù = ớù
ùù = ùợ
0,25
Iẻ ABị I a at bt( - ; ;0) ⇒ ICđ =(at a bt c- ;- ; )
ICđ
⊥ ABđ Û ICđ ABđ = 0 2 2 2 2
+ ⇒I 2ab2 2 ; 2a b2 2;0
0 0 0 0
c c
ỗ
3
OB OC OI
3
OIBC
ab c
OB OC OI
0,25 0,25 0,25
Trang 4IV 2
1 Tính tích phân (1 điểm)
Đặt t= x- ị1 t2= - ịx 1 dx=2 ,tdt
Đổi cận: x = 1 ị = ; x = 2 t 0 ị =t 0 0,25 Khi đó:
2
=
3
0 0
3
t
62 30ln1 62 30ln 2
3 + 2= 3
-0,5
2 Tìm GTNN (1 điểm)
• CM: Với mọi a, b > 0 thì a b+1 Ê 1 14ổỗỗỗốa+ ữ1bửữữứ (1) Dấu “ =” xảy ra Û a=b
A = 1 1 1 1 1 1
• áp dụng (1) ta có:
A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1
³ + + - ỗỗ + + ữ= ỗỗ + + ữ
• CM: Với mọi a, b, c thì: ( )2 ( )
3
a b c+ + ³ ab bc ca+ + (2) Dấu “=” xảy ra Û a= =b c
áp dụng (2) ta có: 1 1 1 2 3 1 1 1 3.x y z 3
• Do x, y, z > 0 nên 1x+ + ³1y 1z 3 ⇒A 3 3
4
³
KL:
min
3 3 4
A = đạt đợc khi x= = =y z 3
0,25
0,25
0,25
0,25
1 Giải phơng trình (1 điểm)
PT Û lg 10.5( x+15.20x)=lg 25.10( x) 0,25
Û 10.5x+15.20x=25.10x Û 15.4x- 25.2x+10=0 0,25
Đặt t = 2x( t > 0 ), ta đợc: 15t2 - 25t +10 = 0
1( ) 2 ( ) 3
ộ=
ờ ờ Û ờ=
ờ
0,25
t = 1 ị 2x= Û1 x=0
2 2 2 log2 2
x
t= ị = Û x= ổ ửỗỗ ữỗố ứữữữ KL:
0,25
2 Tính thể tích lăng trụ (1 điểm)
Trang 5
Gọi H là trung điểm AB
'
ùù
ị ớù ^ ùợ ((ABC'),(ABC)) (CH C H, ' ) CHC' 600
ΔABC' 3a HC AB' 2 3a
Xét ∆ HCC ' vuông tại C: ' 0 3
cos 60
HC
Từ (1),(2) ị AB=a 2;HC'=a 6
' '.sin 60
2
Δ
sin 60
' ' 'Δ
3 6 '
4
ABC A B C ABC CC a
0,25
0,25
0,25 0,25
1 Giải bất phơng trình (1 điểm)
Bpt ( )2 2 ( ) 2 2
2 3 x- x 2 3 x- x 4
2
>
+
ta đợc: + 1 ≤ 4
t
t t2 − 4 t + 1 ≤ 0 ⇔ 2 − 3 ≤ t ≤ 2 + 3 (tm)
0,5
Khi đó: ( ) 2 2
2- 3Ê 2+ 3 x- xÊ +2 3 ⇔ − 1 ≤ x2 − 2 x ≤ 1 ⇔ x2 − 2 x − 1 ≤ 0 ⇔ 1 − 2 ≤ x ≤ 1 + 2 KL:
0,5
2 CM: (SAC)⊥(ABCD) và tính thể tích S.ABCD (1 điểm)
S
CM: (SAC)⊥(ABCD):
/ /
AD BC
ỹ
^ ùù ịý ^ ùùỵ ắắ ắđSC BC^ BC^(SAC)ị (SAC)^(ABCD)
Tính thể tích:
(SBC) (ABCD) BC ( ),( ) ,
ù
Tơng tự ị ((SAD),(ABCD)) (= SA AC, )= (2)α
Từ (1), (2) ị SAC=SCA α=
ΔSAC cân tại S ị SO^ACắắ ắđBC SO^ SO^(ABCD)
ΔABC vuông tại C : AC = AB.sin300 = a/2
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 6 ∆ SOA vu«ng t¹i O: AO = 1
a
AC= ; SO = AO.tan 1 4tan
4a
.
S ABCD SO ABCD a